由递推公式求通项公式典型例题素材

1、如何由递推公式求通项公式高中数学递推数列通项公式的求解是高考的热点之一，是一类考查思维能力的题型，要求考生进行严格的逻辑推理。找到数列的通项公式，重点是递推的思想：从一般到特殊，从特殊到一般；化归转换思想，通过适当的变形，转化成等差数列或等比数列，达到化陌生为熟悉的目的。F面就递推数列求通项的基本类型作一个归纳，以供参考类型一an+an=f(n)或史r=g(n)an分析：利用迭加或迭乘方法。即:an=(anan)+(an-i-an_2)+(a2-a1)+a1anan-ia2取an=aian-ian-2ai例1.(1)已知数列an满足ai=1,an+i=an+上，求数列an的通项公式。2nn(2

2、)已知数列an满足ai=i,sn=_(nian,求数列an的通项公式。2解：（i）由题知:iiiianT-an=-2=二一一n-nn(ni)nni(2)；2sn=(ni)an两式相减得：2an=(n,i)an-nan_i(n_2)即：三二°(n.2)an_in-i类型二：an+=pan+q(其中p,q为常数，pq(p-i)#0)分析：把原递推公式转为：an+1-t=p（an-t）,其中t=q,再利用换元法转化为等比i-P数列求解。例2.已知数列an中，a=i,an书=2an+3,求Qn）的通项公式。解：由an+=2an+3可转化为：即 an =2令bn=an+3,贝1Jbi=ai+3

3、=4且bn+i=2bn-3类型三：an甲=pan+f(n)(其中p为常数)分析：在此只研究两种较为简单的情况，即f(x)是多项式或指数哥的形式。(1) f(x)是多项式时转为an+i+A(n+1)十B=p(an十An+B),再禾I用换元法转为等比数列(2) f(X)是指数哥：an41:panrqn1(pqr=0)若p=q时则转化为*=$十r,再利用换元法转化为等差数列qq若p/q日寸则转化为an+1+tqn*=p(an+tqn),其中t=qp-q例3.(1)设数列国中，a1=1,an+1=3an+2n+1,求an的通项公式。(2)设数歹)母中,a=1,an+=3an+2n,求an的通项公式。解

4、：(1)设an+1+A(n+1)+B=3(an+An+B)与原式比较系数得：2A=2=A=12B-A=1B=1即an1(n1)1=3(ann1)令bn=an+n+1,贝1Jbn+1=3bn且b1=a+1+1=3(2)设an+t2n*=3(an+t2n)展开后得：an=3an2n对比得：t=1令bn=an+2n,贝1Jbn由=3bn,且b1=a1+21=3类型四：an1)panr(p0,an0)分析：这种类型一般是等式两边取对数后得：lgan+1=rlgan+lgp,再采用类型二进行求解。例4.设数列母>中，a1=1,an七=2a：(a>0),求外的通项公式。a解：由an+1=1an2,两边取对数得：a1设lgan+1+t=2(lgan+t)展开后与上式对比得：t=lg-a人11令bn=(lgan+lg),贝Ubn+1=bn,且b1=lgaan1-11_nd.1bn=2lg，RPlgan+lg=2lgaaa也即an二a12nL类型五：an.1=f(n)ang(n)anh(n)分析：这种类型一般是等式两边取倒数后再换元