202X届高考数学一轮复习第十章圆锥曲线10.2双曲线及其性质课件理

1、 10.2 双曲线及其性质高考理数高考理数 (课标专用)考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程(2016课标,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是()A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)22xmn223ymn33五年高考A A组组 统一命题统一命题课标卷题组课标卷题组答案答案 A解法一:由题意可知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c为半焦距,2c=22|m|=4,|m|=1,方程-=1表示双曲线,(m2+n)(3m2-n)0,-m2n3m2,-1n3.故选A.解法二:原方程表示双曲线,且焦距为4

2、,或由得m2=1,n(-1,3).无解.故选A.知识拓展知识拓展对于方程mx2+ny2=1,若表示椭圆,则m、n均为正数且mn;若表示双曲线,则mn0,b0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案A本题考查了双曲线的几何性质以及圆的性质;通过双曲线的离心率考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.如图,|PQ|=|OF|=c,PQ过点.P.又|OP|=a,a2=+=,=2,e=.故选A.,02c,2 2c c22c22c22c2caca2解题关键解题关键由|P

3、Q|=|OF|=c可知PQ过以OF为直径的圆的圆心,进而得到P是解答本题的关键.,2 2c c3.(2018课标,11,5分)已知双曲线C:-y2=1,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.B.3C.2D.423x323答案答案B本题主要考查双曲线的几何性质.由双曲线C:-y2=1可知其渐近线方程为y=x,MOx=30,MON=60,不妨设OMN=90,则易知焦点F到渐近线的距离为b,即|MF|=b=1,又知|OF|=c=2,|OM|=,则在RtOMN中,|MN|=|OM|tanMON=3.故选B.解题关键解题关键

4、利用双曲线的几何性质求出MON的大小及|OM|的值是求解本题的关键.23x3334.(2018课标,5,5分)双曲线-=1(a0,b0)的离心率为,则其渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb3232232答案答案 A本题主要考查双曲线的几何性质.e=,=,双曲线的渐近线方程为y=x=x.故选A.3ba21e 3 12ba25.(2017课标,9,5分)若双曲线C:-=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为()A.2B.C.D.22xa22yb322 33答案答案A本题主要考查双曲线的方程和性质,直线与圆的位置关系

5、.由题意可知圆的圆心为(2,0),半径为2.因为双曲线-=1的渐近线方程为y=x,即bxay=0,且双曲线的一条渐近线与圆相交所得的弦长为2,所以=,所以=.故离心率e=2.选A.22xa22ybba22|2 |bab2221ba3221ba6.(2016课标,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sinMF2F1=,则E的离心率为()A.B.C.D.222xa22yb132323答案答案 A解法一:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,可得M,|MF1|=.由sinMF2F1=,可得cosMF2F1=,又tanMF2F1=,=,b2=ac,c2=

6、a2+b2b2=c2-a2,c2-a2-ac=0e2-e-1=0,e=.故选A.解法二:不妨设M在第二象限,由MF1x轴,得M,|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+,又sinMF2F1=a2=b2a=b,e=.故选A.2,bca2ba1321132 23112|MFFF22bac22bac132 2322222222,bca2ba2ba12|MFMF222babaa1321ba27.(2015课标,5,5分)已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若 0,则y0的取值范围是()A.B.C.D.22x1MF2MF33,3333

7、,662 2 2 2,332 3 2 3,33答案答案 A不妨令F1为双曲线的左焦点,则F2为右焦点,由题意可知a2=2,b2=1,c2=3.F1(-,0),F2(,0),则=(-x0)(-x0)+(-y0)(-y0)=+-3.又知-=1,=2+2, =3-10.-y0,故选A.思路分析思路分析由双曲线方程求出F1,F2的坐标,利用数量积的坐标运算表示出,利用M在双曲线上得=2+2,从而将转化为仅含y0的式子,由0即可解得y0的取值范围.解题关键解题关键依据0,b0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,可得b2=a2,

