直线与双曲线的相交弦问题

1、直线与双曲线的相交弦问题直线与双曲线相交的弦长公式ABJ(X2)2(yy2)2(两点之间的距离)AbAB1k2X2Xi|,/(1k2)(XiX2)24X1X21ABiJ1卜21y2y1I.j(1卜2)(yiy2)24yly2一、已知双曲线方程和直线方程求弦长2例1、过双曲线X2y-1的左焦点F1,作倾斜角为石的弦AB,求AB;F2AB的面积(F2为双曲线的右焦点)21、求直线yx1被双曲线X2-y-1截得的弦长;42、过双曲线16x2-29y144的右焦点作倾斜角为一的弦AB,求弦长AB；3223、已知斜率为2的直线L被双曲线-y-1截得的弦长为2J5,求直线L的方程;544、过双曲线x2y2

2、1的左焦点F2,作倾斜角为的直线与双曲线相交于A,B两点，求:3(1)弦长AB(2)F1AB的周长(F2为双曲线的右焦点)二、已知弦长求双曲线方程2被双5、已知焦点在x轴上的双曲线上一点P,到双曲线两个焦点的距离分别为4和8,直线yx曲线截得的弦长为20J2,求此双曲线的标准方程.6、已知倾斜角为一的直线l被双曲线x24y260截得的弦长AB8/2,求直线l的方程.例2、已知双曲线方程为3x2 y243,求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程.解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解此时，若已知点在双曲线的内部，则中

3、点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k值对判另1式4>0进行验证即可.例3、双曲线方程为3x2y23.问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由7、已知中心在原点，顶点A1,A2在X轴上，离心率为Y21的双曲线经过点3P(6,6)(I)求双曲线的方程;(n)动直线l经过A1PA2的重心G,与双曲线交于不同的两点M,N,段MN。试证明你的结论。问是否存在直线l使G平分线题型三:29、设双曲线C:冬y21a0与直线l:xy1相交

4、于不同的点AaB.求双曲线C的离心率e的取值范围;-5_-设直线l与y轴的交点为P,且PA?PB,求a的值。122解：(1)将y=x+1代入双曲线与一y2=1中得(1a2)x2+2a2x2a2=0aD由题设条件知,21aW04a4+8a2?1a2?>0,解得0<a<42且aw1，又双曲线的离心率e=5a+1,.0<a<j2且awl,1-e>_2He2.555(2)设A(xi,y1),B(x2,y2),P(0,1).PA=PB,.(x1,y-1)=12(x2,y2-1)./.x1=x2,10.OP11.xi、x2是方程的两根，且1a2w0,2消去x2得，昌=而

5、，:a。a60已知双曲线的焦点为F1c,0,F2OQ(其中。为原点)，双曲线的中心为原点别交l1,l2于A,B两点.(I)求双曲线的离心率;PQuuu已知OA、_2172a5'12x2=-1-a2?1217a=而c,0,过F2且斜率为4,求双曲线方程。x轴上，两条渐近线分别为uuuAB、uurOB成等差数列，且(n)设AB被双曲线所截得的线段的长为4,求双曲线的方程.解：(I)设OAmOB2a21aa3的直线交双曲线于P、Q两点，若:511,12,经过右焦点uuiruuuBF与FA同向.由勾股定理可得：(md)2F垂直于11的直线分22m(md)得：d1m4tanAOF-,tanaAO

6、Btan2AOFABOA由倍角公式2ba2b(n)过F直线方程为2(xc),与双曲线方程2yb21联立，将a2b,c75b代入,化简有-152x24b21x1x2(x1x2)24x1x2将数值代入，有32上5b15428b25解得b2x3故所求的双曲线方程为一362工1Io912、已知双曲线2x2a2y_广一1(b>a>0)O为坐标原点，离心率e=2,点M乖,小)在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P,Q两点，且OPOQ0.求而十两解：(1).e=2,c=2a,b2=c2-a2=3a2,双曲线方程为1一a2y2=1,即3x2-y2=3a2.3a14 k2点M

7、8串在双曲线上，15-3=3a2.-.a2=4.所求双曲线的方程为2 21T=1.(2)设直线OP的方程为2、xy = kx( k w 0),联立4123Hk12k| OP2=x2+y2=12?k2 + 1?3-k2、1则OQ勺方程为y = rx,k3k2同理有|OQ2=1211k212?k2+1?13k2+?3k21?2+2k213k2-1|OP2+|OQ2=12?k2+1?=12?k2+1?=6.13.(2012上海)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线G:2x2y2=1.x轴围成的三角形的面积;过G的左顶点引G的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及(2)设斜率为1的直线l交G于P

8、、Q两点.若l与圆x2+y2=1相切，求证：OPLOQ设椭圆C2：4x2+y2=1.若MN分别是C、G上的动点，且OMLON求证：O到直线MN的距离是定值.解:2双曲线C：；y21,左顶点A2,0,渐近线方程为:2y=±必.过点A与渐近线y=42x平行的直线方程为y=px+1.y、2x解方程组y,得y2x1，所求三角形的面积为1S=2|OAIy|=(2)证明：设直线PQ的方程是y=x+b,直线PQ与已知圆相切，甲=1,即,2b2=2.由y°xb得x22bxb21=0.设Rxi,y1)、Qx2,2x2y21Xix2y2),则XX22bb2又y42=(xi+b)(x2+b),故

9、 OPL OQuuruur22222OPOQ=xix2+y1y2=2x1x2+b(xi+x2)+b=2(1b)+2b+b=b2=0.2(3)证明：当直线ON直于x轴时，|ON=1,|0郎=背，则O到直线MN勺距离为当直线ON垂直于x轴时，设直线ON勺方程为y=kx(显然k),1则直线OM勺万禾呈为y=-kx.由ykx224xyk4k2.一2.一221+k21+k"ON2=477.同理IOM2=2kT7.设O到直线MNB勺距离为d.,.(|OM2+|ON2)d2=|OM2|ON2.213k+3d2=|OM2+|ON2=k2+1=3,即d=3.3综上，O到直线MN距离是定值.五、能力提升

10、1.若不论k为何值，直线y=k(x-2)+b与双曲线x2y1总有公共点，则b的取值范围是（(A)3,3(B)3,3(C)2,2(D)2,22.过双曲线1的右焦点F作直线l交双曲线于A、B两点，若|AB|=4,则这样的直线l有（(A)1条(B)2条(C)3条(D)43.过点Pb-1,一的直线l与双曲线a2y_b20,b0有且仅有一个公共点，且这个公共点恰是双曲线的左顶点，则双曲线的实轴长等于（(A)2(B)4(C)1(D)22x4.已知双曲线-2a2yy1a0,b0的右焦点为b2F,若过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是（(A)(1，2(B)(1,2)(C)2+8)(D)(2,+°0)6.直线l:ykx222与双曲线C：xy6的右支交于不同两点，则k的取值范围是7.已知倾斜角为一的直线l被双曲线x24y260截得的弦长AB82,求直