相似三角形经典题(含答案)

1、相似三角形经典习题例1从下面这些三角形中，选出相似的三角形.已知：如图，ABCD中，AE:EB 1:2,求 AEF与CDF的周长的比，如果 S AEF26cm ，求 S cdf .例3如图，已知 ABDs ACE,求证:ABCs ADE .例4下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似.（2）所有的等腰三角形都相似.（3）所有的等腰直角三角形都相似.（4）所有的等边三角形都相似.例5如图，D点是ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE,使点E在ABC的边上，并且点D、点E和ABC的一个顶点组成的小三角形与ABC相似.尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE的画法.例

2、6如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上名112个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高.例7如图，小明为了测量一高楼MN的高，在离N点20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到C点，正好从镜中看到楼顶M点，若AC1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m).例8格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由.例9根据下列各组条件，判定ABC和ABC是否相似，并说明理由：(1) AB3.5cm,BC2.5cm,CA4cm,AB24.5cm,BC17.5cm,CA28c

3、m.(2) A35,B104,C44,A35.(3) AB3,BC2.6,B48,AB1.5,BC1.3,B48.例10如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据.例11已知：如图，在ABC中，ABAC,A36,BD是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AD2DCAC.例12已知ABC的三边长分别为5、12、13,与其相似的ABC的最大边长为26,求ABC的面积S.例13在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向

4、走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行？请说明理由.BCD例14.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使ABBC,然后再选点巳使ECBC,确定BC与AE的交点为D,测得BD120米，DC60米，EC50米，你能求出两岸之间AB的大致距离吗？例15.如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处

5、，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD各是多少？（古代问题）BDGFH例16如图，已知ABC的边AB=2j3,AC=2,BC边上的高AD=J3.（1）求BC的长；（2）如果有一个正方形的边在AB上，另外两个顶点分别在AC,BC上，求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1.解、相似，、相似，、相似例2.解ABCD是平行四边形，AB/CD,ABCD,，AEFsCDF,又AE:EB1:2,.AE:CD1:3,，AEF与CDF的周长的比是1:3.CDF1、222、(),S AEF 6(c

6、m )，S CDF54(cm ).3例3分析BA由于 ABD s ACE ,则 BAD CAE ,因此 BAC DAE ,如果再进一步证明 一 ADCA 皿，则AE问题得证. 证明 又ABDs ACEBAD CAE .BACBACBADDAE .DAEDACABD sAB ACAD AE在ABC和ADE 中， BACAB ADE,-ADACAEABCs ADE例4.分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同.（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同.（3）正确.设有等腰直角三角形ABC 和 A B C ,其中 C C 9

7、0 ,则AA45,设ABC的三边为a、b、cABC的边为a、b、c ,b,cABCs方法为法二BBDE画法略.例6.分析本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即DF 60厘米CE 30 米,求 BC.由于 ADF s AEC-DF ”，又 ACFs ABC, 'EC ACDFEC0.6米，GF 12厘米GF 一一，一,从而可以求出BC0.12 米,BC的长.解 AEEC, DF / ECADFAEC,DAFEACADF sDFAEC .ECAFAC又GFEC,BC EC,GF / BC,AFGACB,AGF AGF s ABC ,AF GFAC BC 'DFECGFBC

8、又DF 60厘米 0.6米，GF 12厘米 0.12米，EC例7.分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，30米，BC 6米.即电线杆的高为BCA与 MNA的相似关系就明确了.6米.解 因为 BC CA,MN AN, BAC MAN ,所以BCAs MNA.所以 MN:BC AN: AC,即 MN :1.6 20:1.5 .所以MN 1.6 20 1.5 21.3 (m).说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件一一长度和角度.b,cABCsABC.（4）

9、也正确，如ABC与ABC都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此答：（1）、（2）不正确.（3）、（4）正确.例5.解：解 在格点中DE EF,AB BC,所以 E B 90又EF1,DE 2, BC 2, AB 4 .所以三 ABEFBCDEF s ABC.说明例9.解（1）因为因为ABAB 1803.5cm1 BC 2.5cm1 CA24.5cmA7 ' BC 17.5cm7'CA41 ,两个三角形中只有 A4cm28cmA ,1 , 一 1 ,所以 ABC s ABC;7另外两个角都不相等，所以ABC与遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏.ABC不

10、相似;(3)因为B,AB例10.解(3)(5)(1)CDEABDABADEs ABCBCBC两角相等;CAB 两角相等；ACB两边成比例夹角相等;ABC相似于 ABC ADE(4) EAB(6) ABD"ACB 两角相等；ECD 两边成比例夹角相等;ACB 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65。的等腰三角形，它的底角是 72。，而BD是底角的平分线,CBD 36 ,则可推出ABCs BCD ,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明A 36 , AB AC ,ABCC 72又 BD平分 ABC, ABDCBD 36AD BDBC,且ABCsBCD,.BC:

11、ABCD:BC,BC2ABCD,.AD2ACCD.说明（1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边.（2）要说明线段的乘积式abcd,或平方式a2bc,一般都是证明比例式，-9,或上月，再根据cbac比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析由ABC的三边长可以判断出ABC为直角三角形，又因为ABCsABC,所以ABC也是直角三角形，那么由ABC的最大边长为26,可以求出相似比，从而求出ABC的两条直角边长，再求得ABC的面积.解设ABC的三边依次为,BC5,AC12,AB13,则AB2BC2AC2,，C90

12、又 ABC" ABC , C C 90又 BC 5, AC 12, BC10, AC 24.BC ACBC AC1S -AC2AB 131A B 2621BC - 24 10 1202例13.分析判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法，过作FGAB于G,交CE于H,可知AGFsEHF,且GF、HF、EH可求，这样可求得AG,故旗杆AB可求.解这种测量方法可行.理由如下：设旗杆高ABx.过F作FGAB于G,交CE于H（如图）.所以AGFsEHF.因为FD1.5,GF27330,HF3,所以EH3.51.52,AGx1.5.AG GF 口r

13、 x 1.5由 AGF s EHF ,得,即EH HF 23030,所以 x 1.5 20,解得 x 21.5 (米)3所以旗杆的高为21.5米.说明在具体测量时，方法要现实、切实可行.例14.解：ADBEDC,ABCECD90,ABD" eCDABEC CDBD,AB BD EC 120 50 100 （米），答：两岸间AB大致相距100米.CD60例15.答案：AB1506米，BD30750步，（注意：KC-DGAK,KE里AK.）CDFE例16.分析：要求BC的长，需画图来解，因AB、AC都大于高AD,那么有两种情况存在，即点D在BC上或点D在BC的延长线上，所以求BC的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积，关键是求正方形的边长.BC= BD+ DC = 3+ 1 = 4.解：（1）如上图，由AD±BC,由勾股定理得BD=3,DC=1,所以如下图，同理可求BD=3,DC=1,所以BC=BD-CD=3-1=2.（2）如下图，由题目中的图知 BC=4,16 , BC2 16222 一,AB AC BC .所以ABC是直角三角形.由AE