8、e=.思路分析思路分析设出双曲线方程,依据题意,求出点M的一个坐标,代入双曲线方程,得到关于a、b的方程,进而可得出双曲线E的离心率.22xa22yb322(2 )aa22( 3 )ab221ba29.(2019课标,16,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若=,=0,则C的离心率为.22xa22yb1F AAB1FB2F B答案答案2解析解析本题考查双曲线的几何性质,平面向量的线性运算,平面向量数量积的性质等知识;考查学生的推理论证能力、运算求解能力及应用意识;考查的核心素养是逻辑推理和数学运算.双曲线-=1

9、(a0,b0)的渐近线方程为y=x,=0,F1BF2B,点B在O:x2+y2=c2上,如图所示,不妨设点B在第一象限,由得点B(a,b),22xa22ybba1FB2F B222222,0byxaxycabcx=,点A为线段F1B的中点,A,将其代入y=-x得=.解得c=2a,故e=2.思路分析利用=0得出点B在O:x2+y2=c2上,结合点B在渐近线上求得点B的坐标,进而利用=得点A的坐标,由点A在另一条渐近线上可得a与c的关系,从而求得离心率.疑难突破求点B的坐标是难点,垂直关系可以与圆联系,也可以转化为直角三角形,求边的关系.一题多解一题多解一题多解一:如图,由=知A为线段F1B的中点,

10、O为线段F1F2的中点,OAF2B,=0,F1BF2B,OAF1A且F1OA=OF2B,BOF2=AOF1,BOF2=OF2B,又易知|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形,1F AAB,22ac bba2bba2acca1FB2F B1F AAB1F AAB1FB2F B可知=tan60=,e=2.一题多解二:如图,设AOy=,则BOy=,=,A为线段F1B的中点,又O为线段F1F2的中点,OABF2,OBF2=2.过B作BHOF2,垂足为H,则BHy轴,则有OBH=,HBF2=,易得OBH F2BH,|OB|=|BF2|,=0,ba3ca221ba1F AAB2F B1FBBF1BF

11、2,又O为F1F2的中点,|OB|=|OF2|=c,OBF2为正三角形.BOF2=60,则=tan60=,e=2.ba3ca221ba1.(2017天津,5,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的左焦点为F,离心率为.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24yB B组组 自主命题自主命题省省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程答案答案 B本题主要考查双曲线的几何性质和双曲线的标准方程.由离心率为可知

12、a=b,c=a,所以F(-a,0),由题意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以双曲线的方程为-=1,故选B.方法总结方法总结求双曲线的方程的常用方法:(1)待定系数法:设出所求双曲线的方程,根据题意构造关于参数a,b的方程组,从而解方程组求出参数a和b的值;(2)定义法:根据题意得到动点所满足的关系式,结合双曲线的定义求出动点所满足的轨迹方程.222400(2 )a 42a2228x28y2.(2016天津,6,5分)已知双曲线-=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A,B,C,D四点,四边形ABCD的面积为2b,则双曲线的方程为()A.-=

13、1B.-=1C.-=1D.-=124x22yb24x234y24x243y24x24y24x212y答案答案 D设A(x0,y0),不妨令其在第一象限,由题意得可得=,=,结合2x02y0=2b,可得b2=12.所以双曲线的方程为-=1.故选D.22200002 ,2xybyx20 x2164b20y24b2164b2244bb24x212y3.(2015天津,6,5分)已知双曲线-=1(a0,b0)的一条渐近线过点(2,),且双曲线的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上,则双曲线的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb37221x228y228x221y23x24y

14、24x23y答案答案D由题意知点(2,)在渐近线y=x上,所以=,又因为抛物线的准线为x=-,所以c=,故a2+b2=7,所以a=2,b=.故双曲线的方程为-=1.选D.3baba3277324x23y1.(2019浙江,2,4分)渐近线方程为xy=0的双曲线的离心率是()A.B.1C.D.2222考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质答案答案C本题考查双曲线的渐近线、离心率;考查学生的运算求解的能力;体现了数学运算的核心素养.渐近线方程为y=x,a=b,c=a,e=,故选C.解题关键解题关键正确理解双曲线方程与渐近线方程的关系,从而得出a与c的关系.2ca22.(2019天津,5,5分

