8离散系统的系统函数

1、§8.8 离散系统的系统函数样值响应与系统函数 系统函数的零极点分布对系统特性的影响确定稳定性因果性样值响应北京邮电大学电子2002.3第2页一样值响应与系统函数1.定义M?br z-r r =0 ( )H (z) = Yz=X (z)N?ak zk =0-k2. h(n)和H(z)为一对z变换对Zh(n) = H (z)X第3页1定义线性时不变离散系统由线性常系数差分方程描述，一般形式为激励为因果序列x(- 1) = x(- 2) = L = 0NMy(n - k ) = ?br x(n - r )?ak系统处于零状态y(- 1) = y(- 2) = L = 0k =0r =0上

2、式两边取z变换得NMY (z)?ak z= X (z)?b z- k- r( )rH z只与系统的差分k =0r =0M?br z方程的系数，结构有关，描述了系统的特性。- r ( )Y z H (z) = r =0X (z)N?- kak zk =0H (z )：离散时间系统的系统函数X第4页2 h(n)和H(z)为一对z变换d (n)h(n)若x(n) = d (n)，则X (z) = 1 Z h(n) = H (z)l 由H (z)求h(n) : h(n) = Z -1 H (z)l 系统的零状态响应：y ZS (n) = h(n)* x(n) ? Y (z) = H (z)? X (z

3、)X系统第二系统函数的零极点分布对系统特性的影响5页因为h(n) ? H (z)，所以可以从H (z)的零极点分布情况样值响应h(n)的特性1. 由零极点分布确定2. 离散系统的稳定性3. 系统的因果性确定样值响应X第6页1由零极点分布确定样值响应()MM?z- r-11 - z zbrz: 零点: 极点rH (z) =r r =0= G r =1(-1 )NNpk?- k1 - pk zak zk =0k =1展成部分分式：（假设无重根）NNAk zAk zH (z) = ?= A+0z - pz - pk =0k =1kkQ h(n) ? H (z)-1 ? A z ? =N+ ?k =1

4、N( ) = Z? A( )()n( )? h nkA d n +Apu n?0z - p0kk?k ?k =1X第7页由零极点分布确定样值响应(续)Nh(n) = A d (n)+ ? A ( p )n u(n)0kkk =1pk : H(z)的极点，可以是不同的实数或共轭复数，决定了h(n)的特性。其规律可能是指数衰减、上升，或为减幅、增幅、等幅振荡。A0 , Ak:与H(z)的零点、极点分布都有关。X第8页极点位置与h(n)形状的关系j Im z- 1+ 1ORe zX第9页利用zs平面的关系Xs平面z平面极点位置h(t)特点极点位置h(n)特点虚轴上等幅圆上等幅原点时u(t ) ? 1

5、sq = 0 时u(n) ?zz - 1左半平面衰减圆内减幅右半平面增幅圆外增幅第10页2离散系统的稳定性(1) 定义：对于稳定系统，只要输入是有界的，输出必定是有界的（BIBO);(2) 稳定性判据判据1：离散系统稳定的充要条件：样值响应绝对可和。? h(n<)?n=-?判据2：对于因果系统，其稳定的充要条件为：H(z)的全部极点应落在圆之内。即收敛域应包括单。> a,a < 1位圆在内:zX第11页(3)连续系统和离散系统稳定性的比较X连续系统离散系统系统稳定的充要条件?h(t ) d t < ?-? h(n) < ?n= -?极点H(s)的极点全部在左半平面

6、H(z)的极点全部在圆内收敛域含虚轴的右半平面含圆的圆外临界稳定的极点沿虚轴第12页3系统的因果性输出不超前于输入系统因果性的方法：h(n) = h(n)u(n)收敛域在圆外时域：z域：X第13页三补充1两个加法器情况下，列差分方程2如何由H(z)列系统的差分方程X第14页w = 0(1) p = az(0 < a < 1)anu(n)z - az(2) p = 1u(n)z - 1z(3) p = b(b > 1)bnu(n)z - bz 2(z - 1)2(4) p1 = p2 = 1(二阶极点)nu(n)X第15页w = p , W = w= w s(周期8，一周期有8

7、个样值)4Ts8? j pnp(1) p = ae(0 < a < 1)2an cosu(n)减幅振荡44? j pnp(2) p = e2 cosu(n)等幅振荡44? j p4np(3) p = be(b > 1)2bn cosu(n)增幅振荡4X第16页w = p , W = w= w s(周期4，一周期有4个样值)2Ts4? j pnpp = e2 cosu(n)42X第17页w = 3p , W = w= 3w s4Ts8? j 3p3np(1) p = ae(0 < a < 1)2an cosu(n)4减幅振荡4? j 3p3np(2) p = e2 cosu(n)等幅振荡44? j 3p3np(3) p = be(b > 1)2bn cosu(n)4增幅振荡4X第18页w = p , W = w= w s(周期2, 每周期2个样值)Ts2(1) p = ae? jp = -a(0 < a < 1)2an cospu(n)减幅振荡= 2an