导数有关的可转化为最值的多元问题答案

1、导数有关的可转化为最值的多元问题1 a 21.(本小题满分12分)设函数f(x)x ax In x ( a R).2(1 )当a R时，讨论函数f (x)的单调性；(2)若对任意a (2,3)及任意为,X2 1,2，恒有ma In 2 f(xj f (x2)成立, 数m的取值围.【答案】(1)a 1时，f(x)在(0,1)单调减，(1,)单调增；1 1 1 a 2时，f(x)在(0,1)单调减，在(1,)单调增，(，)单调减;a 1a 1 当a 2时，f (x)在(0,)上是减函数；1 1当a 2时，f(x)在0,亠 ,1, 为增函数，,1为减函数a 1a 1(2) m 0【解析】试题分析：第

2、一问对函数求导，导数大于零单调增，导数小于零单调减，注意对参数的 取值围进行讨论，讨论的标准就是导数等于零时根的大小，得出相应的单调区间，第二 问ma In 2 f(xj f区)恒成立，转化为 ma In 2大于f(xj f(X2)的最大值,而f(xj f(X2)的最大值是函数在给定区间上的最大值与最小值的差距，从而求得结果，该问题转化为求函数在给定区间上的最值问题，之后结合第一问，根据所给的参数 的取值围，确定出函数的最值，从而求得结果.1(1 a)x2 ax 1(1 a)x 1(x 1)试题解析：(1) f '(x)(1 a)x axxxa1 时，(1a)x10 , f (x)在(

3、0,1)单减，(1,)单增；1a 2时，11 , f (x)在(0,1)“ 1单减，在(1,-1)单增，(,)a 1a1a 1单减；当-11即a2时,(x 1)2 f'(x)0, f (x)在(0,)上是减函数；a1x当11,即a2时，令f '(x)0,得0 x1 1或x 1,令 f '(x)0 ,得x 1a1a 1a 10, 1-,1,为增函数1,1为减函数a 1a 1(2)由(1 )知，当a (2,3)时，f(x)在1,2上单调递减,当x 1时，f(x)有最大值，当x 2时，f(x)有最小值，In 2 ，0 .恒成立问题.a 3a 3|f(xj f(X2)| f(1

4、) f (2)ln2, ma In 22 22 21 3113而a 0经整理得m由2 a 3得0, m2 2a4 2 2a考点：应用导数研究函数的单调性，利用导数求函数在给定区间上的最值，2 .(本小题满分14分)已知函数f(x) ex(sinx cosx) a ( a为常数).(I)已知a3，求曲线y f(x)在(0, f (0)处的切线方程；(n)当0 x时，求f (x)的值域；(川)设 g(x) (a2 a 10)ex，若存在 X1 , x 2 0,，使得 f(xj g(X2) 13 e2 成立，数a的取值围.【答案】(I) 2xy 20 ； (n) ea,e2a;(川)1a 3.【解析

5、】试题分析：(I)由f (x)2ex cosx，计算f (0)2 ,f(0)2,由直线方程的点斜式即得.(n)应用导数研究函数的单调性、最值即得.2(川)Q a a 100 , g(x)在0,是增函数,2g(0) a a10,g( ) (a2 a10)e ,g(x)的值域为a2a 10,( a2 a10)e .2依题意，a2a3 0，解之即得.试题解析:(I ) f (x)x e(sin xcosx) ex(cos xsin x)2ex cosx1分f (0) 2 ,f(0)22分切线方程为：y22(x 0)，即2xy 20为所求的切线方程.3分(n)由 f (x)2ex cos x 0 ,得

6、 0x2 .，f (x) 2ex cosx0,得x.2y f (x)在0,3上单调递增，在3,上单调递减.5分ymaxf(2) * a6 分f (0)1 a, f ( ) e a f(0) , yminf ( ) e a ,f (x)的值域为e a,e2 a2(川)Q a a 100 , g(x)在0,是增函数,g(0)2 2g(x)的值域为a2a 10,(a2 a 10)e .10分a a 10, g( ) (a a 10)e ,Qa2 a 10 (e2 a) (a 1)2 (9 e空)011 分依题意，a2 a 10 (e2 a) 13 e2 ,12 分2即 a 2a 3 0 ,1 a 3