15、)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.22xa22yb235答案答案 D本题主要考查双曲线的离心率,抛物线焦点坐标与准线方程,通过圆锥曲线的性质考查学生的运算求解能力,渗透了数学运算的核心素养.如图,由题意可知抛物线的焦点为F(1,0),准线方程为x=-1,|AB|=4|OF|=4,A(-1,2),又点A在直线y=-x上,2=-(-1),=2,双曲线的离心率e=.故选D.bababa221ba1453.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C1:+y2=

16、1(m1)与双曲线C2:-y2=1(n0)的焦点重合,e1,e2分别为C1,C2的离心率,则()A.mn且e1e21B.mn且e1e21C.m1D.mn且e1e21,=1,即e1e21.结合图形易知mn,故选A.思路分析思路分析根据焦点重合可得m2与n2之间的关系,进而建立关于m的解析式,然后判定范围即可.评析评析本题考查了椭圆、双曲线的方程和基本性质.考查了运算求解能力.21m 21mm21n 21nn21e22e2222(1)(1)mnmn2222(1)(2)mmm21e22e221tt 21e22e4.(2019江苏,7,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2-=1(b0)经过点(

17、3,4),则该双曲线的渐近线方程是.22yb答案答案y=x2解析解析本题主要考查双曲线渐近线方程,考查了运算求解能力,考查的核心素养是数学运算.由双曲线x2-=1(b0)经过点(3,4),得9-=1,解得b=,又b0,所以b=,易知双曲线的焦点在x轴上,故双曲线的渐近线方程为y=x=x.22yb216b22ba25.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-=1(a0,b0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值是.22xa22yb32答案答案2解析解析本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx-ay=0,则F(c,0)到这条渐近线的距离为=c,

18、b=c,b2=c2,又b2=c2-a2,c2=4a2,e=2.22|()bcba 323234ca6.(2017山东,14,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1(a0,b0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p0)交于A,B两点.若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.22xa22yb答案答案 y=x22解析解析本题考查双曲线、抛物线的基础知识,考查运算求解能力和方程的思想方法.设A(x1,y1),B(x2,y2).因为4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所以y1+y2=.由可得

19、=,故双曲线的渐近线方程为y=x.2p2p2p222222,1xpyxyab222pbaba2222思路分析思路分析由抛物线的定义和|AF|+|BF|=4|OF|可得y1+y2的值(用p表示).再联立双曲线和抛物线的方程,消去x得关于y的一元二次方程,由根与系数的关系得y1+y2.从而得的值,进而得渐近线方程.解题关键解题关键求渐近线方程的关键是求的值,利用题中条件建立等量关系是突破口,注意到|AF|、|BF|为焦半径,因此应利用焦半径公式求解.又A、B为两曲线的交点,因此应联立它们的方程求解.这样利用y1+y2这个整体来建立等量关系便可求解.baba7.(2016北京,13,5分)双曲线-=

20、1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为2,则a=.22xa22yb答案答案2解析解析由OA、OC所在直线为渐近线,且OAOC,知两条渐近线的夹角为90,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x2-y2=a2.OB是正方形的对角线,且点B是双曲线的焦点,则c=2,根据c2=2a2可得a=2.评析评析本题考查等轴双曲线及其性质.21.(2015广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb5424x23y29x216y2

21、16x29y23x24yC C组组 教师专用题组教师专用题组考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程答案答案 C由已知得解得故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C.5,45,cac5,4,ca216x29y2.(2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1、F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cosAF2F1=()A.B.C.D.14132423答案答案A由题意得解得|F2A|=2a,|F1A|=4a,又由已知可得=2,所以c=2a,即|F1F2|=4a,cosAF2F1=.故选A.1212| 2 ,| 2|,F AF AaF AF Ac

22、a2222121212|2 | |F AFFF AF AFF222416162 24aaaaa141.(2018浙江,2,4分)双曲线-y2=1的焦点坐标是()A.(-,0),(,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-),(0,)D.(0,-2),(0,2)23x2222考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质答案答案 B本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.a2=3,b2=1,c=2.又焦点在x轴上,双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示易错警示求双曲线焦点坐标的易错点(1)焦点在x轴上还是y轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中,a,b,c的关系式容易混

