直线与圆的方程典型例题

1、高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内.解法一：(待定系数法)设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.圆心在y=0上，故b=0.，圆的方程为(xa)2+y2=r2.又该圆过A(1,4)、B(3,2)两点.22_2.(1-a)+16=r._223a)+4=r解之得：a=1,r

2、2=20.所以所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.解法二：(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因为4-2kAB=4-=-1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为：1-3y3=x2即xy+1=0.又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为C(1,0)半径r=ac|=J(1+1)2+42=V20.故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为d=|PC=42+1)2+42=V25>r.点P在圆外.22例2求半径为4,与圆x+y-4x-2y-4=0相切

3、，且和直线y=0相切的圆的方程.分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)2+(yb)2=r2.圆C与直线y=0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4).又已知圆x2+y24x2y4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切，则CA=4+3=7或CA=43=1.(1)当Ci(a,4)时，(a2)2+(41)2=72,或(a2)2+(41)2=12(无解)，故可得a=2±2v10.所求圆方程为(x22痴)2+(y4)2=42,或(x2+2J10)2+(y4)2=42.(2)当C2(a,4)时，(a2)2+(Y

4、1)2=72,或(a2)2+(Y1)2=12(无解)，故a=2±2)6.所求圆的方程为(x22/6)2+(y+4)2=42,或(x2+2j6)2+(y+4)2=42.说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为C(a,4),且方程形如,、2,、2222_,一、2,、2_2(x-a)+(y4)=4.又圆x+y4x2y4=0,即(x-2)+(y1)=3,其圆心为A(2,1),半径为3.若两圆相切，则CA=4+3.故(a2)2十(41)2=72,解之得a=2±2d10.所以欲求圆的方程为(x22函)2十(y4)2=42,或(x2+2J10)

5、2十(y4)2=42.上述误解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y=0下方的情形.另外，误解中没有考虑两圆内切的情况.也是不全面的.例3求经过点A(0,5),且与直线x2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程.分析：欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故只需确定圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.解：:圆和直线x2y=0与2x+y=0相切，圆心C在这两条直线的交角平分线上，又圆心到两直线x2y=0和2x+y=0的距离相等.两直线交角的平分线方程是x+3y=0或3x-y=0.又圆过点A(0,5),圆心C只能在直线3xy=0上.设

6、圆心C(t,3t) C到直线2x + y = 0的距离等号AC第3页共21页2t+3t|，-工=vt2+(3t-5)2-化简整理得t2-6t+5=0.解得：1=1或1=5圆心是(1,3),半径为J5或圆心是(5,15),半径为5v5.所求圆的方程为(x1)2+(y3)2=5或(x-5)2+(y-15)2=125.说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.例4、设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段弧，其弧长的比为3:1,在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y

7、=0的距离最小的圆的方程.分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程.满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程.解法一：设圆心为P(a,b),半径为r.则P到x轴、y轴的距离分别为b和a.由题设知：圆截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°,故圆截x轴所得弦长为J2r.221r=2b又圆截y轴所得弦长为2.又P(a,b)到直线x2y=0的距离为a-2bd155d2=a-2b2.2,=a4b-4ab2222,a24b2-2

8、(a2b2)22=2b2-a2=1当且仅当a = b时取“二”号，此时dmin.5'a =b2b2 -a2 =1a =1或J b=1a = 1b - -1又 r2 =2b2 =2故所求圆的方程为(x-1)2 (y-1)=2 或(x + 1)2 +(y + 1)2 =2解法二：同解法一，得a2bd=5a-2b=±*：5d.1-a2=4b2±4,5bd+5d2.将a2=2b2_1代入上式得:2b2±4V5bd+5d2+1=0.上述方程有实根，故2=8(5d-1)>0,.5，将d=代入方程得b=±1.5又2b2=a2+1a=±1.a-2

9、b=1知a、b同号.故所求圆的方程为（x_1）2+（y_1）2=2或（x+1）2+（y+1）2:2.说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢?类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5已知圆O：x2+y2=4,求过点P（2,4方圆O相切的切线.解：二点P（2,4六在圆O上，切线PT的直线方程可设为y=k（x-2）+4根据d二r解得所以即一2k 4 =2 .1 k23k =一43 一y = - x -2 443x-4y 10 =0因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切线为x=2.说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回

