高等数学A1试卷及答案

1、精品文档广东工业大学考试试卷( A )课程名称 :高等数学 A(1)试卷满分100 分考试时间 :2008年 1月 14日(第 20周星期一 )题 号一二三四五六七总分2314：名评卷得分姓评卷签名复核得分复核签名线一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）：x3 x号1.学lim=xx22.设 yy( x) 是由方程 y1 xey 所确定的隐函数，则 dy.3.设 f ( x) 可导 ,则 limf ( 22x) f (2).=x 0x订4.x(sin x ex2)dx =.5.微分方程 yy tan xcos2 x 满足初始条件 y x1 的特解为.：42业二、选择题：（每小题4 分，共

2、 20 分）专1.设函数 f ( x)x sin 1 ,x00 处连续 , 则 k( ) .x在 x装2xk ,x0A 1B.0C1D.22.设函数 f (x) 在 xx0 处取得极值 ,则有（）.：A f (x0 )0B. f ( x0 )0院C f(x0 )0 或 f( x0 ) 不存在D.f ( x0 ) 不存在学x2et dt3.极限 lim1） .的值等于（x1ln xA .eB.eC 1D.1.精品文档4定积分02x2 dxa2x 2 dx的值等于（）.aaa0A .a 2B.a 2C a 2D.a 2425 x 0为 f (x)x的（） .12e xA . 可去间断点B. 无穷间

3、断点C 跳跃间断点D. 连续点三、计算题（每小题7 分，共 28 分）x3et2y .1. 求由参数方程2et所确定的函数的二阶导数dydx22求曲线 y x2 (12 ln x7) 的凹凸区间和拐点 .3.计算定积分2 ( x3sin 2 x) cos2 xd x .24. 求微分方程 y 8 y 16y e4x 的通解 .四、（8 分）证明 : 当 x 0时， 2x ln 2 (1 x)2 ln(1x) .五、（ 8分）如果二阶可微函数 f ( x) 满足方程 :f (x)x4 f (t )dt 0 , 且已知 f (0) 1 ,0求 f ( x) .六、（7 分）设f ( x)在0， 上

4、连续 ,在内可导 ,求证 :存在, 使得（0， ）（0， ）f ( )f ( ) cotx七、（9 分）设 D 是位于曲线yxa2a(a1, 0x) 下方、x 轴上方的无界区域 .(1) 求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a) ; ( 2 ) 当 a 为何值时 , V (a) 最小 ? 并求此最小值 .精品文档广东工业大学考试答题纸课程名称 :高等数学 A(1)试卷满分100 分：考试时间 : 2008年 1月 14日 (第 20一 )名周 星期姓题 号一二三四五六七总分1234评卷得分线评卷签名复核得分：复核签名号学一、填空题：（每小题 4 分，共 20 分）1. e 5

5、dye ydx ;2.1xe y3.2 f ( 2 ) ;订1 e x 2sin xx cos xC5. ysin x cos x4.2;二、选择题：（每小题 4 分，共 20 分）：12345业专BCADA装三、计算题（每小题7 分，共 28 分）tdy( 2et)2 e2 t1.解 :dx( 3e)3（3 分）：d 2 yd( dy )d (2 e2t )dt院dx2dxdxdt3dx（5 分）学4 e 2 t14 e 2 t14 e 3 t3dx33e t9dt（7 分）.精品文档2. 解 :函数的定义域为 : (0,)y24x ln x2 x ,（1 分）11y24ln x22, 令

6、y0 得 x e 12（3 分）列表讨论如下 :x111111e 12 )e 12( e 12 , + )(0,y0+y凸11凹18e6（5 分）1111区间 (0,e 12 为曲线的凸区间 , 区间 e 12 , +) 为曲线的凹区间 ,1111曲线有拐点 : ( e 12,18e 6 )（7 分）3. 解:因为 x 3 cos x 为 2，上连续的奇函数 ,2所以2x 3 cos xdx0（2 分）22 (x 3sin 2 x) cos2 x d x=2 sin 2 x cos2 xd x22=12 sin2 2x d x =12 (1cos4x )d x（5 分）2400=1( x2（7

7、 分）1 sin 4x)8440.4. 解: 特征方程为 :r 28r160 ,特征根 :r1r24齐次方程的通解为 : Y (C1C2 x)e4 x由于4 为特征方程的二重根 , 且 Pm (x )1故可设原方程的一个特解为 :y*Ax 2e4x将其代入原方程得 :2Ae 4 xe4x , 解得 :A12所以 y*1 x 2e4x ,从而求得原方程的通解为2y (C14 x124 xC 2 x )e2x e（分）证明:令f ( x)2xln2(1x)2ln(1x),f (0) 0四、 8f ( x)12( xln(1x ) ,x令:g(x )xln(1x), g(0)0当 x 0时,g (

8、x) 11x0 ,1x1x所以 g( x ) 单调增加 ,当 x0时 ,g( x )g(0)0因此 f ( x)0 ,f ( x ) 单调增加 , 故当 x0时,f ( x ) f (0)0,即2xln 2 (1x)2ln(1x)证毕精品文档（3 分）（5 分）（ 7 分）（ 2 分）（ 4 分）（ 6 分）（ 8 分）五、（8 分）解 : 所给方程两边对x 求导得 :.精品文档f (x )4 f (x )0(1)（2 分）特征方程为 :r 240, 解之得 :ri ,方程 (1)的通解为 :f ( x)C1 cos2 xC 2 sin2x (2)（4 分）又 f (0)1, 代入 (2)式得

9、 :C11,所以f ( x)cos2 xC2 sin 2x ,f ( x)2 sin 2x2C 2 cos2 x(3)（6分）由题目所给条件知 :f (0)(xf (t )dt )0,40x 0代入 (3)得 :C20,于是求得 :f ( x)cos2x（8 分）.精品文档六、设 F ( x) f ( x )sin x ,（3 分）（7 分）证明 :由题目所给条件知 : F( x) 在0, 上连续 , 在(0,)内可导, 且F ( )F (0)0 , 所以由罗尔定理 ,至少存在一点(0, ), 使得 :F()0（5 分）又F ( ) f( x )sin xf ( x) cos x x所以f ( ) sinf ( ) cos0因为(0,) , 所以 sin0, 从而有f ( )f ( ) cosf () cot证毕（7 分）sin七、（9 分）解 : (1)所求旋转体的体积为xV (a)xaa dx（2 分）0axxdaaln a0axaxa2xa aaa dx =（5分）ln aln aln