23、淆.22ab2.(2015四川,5,5分)过双曲线x2-=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=()A.B.2C.6D.423y4 3333答案答案D双曲线x2-=1的右焦点为F(2,0),其渐近线方程为xy=0.不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故选D.23y33333.(2015湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则()A.对任意的a,b,e1e2B.当ab时,e1e2;当ab时,e1e2C.对任意的a,b,e1b时,e1e2;当ae

24、2答案答案D依题意有e1=,e2=.而-=,a0,b0,m0,当ab时,有e1e2;当a,有e1e2.故选D.22aba21ba22()()ambmam21bmambabmam()()ba ma ambabmambabmam4.(2015重庆,10,5分)设双曲线-=1(a0,b0)的右焦点为F,右顶点为A,过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点,过B,C分别作AC,AB的垂线,两垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于a+,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()A.(-1,0)(0,1)B.(-,-1)(1,+)C.(-,0)(0,)D.(-,-)(,+)22xa22yb22ab2222答案答

25、案A由题知F(c,0),A(a,0),不妨令B点在第一象限,则B,C,kAB=,CDAB,kCD=,直线CD的方程为y+=(x-c).由双曲线的对称性,知点D在x轴上,得xD=+c,点D到直线BC的距离为c-xD,a+=a+c,b4a2(c-a)(c+a)=a2b2,b2a2,0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.mD.3m33答案答案 A由题意知,双曲线的标准方程为-=1,其中a2=3m,b2=3,故c=,不妨取F(,0),一条渐近线为y=x,化成一般式即为x-y=0,由点到直线的距离公式可得d=,故选A.思路分析思路分析将双曲线的方程化为标准方程,求出一个焦点坐标

26、和一条渐近线方程,再由点到直线的距离公式计算即可.知识延伸知识延伸任何双曲线的焦点到其渐近线的距离恒为定值b(其中b为虚半轴长).23xm23y22ab33m33m1mm2|31|1()mm 36.(2013课标,4,5分)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的离心率为,则C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb52141312答案答案C=,C的渐近线方程为y=x.故选C.思路分析思路分析由双曲线离心率与的关系可得=,由此即可写出渐近线方程.ba21e 5141212baba127.(2012课标,8,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y

27、2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()A.B.2C.4D.8322答案答案 C如图,AB为抛物线y2=16x的准线,由题意可得A(-4,2).设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a0),则有16-12=a2,故a=2,双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.38.(2011课标,7,5分)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()A.B.C.2D.323答案答案B不妨设双曲线C为-=1(a0,b0),并设

28、l过F2(c,0)且垂直于x轴,则易求得|AB|=,=22a,b2=2a2,离心率e=,故选B.错因分析错因分析将|AB|求错或者将实轴长视作a是致错的主要原因.评析评析本题主要考查双曲线的方程、离心率和实轴等几何性质,属中等难度题目.22xa22yb22ba22baca221ba39.(2017北京,9,5分)若双曲线x2-=1的离心率为,则实数m=.2ym3答案答案2解析解析本题考查双曲线的性质.由题意知,a2=1,b2=m.e=,m=2.ca221ba11m310.(2016江苏,3,5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线-=1的焦距是.27x23y答案答案210解析解析由-=1,得a2

29、=7,b2=3,所以c2=10,c=,所以2c=2.27x23y101011.(2016山东,13,5分)已知双曲线E:-=1(a0,b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上,AB,CD的中点为E的两个焦点,且2|AB|=3|BC|,则E的离心率是.22xa22yb答案答案2解析解析由已知得|AB|=|CD|=,|BC|=|AD|=|F1F2|=2c.因为2|AB|=3|BC|,所以=6c,又b2=c2-a2,所以2e2-3e-2=0,解得e=2,或e=-(舍去).评析评析本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB|=3|BC|和b2=c2-a2构造关于离心率e的方程是求解的关键.22ba24ba