7、14 分考点：1 导数的几何意义；2 应用导数研究函数的单调性、最值；3 转化与化归思想.In x在 x1-处都取得极值.2K3.(本小题满分12分)已知f x 2ax -x(1 )求a , b的值;(2)设函数2mx m，若对任意的22，总存在X2丄，2，使2【答案】(1)x2In x2数m的取值围.a=b= 1(2)(3,51，【解析】试题分析:求导数f (x)-处都取得极值，得2f (1) 0, f=0得关于a,的方程组，解出b，然后检验；(2 )对任意的X12,2总存在x21-,2 使得gf X2ln X2 ,等价于g( X)min f(X)InXmin ,利用函数单调性易求f(X)

8、InXmin，按照对称轴在区间f,2的左侧、部、右侧三种情况进行讨论可求得(X)min，然后解不等式f( X)minf(X)In Xmin 可得答案试题解析：(1) Q f x2ax In x, f x 2a _-2 _ ,XX Xb1Q f x 2ax In x在x 1与x处都取得极值，x2b1所以f x2 axIn x在x 1与x处都取得极值,x2所以a=b=13(2 )由(1)知函数yf x Inxf(x)(x) min23213 276 ,x丄上递减3 3x又函数g( x)2x 2mx m图象的对称轴是x m ,1f (10, f - =0,22a b 仁0,a b2a 4b 2=0当

9、a=b= 1时,32 x 1 x -2 1 1 22 23 3x x3x1 1当 m 时，g(x)min g -221当 2 m 2 时，g(x)min = g27 c 2 cm m , 6m 6m61171,Q成立，m；44622m = mm3.513.5?7 0,m 一662,3 516当 m 2 时，g( X)min g4 3m,4 3m731,m,Q m>2, m618综上：实数m的取值围为(考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件.4 .(本小题满分12分)已知f (x)mx a lnx m,g(x)ex其中m, a均为实数,(i)求g(x)的极值；(n)设

10、 m = 1,a = 0 ,求证：对 花必 3,4 (% X2), f(X2) f(xj-ex -ex 恒成立；g(x2)g(N)(川)设a 2，若对 给定的X。0,e，在区间0,e上总存在上缶 t?)使得f(tjf(t2) g(x°)成立，求m的取值围.(n)证明见解析；/ 、3(川)m e 1【解析】试题分析：第一问根据函数的极值的定义，结合导数求得函数的极值，注意虽然函数只 有极大值，没有极小值，也得说明没有极小值，第二问注意对式子的变形，结合函数的 单调性，将绝对值的符号去掉，构造一个新函数，从而判断出函数的单调性，可以有导 数的符号来决定，从而求得结果，第三问根据题意，确定

11、出函数的图像的走向以及函数 值的取值，确定出两个函数的值域的关系，从而求得结果.ex'试题解析：(I)g(x)-, g (x)e(x 1)X1,1 , 1,g(x)极大ee值g(1)1，无极小值；(n) Q m = 1,a = 0 ,f(x) x 1在3,4上是增函数exex而e在3,4上是增函数X2 4，则原不等式转化为f (X2)- f (Xi)<ex2g(x2)ex-ig(xj即 f (X2)-ex2gX)f (xi)-ex1g(xi)ex令 h(x) = f (x) -= x - ex - 1,g(x)即证 x1x2, h(x2) h(x-i)，即 h(x)在 3,4Q

12、h (x) = 1 - ex < 0 在3,4恒成立即h(x)在3,4，即所证不等式成立(3)由(1 )得 g(x)在 0,1, 1,e,g(x)maX g(1) 1所以，g(x) °f'(x)又2 mx，当m °时,f (x)°, f(x)在 0, e，不符合题意当 m 0 时，要 t1,t2使得 f(tjf(t2),2那么由题意知f(x)的极值点必在区间°,e，即°em得m 2，且函数f(x)在0,-, -,eemm由题意得g(x)在0,e上的值域包含于f (x)在0,-和-,e上的值域m m2,e , mf(2) 0mf(e

13、) 10,-时，f (t)1，取 tm2e m，先证e m ，即证2em m 0m令 w(x)2ex x, w (x)2ex10,在 3 ,恒成立e 1w(x)3,w(x) w()0,2em m 0e 1f(em) 1, f(e m)mme3m m431, m再证e 1e 1考点：函数的极值，函数的单调性，恒成立问题.f (x 1) g(x),其中 a,b R.25.已知 f(x) a In(x 1), g(x) x bx , F (x)(1 )若y f (x)与y g(x)的图像在交点(2,k)处的切线互相垂直，求a, b的值；(2 )若x 2是函数F (x)的一个极值点，X。和1是F (x