10、漏掉的解.本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）.还可以运用x0x+y0y=r2,求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解.例6两圆G：x2十y2十Dix十Eiy十Fi=0与C2：x2十y2十D?x十E?y+F2=0相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.分析：首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁.为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.解：设两圆Ci、C2的任一交点坐标为（x°,y°）,则有：22_一一x+y0+DiR+Eiy°+Fi=022%+y0+

11、D2%+E2y°+F2=0得：(Di-D2)x0+(Ei-E2)y0+Fi-F2=0.A、B的坐标满足方程（D1_D2）乂+（工_£2）丫+_52=0.，方程（DiDz）x+（EiEz）y+FiF2=0是过A、B两点的直线方程.又过A、B两点的直线是唯一的.，两圆Ci、C2的公共弦AB所在直线的方程为（DiDz）x+（EiEz）y+FiF2=0.第5页共2i页说明：上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系

12、的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.例7、过圆x2+y2=1外一点M(2,3),作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。练习:221.求过点M(3,1),且与圆(x1)十y=4相切的直线l的方程.解：设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y3k+1=0,圆心(1,0)到切线l的距离等于半径2,.修口=2,解得k=.3,.k2-1243，切线万程为y-1=(x3),即3x+4y13=0,4当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为x=3,圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2,故直线x=3也适合题意。所以，所求的直线l的方程是3x+4y13=0

13、或x=3.22一一5一2、过坐标原点且与圆x2十y24x+2y十一=0相切的直线的方程为25解：设直线万程为y=kx,即kx-y=0,圆万程可化为(x2)2+(y+1)2=，圆心为(2,10、,2k1,101,一-1）,半径为.依题思有=,斛得k=-3或k=一，直线方程为y=-3x或2k2123，1y=x.3223、已知直线5x+12y+a=0与圆x-2x+y=0相切，则a的值为oo5+a一1-，、一解：圆（x1）2+y2=1的圆心为（1,0）,半径为1,=1,解得a=8或a=-18.52122类型三：弦长、弧问题22例8、求直线l:3xy-6=0被圆C：x+y2x4y=0截得白弦AB的长.例

14、9、直线J3x+y_2J3=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d=翼,故弦长AB|=2jr2d2=2,从而oab是等边三角形，故截TT得的劣弧所对的圆心角为.AOB=.3例10、求两圆x2+y2x+y2=0和x2+y2=5的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系例11、已知直线J3x+y-2J3=0和圆x2+y2=4,判断此直线与已知圆的位置关系.例12、若直线y=x+m与曲线y=J4x2有且只有一个公共点,求实数m的取值范围.解：曲线y=j4-x2表示半圆x2+y2=4（y之0）,.利用数形结合法，可得实数m的取值范围是2Mm<2或m=2j2.例13圆（x3）2

15、+（y-3）2=9上到直线3x+4y11=0的距离为1的点有几个？分析：借助图形直观求解.或先求出直线11、12的方程，从代数计算中寻找解答.解法一：圆（x3）2+（y3）2=9的圆心为。1（3,3）,半径r=3.设圆心。1到直线3x+4y-11=0的距离为d ,则d =3x3+4x3-11、3242= 2<3.第13页共21页如图，在圆心。1同侧，与直线3x+4y-11=0平行且距离为1的直线11与圆有两个交点，这两个交点符合题意.又rd=3-2=1.与直线3x+4y-11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.符合题意的点共有3个.解法二：符合题意的点是平行于直线3x+4

16、y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的交点.设所求直线为3x+4y+m = 0 ,则d =m 11113T7，m+11=±5,即m=-6,或m=-16,也即l1:3x+4y6=0,或l2：3x+4y16=0.22设圆O1:（x3）+（y3）=9的圆心到直线11、12的距离为d1、d2，则3d1 =x3+4x3-6-=3 , d2 =7324223 3 4 3-16<32 +421，11与。1相切，与圆。1有一个公共点；12与圆。1相交，与圆。1有两个公共点.即符合题意的点共3个.说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：3x3+4x3-11设圆心O1到直线3x+4y-11=

17、0的距离为d,则d1-2=2<3.3242，圆O1至ij3x+4y11=0距离为1的点有两个.显然，上述误解中的d是圆心到直线3x+4y11=0的距离，d<r,只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.22练习1：直线x+y=1与圆x+v2ay=0（aa0）没有公共点，则a的取值范围是解：依题意有la1Aa,解得一V21<a&l

