202X届高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和课件新人教A版

1、5.2等差数列及其前n项和 -2-知识梳理双基自测1.等差数列(1)定义:一般地,如果一个数列从起,每一项与它的前一项的等于,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的,公差通常用字母d表示.数学语言表示为(nN*),d为常数.(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是,其中A叫做a,b的.(3)等差数列的通项公式:an=,可推广为an=.第2项 差 同一个常数 公差 an+1-an=d 等差中项 a1+(n-1)d am+(n-m)d -3-知识梳理双基自测2.等差数列及其前n项和的性质(1)若m+n=p+q,则(m,n,p,qN*);m+n=2p,则am+an=2ap(m

2、,n,pN*).(2)若an是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差为的等差数列.(3)若an,bn是等差数列,p,qR,则pan+qbn也是等差数列.(4)设Sn是等差数列an的前n项和,则数列也是数列.(5)若等差数列an的前n项和为Sn,则S2n-1=(2n-1)an.(6)若n为偶数,则 ;若n为奇数,则S奇-S偶=a中(中间项).am+an=ap+aq md 等差 -4-知识梳理双基自测3.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d0时,an是关于n的一次函数;当d0时,数列为递增数

3、列;当d0,d0,则Sn存在最值;若a10,则Sn存在最值.大 小 2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“”,错误的打“”.(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列. ()(2)已知数列an的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列an一定是等差数列. ()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数. ()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的. ()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ()-6-知识

4、梳理双基自测234152.已知等差数列an满足a3=13,a13=33,则a7等于 ()A.19B.20C.21D.22C-7-知识梳理双基自测234153.已知等差数列an的前n项和为Sn,若2a11=a9+7,则S25=()D-8-知识梳理双基自测234154.(2018全国,理4)记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4, a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12B解析 因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.-9-知识梳理

5、双基自测234155.在100以内(包括100)的正整数中有个能被6整除的数.16解析 由题意知,能被6整除的数构成一个等差数列an,则a1=6,d=6,得an=6+(n-1)6=6n.由an=6n100,即n ,则在100以内(包括100)有16个能被6整除的数.-10-考点1考点2考点3考点4例1(1)在等差数列an中,若a4=2,且a1+a2+a10=65,则公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)设等差数列an的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等于()A.3B.4C.5D.6(3)若等差数列an的前5项和S5=25,且a2=3,则a7=()A.12B

6、.13C.14D.15思考求等差数列基本量的一般方法是什么?BCB-11-考点1考点2考点3考点4-12-考点1考点2考点3考点4-13-考点1考点2考点3考点4-14-考点1考点2考点3考点4解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想.3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,则可设这三个数为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,则可设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d.-15-

7、考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练1(1)已知等差数列an前9项的和为27,a10=8,则a100=()A.100B.99C.98D.97(2)设Sn为等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16=.(3)已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前n项和,若S8=4S4,则a10=.C-72 -16-考点1考点2考点3考点4-17-考点1考点2考点3考点4-18-考点1考点2考点3考点4例2已知数列an满足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.(1)求a2,a3;(2)证明数列 是等差数列,并求an的通项公式.思考判定一个数列为等差数列的基本方法有哪些?(

8、1)解 由已知,得a2-2a1=4,则a2=2a1+4.又a1=1,所以a2=6.由2a3-3a2=12,得2a3=12+3a2,所以a3=15.-19-考点1考点2考点3考点4-20-考点1考点2考点3考点4解题心得1.等差数列的四种判定方法:(1)定义法:an+1-an=d(d是常数)an是等差数列.(2)等差中项法:2an+1=an+an+2(nN*)an是等差数列.(3)通项公式法:an=pn+q(p,q为常数)an是等差数列.(4)前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)an是等差数列.2.若证明一个数列不是等差数列,则只要证明存在连续三项不成等差数列即可.-21-考点1考

9、点2考点3考点4(1)求证:数列bn是等差数列;(2)求数列an的通项公式.-22-考点1考点2考点3考点4考向一等差数列项的性质的应用例3(1)在等差数列an中,如果a1+a2=40,a3+a4=60,那么a7+a8=()A.95B.100C.135D.80(2)已知Sn是数列an的前n项和,且Sn+1=Sn+an+3,a4+a5=23,则S8=()A.72B.88C.92D.98(3)已知an,bn都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6=.思考利用等差数列项的性质解决问题时常用到什么思想方法?BC21-23-考点1考点2考点3考点4解析 (1)由等差数列的性质可知

10、,a1+a2,a3+a4,a5+a6,a7+a8构成新的等差数列,于是a7+a8=(a1+a2)+(4-1)(a3+a4)-(a1+a2) =40+320=100.(2)(方法一)由Sn+1=Sn+an+3,得an+1-an=3,数列an是公差为3的等差数列.又a4+a5=23=2a1+7d=2a1+21,(3)因为an,bn都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即215=9+(a5+b6),解得a5+b6=21.-24-考点1考点2考点3考点4考向二等差数列前n项和的性质的应用 (3)在等差数列an中,若前m项的和

11、为30,前2m项的和为100,则前3m项的和为.思考本例题应用什么性质求解比较简便?CA210-25-考点1考点2考点3考点4-26-考点1考点2考点3考点4-27-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练3(1)已知等差数列an的前17项和S17=51,则a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17 D.51(2)已知等差数列an,bn的前n项和分(3)已知在等差数列an中,其前n项和为Sn,S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=.AD45-28-考点1考点2考点3考点4(3)an为等差数列,S3,S6-S3,S9-S6成等差数列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).

12、a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.-29-考点1考点2考点3考点4例5(1)设Sn为等差数列an的前n项和,若a4|a4|,则使Sn0成立的最小正整数n为()A.6B.7C.8D.9(2)在等差数列an中,已知a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n取何值时,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差数列前n项和的最值有哪些方法?C-30-考点1考点2考点3考点4-31-考点1考点2考点3考点4-32-考点1考点2考点3考点4解题心得求等差数列前n项和Sn最值的两种方法:(1)利用函数的性质:将等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A

13、,B为常数)看作二次函数,根据二次函数的性质求最值.(2)邻项变号:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,当利用性质求出其正负转折项,便可求得前n项和的最值.-33-考点1考点2考点3考点4对点训练对点训练4(1)等差数列an的前n项和为Sn,已知a5+a7=4, a6+a8=-2,则当Sn取最大值时,n的值是 ()A.5B.6C.7D.8(2)(2018全国,理17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7, S3=-15.求an的通项公式;求Sn,并求Sn的最小值.B解析 (1)依题意得2a6=4,2a7=-2,a6=20,a7=-10;又数列an是等差数列,因此在该数列中,前6项均为正数,自第7项起以后各项均为负数,于是当Sn取最大值时,n=6,选B.-34-考点1考点2考点3考点4(2)解 设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.由得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.-35-思想方法整体思想在等差数列中的应用整体思想,就是在研究和解决有关数学问题时,通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征,从而对问题进行整体处理的解题方法.从整体上去认识问题、思考问题,