一元二次方程的解法数学教学课件PPT

1、第第2 2章章 一元二次方程一元二次方程2 2。2 2 一元二次方程的解法（第一元二次方程的解法（第4 4课时）课时） 用公式法解一元二次方程用公式法解一元二次方程例例1 1 用公式法解下列方程：用公式法解下列方程：（1 1） x x2 2- - x-1=0 x-1=0； （2 2）( (x-2x-2)()(3x-53x-5) )=1=1。分析：要求使用公式法解一元二次方程分析：要求使用公式法解一元二次方程, ,关键要关键要把方程化为一般形式把方程化为一般形式, ,弄清弄清a a, ,b b, ,c c的值的值。 第（第（1 1）小题为了计算方便可先把系数化为整数小题为了计算方便可先把系数化为

2、整数, ,然后再然后再找出找出a a, ,b b, ,c c的值；第（的值；第（2 2）小题需先把方程化为一）小题需先把方程化为一般形式后般形式后, ,再求解再求解。5152解：（解：（1 1）方程两边同乘）方程两边同乘5 5, ,得得2x2x2 2-x-5=0-x-5=0。 a=2a=2, ,b=-1b=-1, ,c=-5c=-5, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-1-1) )2 2-4-42 2( (-5-5) )=41=41。 x=x= , ,x x1 1= = , ,x x2 2= = ；（2 2）方程可化为）方程可化为3x3x2 2-11x+9=0-11x+9=0。 a=3

3、a=3, ,b=-b=-1111, ,c=9c=9, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-11-11) )2 2-4-43 39=139=13。 x= x= , ,x x1 1= = , ,x x2 2= = 。注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄注意点：用公式法解一元二次方程的关键是先弄清方程中的清方程中的a a, ,b b, ,c c的值的值, ,当系数不是整数时当系数不是整数时, ,要先要先把系数化为整数把系数化为整数, ,可使计算变得简单可使计算变得简单。 当原方程当原方程不是一般形式时不是一般形式时, ,先要把它化为一般形式先要把它化为一般形式。4411441144116

4、13116131161311变式：用公式法解下列方程：变式：用公式法解下列方程：（1 1）x x2 2-2x-8=0-2x-8=0； （2 2）x x2 2+2x-4=0+2x-4=0；（3 3）2x2x2 2-3x-2=0-3x-2=0； （4 4）3x3x( (3x-23x-2) )+1=0+1=0。答案：（答案：（1 1）x x1 1=4=4, ,x x2 2=-2=-2； （2 2）x x1 1=-1+=-1+ , ,x x2 2=-1-=-1- ；（3 3）x x1 1=2=2, ,x x2 2=- =- ； （4 4）x x1 1=x=x2 2= = 。552131 一元二次方程的

5、根的判别式一元二次方程的根的判别式例例2 2 （1 1）下列关于）下列关于x x的一元二次方程中的一元二次方程中, ,有两个有两个不相等的实数根的方程是（不相等的实数根的方程是（ ） A A。 x x2 2+1=0+1=0 B B。 9x 9x2 2-6x+1=0-6x+1=0 C C。 x x2 2-x+2=0-x+2=0 D D。 x x2 2-2x-2=0-2x-2=0（2 2）已知关于）已知关于x x的方程的方程x x2 2-2-2( (k-3k-3) )x+kx+k2 2-4k-1=0-4k-1=0。若这个方程有实数根若这个方程有实数根, ,求求k k的取值范围；的取值范围；若这个方

6、程有一个根为若这个方程有一个根为1 1, ,求求k k的值的值。分析：（分析：（1 1）根据根的判别式）根据根的判别式, ,若方程有两个不相若方程有两个不相等的实数根等的实数根, ,则则b b2 2-4ac-4ac0 0, ,代入值判断即可；（代入值判断即可；（2 2）若这个方程有实数根若这个方程有实数根, ,则则b b2 2-4ac-4ac0 0；若这个方程；若这个方程有一个根为有一个根为1 1, ,可将可将x=1x=1代入方程求代入方程求k k的值的值。解：（解：（1 1）D D （2 2）由题意）由题意, ,得得b b2 2-4ac=-2-4ac=-2( (k-3k-3) ) 2 2-4

7、-4( (k k2 2-4k-1-4k-1)0 0, ,化简化简, ,得得-k+5-k+50 0。 解得解得k k5 5。 k k的取值范围是的取值范围是k k5 5。将将x=1x=1代入方程代入方程, ,得得k k2 2-6k+6=0-6k+6=0。 解这个方程解这个方程, ,得得k k1 1=3-=3- , ,k k2 2=3+=3+ 。注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范注意点：根据方程根的情况求字母系数的取值范围围, ,一般是利用判别式关于字母系数的不等式一般是利用判别式关于字母系数的不等式, ,解解不等式求得范围不等式求得范围。33变式：若一元二次方程变式：若一元二次方程x x

8、2 2+2x+m=0+2x+m=0有实数解有实数解, ,则则m m的的取值范围是（取值范围是（ ） A A。 m m-1-1 B B。 m m1 1 C C。 m m4 4 D D。 m m 答案：答案：B B21 选择合适的方法解一元二次方程选择合适的方法解一元二次方程例例3 3 用适当的方法解下列方程：用适当的方法解下列方程：（1 1）3x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10 x-10 x； （2 2）2x2x2 2-12x+9=0-12x+9=0。分析：方程（分析：方程（1 1）可用因式分解法）可用因式分解法, ,方程（方程（2 2）可）可用公式法用公式法。解：（解：（1 1）3