18、t;.运一1a>0,0<a<<2-1.练习2：若直线y=kx+2与圆（x2）2+（y3）2=1有两个不同的交点，则k的取值范围是.一2k-1一44解：依题意有j<1,解得0<k<一，k的取值范围是（0,）.,k2133；3、 圆x2+y2+2x+4y3=0上到直线x+y+1=0的距离为J2的点共有（）.（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个2.2分析：把x2+y2+2x+4y3=0化为（x+1）+（y+2）=8,圆心为（_1,2）,半径为r2222,圆心到直线的距离为22,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于J2,所以选C.4、 过点P(-3,-4昨

19、直线1,当斜率为何值时，直线l与圆CXx-lf+(y+22=4有公共点，如图所示.分析：观察动画演示，分析思路.解：设直线1的方程为y4=kx3即kx-y3k-4=0根据d_r有k+2+3k-4.-L<2Ik2整理得-23k-4k0解得类型五：圆与圆的位置关系问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？例14、判断圆C1:x2+y2+2x6y26=0与圆C2:x2+y24x+2y+4=0的位置关系，2222例15：圆x+y2x=0和圆x+y+4y=0的公切线共有条。解：圆(x1)2+y2=1的圆心为Oi(i,0),半径ri=1,圆x2+(y+2)2=4的圆心为。2(0,-2),半径2=2,O1O

20、2=J5,+2=3,2=12|。1。2|M十2,二两圆相交.共有2条公切线。练习2222221：若圆x+y-2mx+m-4=0与圆x+y+2x-4my+4m-8=0相切，则实数m的取值集合是.解：圆(xm)2+y2=4的圆心为Oi(m,0),半径r1=2,圆(x+1)2+(y2m)2=9的圆心为。2(1,2m),半径2=3,且两圆相切，O1O2=i+2或O1O2=21,%,(m+1)2+(2m)2=5或J(m+1)2+(2m)2=1,解得m=12或m=2,或m=0或m=_952125实数m的取值集合是_12,_5,0,2.522：求与圆x2+y2=5外切于点P(-1,2),且半径为2J5的圆的

21、方程.解：设所求圆的圆心为OKa,b),则所求圆的方程为(xa)2+(yb)2=20；.两圆外切于点P,oP=1oo；,(-1,2)=1(a,b),a=3,b=6,.所求圆的方程为(x+3)2+(y6)2=20.313类型六：圆中的对称问题例16、圆x2+y22x6y+9=0关于直线2x+y+5=0对称的圆的方程是例17自点A-3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2+y24x4y+7=0相切(1)求光线l和反射光线所在的直线方程.(2)光线自A到切点所经过的路程.分析、略解：观察动画演示，分析思路.根据对称关系，首先求出点A的对称点A'的坐标为(-3

22、,-3),其次设过A'的圆C的切线方程为y=kx3-3根据d=r,即求出圆C的切线的斜率为4一3k=或k=-34进一步求出反射光线所在的直线的方程为4x-3y+3=0或3x-4y-3=0最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为4x+3y+3=0或3*+4丫-3=0光路的距离为A'M,可由勾股定理求得A'M2=A'C2CM2=7.说明：本题亦可把圆对称到x轴下方，再求解.类型七：圆中的最值问题例18：圆x2+y24x4y10=0上的点到直线x+y14=0的最大距离与最小距离的差是_解：圆（x2）2+（y2）2=18的圆心为（2,2）,半径r=3

23、，2,圆心到直线的距离10d =5 5V2 > r ,，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是(dr)-(d-r)=2r=6.2.例19已知圆Or（x3）2+（y4）2=1,P（x,y）为圆O上的动点，求d=x2+y2的最大、最小值.22y-2（2）已知圆O2:（x+2）+y=1,P（x,y）为圆上任一点.求2一的最大、最小值，求x2y的x-1最大、最小值.分析：（1）、（2）两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决.解：（1）（法1）由圆的标准方程（x3）2+（y4）2=1.可设圆的参数方程为'x=3+cos3j(6是参数).y=4+sin