30、1212.(2015湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.22xa22yb答案答案5解析解析不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,因为线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,所以由中点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,-=1,=5,e=.22ca22(2 )bb22caca513.(2015山东,15,5分)平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:-=1(a0,b0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p0)交于点O,A,B.若OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.22xa22yb答案答案

31、 32解析解析设点A在点B左侧,抛物线C2的焦点为F,则F.由和分别解得A,B.F为OAB的垂心,AFOB,kAFkOB=-1,即=-14b2=5a24(c2-a2)=5a2=,e=.0,2p22,xpybyxa 22,xpybyxa2222,bpb paa2222,bpb paa22222b ppabpaba22ca94ca3214.(2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:-y2=1(a0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AFx轴,ABOB,BFOA(O为坐标原点).(1)求双曲线C的方程;(2)过C上一点P(x0,y0)(y00)的直线l:-y0y=1与直线AF相交

32、于点M,与直线x=相交于点N.证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.22xa02x xa32|MFNF解析解析(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.又直线OA的方程为y=x,则A,kAB=.又因为ABOB,所以=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y00),即y=.因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;直线l与直线x=的交点为N21a 1a1a,22cca1a,cca22ccaacc 3a3a1a23x303x x0033x xy

33、00232,3xy32,则=.因为P(x0,y0)是C上一点,则-=1,代入上式得=,所求定值为=.003332,23xy22|MFNF20202020(23)(3)33124(3)xyxy202200(23)99(2)44xyx43202200(23)33(2)xyx203x20y22|MFNF43202200(23)33(2)xxx 4320200(23)4129xxx43|MFNF232 33考点一双曲线的定义和标准方程考点一双曲线的定义和标准方程1.(2019河南洛阳尖子生第二次联考,4)经过点(2,1),且渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切的双曲线的标准方程为()A.-=1B.-y

34、2=1C.-=1D.-=12113x211y22x2113y211x211y2113x三年模拟A组 20172019年高考模拟考点基础题组答案答案A设双曲线的渐近线方程为y=kx,即kx-y=0,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切可得圆心(0,2)到渐近线的距离等于半径1,由点到直线的距离公式可得=1,解得k=.因为双曲线经过点(2,1),所以双曲线的焦点在x轴上,可设双曲线的方程为-=1(a0,b0),将(2,1)代入可得-=1,由得故所求双曲线的标准方程为-=1.故选A.一题多解设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),将(2,1)代入方程可得,4m-n=1.双曲线的渐近线方程为y

35、=x,圆x2+(y-2)2=1的圆心为(0,2),半径为1,由渐近线与圆x2+(y-2)2=1相切,可得=1,即=3,由可得m=,n=,所以该双曲线的标准方程为-=1,故选A.解后反思解后反思用待定系数法求双曲线的方程时,先确定焦点在x轴还是y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”,如果焦点的位置不好确定,可将双曲线的方程设为-=(0)或mx2-ny2=1(mn0),再根据条件求解.2|02|1kk 322xa22yb24a21b22411,3abba2211,311,ab2113x211ymn21mnmn3111112113x211y22xm22yn2.(201

36、9河南郑州一模,7)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,实轴长为6,渐近线方程为y=x,动点M在双曲线左支上,点N为圆E:x2+(y+)2=1上一点,则|MN|+|MF2|的最小值为()A.8B.9C.10D.1122xa22yb136答案答案 B由题意知2a=6,则a=3,又由=得b=1,所以c=,则F1(-,0).根据双曲线的定义知|MF2|=2a+|MF1|=|MF1|+6,所以|MN|+|MF2|=|MN|+|MF1|+6=|EN|+|MN|+|MF1|+5|F1E|+5=+5=9,当且仅当F1,M,N,E共线时取等号,故选B.ba1322ab101022(

37、 10)(6) 3.(2019河北石家庄二中3月模拟,10)已知双曲线C:-=1(b0),F1,F2分别为C的左、右焦点,过F2的直线l分别交C的左、右支于点A,B,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=()A.4B.8C.16D.32216x22yb答案答案C由双曲线定义知|AF2|-|AF1|=2a,|BF1|-|BF2|=2a,由于|AF1|=|BF1|,所以两式相加可得|AF2|-|BF2|=4a,而|AB|=|AF2|-|BF2|,|AB|=4a,由双曲线方程知a=4,|AB|=16,故选C.4.(2019豫东豫北十所名校第五次联考,15)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦

38、点分别为F1,F2,过点F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A,B两点.若ABF2的内切圆与边AB,BF2,AF2分别相切于点M,N,P,且AP的长为4,则a的值为.22xa22yb答案答案2解析解析由题意知|BM|=|BN|,|F2P|=|F2N|,|AM|=|AP|,则|BF1|-|BF2|=|MF1|-|NF2|=2a,又|AF2|-|AF1|=2a,则|AF1|=|AF2|-2a,所以|BF1|-|BF2|=|MA|+|AF1|-|NF2|=|MA|+|AP|+|PF2|-2a-|NF2|=8-2a=2a,所以a=2.5.(2018河北名校名师俱乐部二调,15)已知F1、F2分别是

39、双曲线x2-=1(b0)的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且F1AF2=45,延长AF2交双曲线的右支于点B,则F1AB的面积等于.22yb答案答案4解析解析由题意知a=1,由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a=2,|BF1|-|BF2|=2a=2,|AF1|=2+|AF2|=4,|BF1|=2+|BF2|.由题意知|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|,|BA|=|BF1|,BAF1为等腰三角形,F1AF2=45,ABF1=90,BAF1为等腰直角三角形.|BA|=|BF1|=|AF1|=4=2.=|BA|BF1|=22=4.222221F ABS1

40、212221.(2019河南鹤壁高中4月模拟,5)设F1,F2是双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线C右支上一点,若|PF1|+|PF2|=4a,且F1PF2=60,则双曲线C的渐近线方程是()A.xy=0B.2xy=0C.x2y=0D.2xy=022xa22yb3733考点二双曲线的几何性质考点二双曲线的几何性质答案答案 CF1,F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线右支上,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|+|PF2|=4a,|PF1|=3a,|PF2|=a.在PF1F2中,由余弦定理的推论可得cos60=,即=,3a2=10a2-4c2,即4c

41、2=7a2,又知b2+a2=c2,=,双曲线C的渐近线方程为y=x,即x2y=0,故选C.222121212|2| |PFPFFFPFPF12222(3 )42 3aacaa22ba343232.(2019湖南长沙3月统一考试,6)已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,P是其一条渐近线上的一点,且以F1F2为直径的圆经过点P,则PF1F2的面积为()A.B.1C.D.2222答案答案 C设P(x0,y0),不妨设点P在双曲线C的过一、三象限的渐近线x-y=0上,因此可得x0-y0=0.F1(0,),F2(0,-),所以|F1F2|=2,以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2

42、=2,又以F1F2为直径的圆经过点P,所以+=2.由得|x0|=1,于是=|F1F2|x0|=21=,故选C.22220 x20y0022000,2xyxy1 2PFFS1212223.(2019湖南长沙雅礼中学第八次模拟,11)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点为F1、F2,在双曲线上存在点P满足2|+|,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A.1e2B.e2C.1b0)的右焦点,A,B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点,AFBF,且AF的中点在双曲线C上,则C的离心率为()A.-1B.C.D.+122xa22yb53125123答案答案AF为双曲线C:-=1(ab0)的右焦

43、点,F的坐标为(c,0).设A,B是双曲线C的一条渐近线y=x上关于原点对称的两点,A(x00),B,=,=,AFBF,(x0-c)(-x0-c)+x0=0,-c2+=0,又a2+b2=c2,=c2,即=a2,x00,x0=a,点A的坐标为(a,b),AF的中点坐标为,又AF的中点在双曲线C上,-=1,即-=1,(e+1)2=5,已知e1,e=-1,故选A.22xa22ybba00,bxxa00,bxxaFA00,bxcxaFB00,bxcxaba0bxa20 x22ba20 x22ca20 x20 x,22ac b222aca222bb2(1)4e1455.(2019福建福州3月联考,10)

