用导数研究函数地恒成立与存在性问题

1、word用与数研究函数的恒成立与存在问题1,函数f (x)3x八2.2假如函数f(x)在区间1,2上为单调函数，求 a的取值X2xlnx,其中a为常数.a们假如a1,求函数f(x)的单调区间;围.2.函数f(x)x3ax24(aR),f'(x)是f(x)的导函数。1当a2时，对于任意的m1,1,n1,1,求f(m)f(n)的最小值;2假如存在x0(0,)，使f(x0)>0,求a的取值X围。10 / 92求f (x)的单调区间;3 .函数f(x)axInx(aR).1假如a2,求曲线yf(x)在点x1处的切线方程;3设g(x)x22x2,假如对任意x,(0,)，均存在x20,1,使

2、得f(xi)g(xz),某某数a的取值X围.24 .2016届某某二模函数fxx21nx.i求函数fx的最大值；an假如函数fx与gxx有一样极值点.x某某数a的值；对x1,x21,3（e为自然对数的底数），不等式f_x_gx1恒成立，某某数k的取值X围.ek112-5.函数f(x)(a-)xInx(aR).1当a1时，xo1,e使不等式f(%)m,某某数m的取值X围；2假如在区间(1,),函数f(x)的图象恒在直线y2ax的下方，某某数a的取值X围.用与数研究函数的恒成立与存在问题答案1 .解：假如a=1,如此f(x)=3x2x2+lnx,定义域为(0,+0°),1 4x2+3x+

3、14x+1x1f(x)=x4x+3=x=x(x>0).xxx当xC(0,1)时，f'(x)>0,函数f(x)=3x2x2+Inx单调递增.当xC(1,+8)时，f(x)<0,函数f(x)=3x2x2+Inx单调递减，即f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,十°0).一，3.1(2)f/(x)=-4x+-.ax假如函数f(x)在区间1,2上为单调函数，3131即在1,2上，f(x)=3-4x+1>0或f(x)=3-4x+1<0,axax即34x+1>0或'4x+1W0在1,2上恒成立.axax一31.31即一方4x或一W

4、4xaxax.1令h(x)=4x1,因为函数h(x)在1,2上单倜递增，x所以3>h(2)或3wh(1),即3>15或3<3,aaa2a2 ，、斛得a<0或0vaw-或a>1.5故a的取值X围是(一8,0)U(0,2u1,+8).52.解：1由题意知f(x)x32x24,f'(x)3x24x.令f'(x)0,得x0或33当x在-1,1上变化时，f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-1-1,000,11f'(x)-7-0+1f(x)-1J-4-3对于m1,1,f(m)的最小值为f(0)4,、一22f'(x)3x4x的对

5、称轴为x一且抛物线开口向下3,对于n1,1,f'(n)的最小值为f'(1)7.f(m)f'(n)的最小值为-11.3.2f'(x) 3x(x -)3假如a 0,当x 0寸，f'(x) 0“乂)在0,上单调递减，又f(0)4,则当x 0时，f(x)4.当a 0时,不存在% 0,使f(xo) 0.一.2a.2a.假如a 0,则当0 x ，时，f'(x) 0,当x ，时，f'(x)33，.一22a从而f(x)在0,2上单调递增，在 臼，上单倜递减,33当x (0,)时,f (x)max臂)3,38a 4a一 一 4 ,如此2790.4a3 4

6、°,即a3 27,解得a 3.综上，a的取值X围是(3,4 ).(或由x。0, f(x。)0,得a2 %,用两种万法可解)x。-，1解：1由 f (x) 2 (x 0), f (1) 2 1 3, x故曲线y f (x)在x 1处切线的斜率为3而f(1) 2,所以切点为(1,2), y f (x)在点x 1处的切线方程为y 3x 12f (x) a 1 "ax-1(x 0) x x当a 。时，由于x 0,故ax 1 0,所以f(x) 0, f(x)的单调递增区间为(0,).11 _1 _当a 0时，由f (x) 0,得x .在区间(0,)上，f (x) 0,在区间(一，)上

7、f (x) 0, aaa所以，函数了(灯的单调递增区间为(0,1，1-),单调递减区间为(-).其中 g(x)max 23由,问题等价于为f(x)maxg(x)max.由(2)知，当a0时，f(x)在(0,)上单调递增，值域为R,故不符合题意(或者举出反例：存在f(e3)ae332,故不符合题意.)11当a0时，f(x)在(o,)上单调递增，在(一，)上单调递减,aa故f(x)的极大值即为最大值,f(11 ln( )1 ln( a),a一，、一1所以21ln(a),解得a3.3e4.22x1x12x-x0,xxfx0,fx0,/口/得0x1；由得x1.x0x0fx在0,1上为增函数，在1,上为

8、减函数函数fx的最大值为f11.分3、aan；gxx-,gx1.xx由1知，x1是函数fx的极值点，a又函数fx与gxx一有一样极值点，x1是函数gx的极值点,xg11a0,解得a1分4分经验证，当a1时，函数gx在x1时取到极小值，符合题意- f12 e2, f 11,f 39 21n 3 ,易知921n322e1c.>x1,3,fx1,f31-,1mine92ln3,fXi由耿f11，一1由知g x x 一x11gx1下，当x-,1时，gx0;当x1,3时，gx0.xe故gx在1,1上为减函数，在1,3上为增函数1.g-e1,g1e2,g310一，而23103X2,gX2ming12

9、,gX2max1030,1时,对于X1,X1-,3e不等式fX11fX1gX2maXX1gX2maX1.XgX2f1g123,2,又k1,1.1010,即k1时，对于X1,X21-,3e综上,X1gx2minX1gX2min1X1gx-f3g334寸一21n3,又；k1,3所某某数k的取值X围为21n1033721n3,334321n3.113432ln3U1,125.【解】：（1）当a=1时, 由 xC 1 , e, 如此当xC 1 ,11f(x)=2x2+lnx(x>0),f(x)=x+x，f'(x)>0得函数f(x)在区间1,e4曾函数,11ce时，f(x)C1+2e

10、2.1一故要使？X0C1,e使不等式f(x0)Wm成立，只需m>2即可.(2)在区间(1,+8)上，函数f(x)的图象恒在直线y=2ax的下方等价于对？xC(1,+00),f(x)2ax,即(a1)x2+Inx-2ax<0恒成立.1c一设g(x)=(a2)x22ax+Inx(xC1,十),如此g'(x)=(2a1)x2a+1=(x1)(2a11)XX'当xC(1,)时，x1>0,0<<1.x假如2a-1<0,即a<1,g'(x)<0,函数g(x)在区间1,)上为减函数,11如此当？xC(1,+00)时g(x)vg(1)=a22a=3a,1-11一，只帝一2aW0,即当一2waw2时，g(x)=(a2)x2+lnx2axv0恒成立.假如0v2a1v1,即2<av1时，令g'(x)=(x1)(2a11)=0得x=J>1,x2a111函数g(x)在区间1,;为减函数，+°°为增函数，2a12a11一如此g(x)Cg2a_1,+°°,不合题忌.假如