9、x+15=-2x3x+15=-2x2 2-10 x-10 x。 移项移项, ,得得3x+15+3x+15+( (2x2x2 2+10 x+10 x) )=0=0。 因式分解因式分解, ,得得3 3( (x+5x+5) )+2x+2x( (x+5x+5) )=0=0, ,即即( (x+5x+5)()(3+2x3+2x) )=0=0。 于是于是, ,得得x+5=0 x+5=0, ,或或3+2x=03+2x=0。 x x1 1=-5=-5, ,x x2 2=-=- 。（2 2）2x2x2 2-12x+9=0-12x+9=0。 a=2a=2, ,b=-12b=-12, ,c=9c=9, ,b b2 2

10、-4ac=-4ac=( (-12-12) )2 2-4-42 29=729=72, ,x=x= , ,x x1 1=3+=3+ , ,x x2 2=3-=3- 。232233227212223223注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺注意点：解一元二次方程考虑所用方法的一般顺序是：先直接开平方法序是：先直接开平方法, ,再因式分解法再因式分解法, ,然后考虑然后考虑配方法或公式法配方法或公式法。 对于形如对于形如x x2 2=p=p或或( (mx+nmx+n) )2 2=p=p（p p0 0）的方程）的方程, ,我们通常采用直接开平方法；对我们通常采用直接开平方法；对于一边是于一边是0

11、0, ,另一边易于分解成两个一次式乘积的另一边易于分解成两个一次式乘积的一元二次方程一元二次方程, ,我们通常采用因式分解法我们通常采用因式分解法。 配方配方法和公式法适合解所有的一元二次方程法和公式法适合解所有的一元二次方程。变式：用适当的方法解下列方程（直接写出方变式：用适当的方法解下列方程（直接写出方程的解和求解方程的方法）：程的解和求解方程的方法）： （1 1）12x12x2 2- - =0=0； （2 2）x x2 2-2x-4=0-2x-4=0；（3 3）5x5x2 2=9x+2=9x+2； （4 4）5x5x2 2+2x=0+2x=0。答案：（答案：（1 1）x x1 1= =

12、, ,x x2 2=-=- 。 （开平方法）（开平方法）（2 2）x x1 1=1+=1+ , ,x x2 2=1-=1- 。 （配方法）（配方法）（3 3）x x1 1=2=2, ,x x2 2=-=- 。 （公式法）（公式法）（4 4）x x1 1=0=0, ,x x2 2=-=- 。 （因式分解法）（因式分解法）316161555251一元二次方程根的判别式的应用一元二次方程根的判别式的应用例例4 4 若若a a, ,b b, ,c c是是ABCABC的三边长的三边长, ,且关于且关于x x的方的方程程a a( (x x2 2-1-1) )-2cx+b-2cx+b( (x x2 2+1+

13、1) )=0=0有两个相等的实数根有两个相等的实数根, ,试判断此三角形的形状试判断此三角形的形状。分析：应用一元二次方程根的判别式的性质确定三角形的三边a,b,c的关系。解：整理方程解：整理方程, ,得得( (a+ba+b) )x x2 2-2cx+-2cx+( (b-ab-a) )=0=0。 方程有两个相等的实数根方程有两个相等的实数根, , =0 =0, ,即即( (-2c-2c) )2 2-4-4( (a+ba+b)()(b-ab-a) )=0=0, ,整理整理, ,得得c c2 2+a+a2 2-b-b2 2=0=0, ,即即c c2 2+a+a2 2=b=b2 2。 以以a a,

14、,b b, ,c c为边长的为边长的ABCABC是直角三角形是直角三角形。注意点：一般来说注意点：一般来说, ,让我们判定三角形的形状让我们判定三角形的形状, ,那那么这个三角形一般会是特殊三角形么这个三角形一般会是特殊三角形。 如果是从如果是从三角形的边出发三角形的边出发, ,那么这个三角形要么是等腰三那么这个三角形要么是等腰三角形角形, ,要么是等边三角形要么是等边三角形, ,当然也有可能推出当然也有可能推出 = =( (a a2 2+b+b2 2-c-c2 2) )2 2=0=0这种结论这种结论, ,得到得到a a2 2+b+b2 2=c=c2 2, ,那它就那它就是直角三角形是直角三角

15、形。例例1 1 不解方程不解方程, ,判断方程的根的情况判断方程的根的情况4x4x2 2-3x+1=2-3x+1=2。错因：使用根的判别式时错因：使用根的判别式时, ,必须先将方程整理求必须先将方程整理求axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a0 0）的形式）的形式。正答：整理正答：整理, ,得得4x4x2 2-3x-1=0-3x-1=0。 a=4a=4, ,b=-3b=-3, ,c=-1c=-1, ,b b2 2-4ac=-4ac=( (-3-3) )2 2-4-44 4( (-1-1) )=9+16=25=9+16=250 0。 原方程有两个不相等的实数根原方程有两个不相等的实数

16、根。错答：错答：a=4a=4, ,b=-3b=-3, ,c=1c=1, ,b b2 2-4ac=(-3-4ac=(-3) )2 2-4-44 41=9-16=-71=9-16=-70 0。 原方程没有实数根原方程没有实数根。错答：错答：方程有实数根方程有实数根, ,b b2 2-4ac=-4ac= -4-4（k-1k-1）3 30 0, ,解得解得k k 。 k-1k-10 0, ,解得解得k k1 1。 k k的取值范围是的取值范围是k k 且且k k1 1。22k例例2 2 已知关于已知关于x x的方程的方程( (k-1k-1) )x x2 2+ + x+3=0 x+3=0有实数有实数根根, ,求求k k的取值范围的取值范围。k2正答：正答：方程有实数根方程有实数根, ,b b2 2-4ac= -4-4ac= -4（k-1k-1）3 30 0。 解得解得k k , ,又又 是二次根式是二次根式, ,则则2k2k0 0, ,