44、如图,双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作直线与C的渐近线交于P点,若等腰PF1F2的底边PF2的长等于C的半焦距,则C的离心率为()A.B.C.D.22xa22yb2 33232 6332答案答案C依题意得,kOP=,在等腰PF1F2中,cosPF2F1=,所以|OP|2=c2+c2-2c2cosPF2F1=c2,所以|OP|=c,所以cosF2OP=,所以tanF2OP=,所以=,解得e=,故选C.ba222caa21e 212|2|PFF F22cc1432622|2|OPOF6415321e 1532 636.(2018河南4月适应性测试,9)已知F1、

45、F2分别是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,P是双曲线上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且PF1F2的最小内角为,则双曲线的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=xD.y=x22xa22yb612222答案答案D不妨设P为双曲线右支上一点,则|PF1|PF2|,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又因为所以PF1F2为最小内角,故PF1F2=.由余弦定理的推论,可得=,即(a-c)2=0,所以c=a,则b=a,所以双曲线的渐近线方程为y=x,故选D.22 ,42 ,caaa6222(4 )(2

46、 )(2 )2 42acaac323322一、选择题一、选择题( (每题每题5 5分分, ,共共4040分分) )B组 20172019年高考模拟专题综合题组(时间：45分钟 分值：50分)1.(2019河南洛阳二模,8)已知双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(2,)在双曲线上,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,则该双曲线的方程为()A.x2-y2=1B.-=1C.x2-=1D.-=122xa22yb322x23y23y216x24y答案答案A|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,|PF1|+|PF2|=4c.点P位于第一象限,|PF1|-|

47、PF2|=2a,|PF1|=2c+a,|PF2|=2c-a,cosPF2F1=,又点P(2,)在双曲线上,sinPF2F1=,+=1,化简得(c-2a)2+3=(2c-a)2,即c2-a2=b2=1,又-=1,a2=1,双曲线的方程为x2-y2=1,故选A.2224(2)(2)4 (2)ccacacca22caca332ca222caca23(2)ca24a23b2.(2019安徽五校联盟第二次质检,4)-=4表示的曲线方程为()A.-=1(x-2)B.-=1(x2)C.-=1(y-2)D.-=1(y2)22(3)xy22(3)xy24x25y24x25y24y25x24y25x答案答案C的几

48、何意义为点M(x,y)到点F1(0,3)的距离,的几何意义为点M(x,y)到点F2(0,-3)的距离,则-=4表示点M(x,y)到点F1(0,3)的距离与到点F2(0,-3)的距离的差为4,且40,b0)的左、右焦点,P为双曲线右支上任一点,若的最小值为8a,则该双曲线离心率e的取值范围是()A.(0,2)B.(1,3C.2,3)D.3,+)22xa22yb212|PFPF答案答案B由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|=2a+|PF2|,=+|PF2|+4a2+4a=8a,当且仅当|PF2|=,即|PF2|=2a时,等号成立.的最小值为8a,|PF2|=2a,|PF1|=4

49、a.点P在双曲线右支上,|PF1|+|PF2|F1F2|,当且仅当P1、F1、F2三点共线且点P为右顶点时等号成立,即6a2c,e3,又e1,e(1,3,故选B.知识拓展知识拓展点P是双曲线-=1(a0,b0)右支上一点,F1,F2是左、右焦点,则有|PF2|min=c-a,|PF1|min=c+a.212|PFPF222(2|)|aPFPF222224|4 |aPFa PFPF224|aPF2224|aPFPF224|aPF212|PFPF22xa22yb4.(2019湖南衡阳二模,9)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,以坐标原点O为圆心,OF1的长为半径作圆,

50、O与E在第一象限交于点P,若直线PF1的倾斜角为且sin2=,则双曲线E的离心率为()A.B.C.2D.422xa22yb34243答案答案 C由题意知F1PF2=,即PF1F2为直角三角形,sin=,cos=,|PF2|=2csin,|PF1|=2ccos,由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a,即2ccos-2csin=2a,cos-sin=,两边平方得1-sin2=,e2=4,又知e1,e=2,故选C.22|2PFc1|2PFcac22ac21e5.(2019安徽宣城二模,10)已知双曲线C:-=1(a0,b0)的左、右焦分别为F1、F2,O为坐标原点,P是双曲线在第一象限内的点,直