14、)的两个零点，且x0 (n,n 1), n N ,求 n 的值；(3 )当b a 2时，若为，X2是F (x)的两个极值点，当为 他 1时，求证：F(G F(x2)3 4In2.1【答案】(1)2 ；(2) 3;(3)详见解析b2【解析】af g(2)试题分析：(1 )首先求出f (x),g (x)2xb，由题知5x1f (2) g (2)10 4 2b即即可求出结果；(2)求出a(4 b)1F(x) f(x 1)g(x)=alnx (x2 bx),和F (x)旦 2x b ,由题知FF(1)0可得a6,b1所以F (x)(2x 3)(x 2)；当xx 0,由F (x)0,解得0 x 2;由F

15、 (x)0,解得x 2可知F(x)在(0, 2)上单调递增，在(2,)单调递减，故F(x)至多有两个零点，其中xi (0, 2) , x2 (2,)，又F (2)> F(1) =0, F (3) =6 ( In 3-1)>0, F (4) =6( In 4-2)<0 x° ( 3,4 ),即可 得到结果；(3)当 b a 2时,F (x)- 2x (a 2)(2x a)(x 1),xx由题知F (x) =0在(0,+ g)上有两个不同根 x1, x2,则a <0且a丰-2,此时F (x) =0的a两根为 ，1,2(a)> (4) = 3 4ln 2，即可

16、求出结果试题解析：a(1) f (x), g (x) 2x bx 1从而(a)在(一g, 4)上是减函数由题知fgf (2) g (2)0 4 2b,即1a(4 b) 1解得a当a 0,. a <-4，此时 1即可得到F(x)与F (x)随x的变化情况表；又2| F(xJ - F(X2)|= F (x)极大值-F (x)极小值;根据变化情况表可知1 F (x1 ) - F (x2 ) | =F (x)极大值-F(x)极小值=a ln(a)21 2 + a 一 1,4a设(a) aln(1 2a21,可得(a) ln(|)1-a 1 ,(a)11-,即可得2422a21 1到(a)0 ，可

17、知(a)在(g , 4)上是增函a 2数，(a)<( 4) ln2 10(2) F(x)F (2)0a4b06, b 1由题知,即2解得aF01b0- F(x)26ln x (xx),F(x)-2x 1x(2x 3)(x 2)xf (x 1) g(x) =a ln x (x2 bx), F (x)x x 0,由 F (x)0 ,解得 0 x2;由 F (x)0,解得 x 2F(x)在(0,2)上单调递增，在(2,)单调递减,又 F(2)> F(1) =0, F(3) =6 (In 3-1 ) >0, F (4) =6 ( In 4-2 ) <0 , Xo ( 3,4 )

18、 故n=32(3)当 b a 2 时,F (x) = a In x x(a 2)x,F(x) a 2x (a 2)(2x a)(x 1),xx由题知F (x) =0在(0,+ g)上有两个不同根Xi, X2,则a <0且a丰-2,此时F (x) =0的a两根为 ，1,22由题知卜 a-1|>1,则+ a +1>1, a2 +4 a >02 4a又 a<0, a<-4,此时->12则F(x)与F (x)随x的变化情况如下表(0,1 )1(1,-)2a2/ a、(，+ g)2F (x)-0+0-F(x)极小值极大值aa1 2- I F(X1)-F(x2)|

19、= F(x) 极大值- F(x) 极小值1,224a设(a) aln()24a2 J则(a)ln(自 ia 1(a)11, aa2(a)(a)在(一g, 4)上是增函数(a)<( 4) In 2 10从而 (a)在(一g, 4)上是减函数，(a) > ( 4) =3-4 In 2所以 F(xJ F(X2) 3 4In2.考点：1函数的极值；2.导数在函数单调性中的应用；3.导数在求函数最值中的应用2 2 36.已知函数 f(x) x ax (a 0), x R3(1 )求f (x)的单调区间和极值；(2)若对于任意的x1(2,)，都存在X2(1,)，使得 f (Xj f (X2)1，求 a 的取值围【答案】(1 )所以f(x)的单调增区间是(0,1)，单调减区间是(，0)和(丄，)，当aax 0时，f(x)取极小值0,当x -时,af ( x)取极大值3a23 3(2)4,2【解析】试题分析：对于第一问，注意应用导数，确定出函数的单调区间，进而得出函