51、线PO交双曲线C左支于点M,直线PF2交双曲线C右支于点N,若|PF1|=2|PF2|,且MF2N=60,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=xB.y=xC.y=2xD.y=2x22xa22yb2222答案答案A连接F1M.点P是双曲线C在第一象限内的点,|PF1|-|PF2|=2a,又知|PF1|=2|PF2|,|PF1|=4a,|PF2|=2a,直线PO交双曲线C左支于点M,由对称性可知,|PO|=|OM|,又|OF1|=|OF2|,四边形PF1MF2为平行四边形,|MF2|=|PF1|=4a.在POF2中,由余弦定理得4a2=|PO|2+c2-2c|PO|cosBACPOF2,在POF1

52、中,由余弦定理得16a2=|PO|2+c2+2c|PO|cosPOF2,由+得20a2=2|PO|2+2c2,|PO|2=10a2-c2,即|PO|=,|PM|=2,又直线PF2交双曲线C右支于点N,且MF2N=60,MF2P=120.在PMF2中,由余弦定理得4(10a2-c2)=4a2+16a2-22a4acos120,即c2=3a2,又知c2=a2+b2,a2+b2=3a2,=2,=,双曲线C的渐近线方程为y=x,故选A.2210ac2210ac22baba226.(2019湖南岳阳二模,11)设双曲线C:-=1(a0,b0)的右焦点为F,O为坐标原点,若双曲线及其渐近线上各存在一点Q,

53、P,使得四边形OPFQ为矩形,则其离心率为()A.B.2C.D.22xa22yb356答案答案A如图,作PHx轴于点H,设点P(xP,yP),易知OH=xP,PH=yP,OPHOFP,所以=,则xPOF=OP2xP=又由于点P在渐近线y=x上,因此有yP=xP=,即P.设点Q(xQ,yQ),由PQ的中点坐标为可知,xQ=c-=,yQ=-yP=-,即Q.将点Q的坐标代入双曲线方程结合a2+b2=c2可得c2=3a2,即e=.思路分析思路分析根据题意,借助平面几何知识求出点P的坐标,利用矩形对角线的性质及中点坐标公式求得点Q的坐标,将点Q的坐标代入双曲线方程得a2与c2的关系式,从而求得离心率.O

54、HOPOPOF2OPOF2,acbabaabc2,aabcc,02c2ac2bcabc2,babcc37.(2018山西太原五中4月月考,11)已知F1、F2是双曲线-=1(a0,b0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左支交于点A,与右支交于点B,若|AF1|=2a,F1AF2=,则=()A.1B.C.D.22xa22yb231 22AFFABFSS121323答案答案B如图所示,由双曲线定义可知|AF2|-|AF1|=2a.又|AF1|=2a,所以|AF2|=4a,因为F1AF2=,所以=|AF1|AF2|sinF1AF2=2a4a=2a2.设|BF2|=m,由双曲线定义可知|BF1|

55、-|BF2|=2a,所以|BF1|=2a+|BF2|,又知|BF1|=2a+|BA|,所以|BA|=|BF2|.又知BAF2=,所以BAF2为等边三角形,边长为4a,所以=|AB|2=(4a)2=4a2,所以=,故选B.231 2AFFS121232332ABFS343431 22AFFABFSS222 34 3aa12思路分析思路分析利用双曲线定义及|AF1|=2a求得|AF2|,从而利用三角形面积公式求出;在BF1F2中,利用双曲线定义得|BA|=|BF2|,从而得ABF2为等边三角形,进一步可求得,最后得面1 2AFFS2ABFS积的比值.解题关键解题关键利用双曲线定义得|BF1|-|BF2|=2a,进而结合|BF1|=2a+|BA|得出|BA|=|BF2|是求解本题的关键.8.(2017福建福州3月质检,11)已知双曲线E:-=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,|F1F2|=6,P是E右支上的一点,PF1与y轴交于点A,PAF2的内切