24、,22.2.2.贝Ud=xy=96cos-cos168sin-sin=26+6cos8十8sin8=26+10cos(-4)(其中tan4=4).所以dmax=26+10=36,dmin=2610=16.（法2）圆上点到原点距离的最大值d1等于圆心到原点的距离d1加上半径1,圆上点到原点距离的最小值d2等于圆心到原点的距离d1减去半径1.所以d1=%；32+42+1=6.d2=/3+42-1=4.所以 dmax =36 .dmin =16.22,（2）（法1）由（x+2） +y =1得圆的参数万程:x=-2+cos9，八口8是参数.、y=sinH,则Lysine-2令sine-2川x1cos二

25、-3cos:一3得 sin 0 -t cos0 =2 -3t,.1 t2 sin(u 一 )= 2 一 3t121：13-/3所以t=-t.imax，mmin4y-2AAi1=3/3j_3'33曰i/313-3即的取大值为,取小值为x-144此时x2y=-2+cos8-2sin6=一2+J5cos(9+巾).所以x2y的最大值为-2十君,最小值为2J5.y-2(法2)设=k,则kxyk+2=0.由于P(x,y)是圆上点，当直线与圆有交点时，如x-1图所示,两条切线的斜率分别是最大、最小值.-2k-k23-.3i2-1=1，得女二二-1k4所以义二2的最大值为3二3,最小值为33x-14

26、4令x-2y=t,同理两条切线在x轴上的截距分别是最大、最小值.,-2mr由d=尸=1,得m=-2±J5.5所以x-2y的最大值为-2+卮最小值为-2-而.22例20：已知A(2,0),B(2,0),点P在圆(x3)2+(y-4)2=4上运动，则PA十PB的最小值是.解：设P(x,y),则|PA2+PB2=(x+2)2+y2+(x2)2+y2=2(x2+y2)+8=2OP2+8.设圆心22o为C(3,4),贝Uopmin=oc_=5_2=3，'PA+|PB的最小值为2x32+8=26.练习：1：已知点P(x,y)在圆x2+(y1)2=1上运动.(1)求匕！的最大值与最小值；(

27、2)求2x+y的最大值与最小值.x-2解：(1)设匕1=k,则k表示点P(x,y)与点(2,1)连线的斜率.当该直线与圆相切时，k取得x-2最大值与最小值.由2kL=1,解得k=±*3,y1的最大值为W3,最小值为虫.,k213x-233(2)设2x+y=m,则m表示直线2x+y=m在y轴上的截距.当该直线与圆相切时，m取得最1 -mI-t-t-大值与最小值.由=1,解得m=1±V5,2x+y的最大值为1十J5,最小值为1J5.、52设点P(x,y)是圆x2+y2=1是任一点，求u="y-的取值范围.x1分析一：利用圆上任一点的参数坐标代替x、y,转化为三角问题来

28、解决.解法一：设圆x2+y2=1上任一点P(cos6,sin6)则有x=cos8,y=sin89w0,2n)sin1-2u=,ucoso+u=sin6-2cos11ucos6-sin8=(u+2).即Vu2+1sin®中)=u+2(tan*=u)sin(-)(u 2) .u2 1又sin(9中)<1u 2u2 1_1,13解之得：u-3.4y-222分析二：u=上二的几何意义是过圆x+y=1上一动点和定点(-1,2)的连线的斜率，利用x1此直线与圆x2+y2=1有公共点，可确定出u的取值范围.解法得:y2=u(x+1),此直线与圆x2+y2=1有公共点，故点(0,0)至U直线的

29、距离d<1.另外，直线y-2=u(x+1)与圆x2+y2=1的公共点还可以这样来处理:y-2=u(x+1)消去y后得:(u2 +1)x2 +(2u2 +4u)x + (u2 +4u +3) = 0,此方程有实根，故A=(2u2+4u)24(u2+1)(u2+4u+3)之0,13解之得：u£-3.4说明：这里将圆上的点用它的参数式表示出来，从而将求变量u的范围问题转化成三角函数的有关知识来求解.或者是利用其几何意义转化成斜率来求解，使问题变得简捷方便.3、已知点A(-2,-2),B(2,6),C(4,-2),点P在圆x2+y2=4上运动，求|PA2+PB2+PC2的最大值和最小值

30、.类型八：轨迹问题,，一，一，一，.1例21、基础训练：已知点M与两个定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为，求点M的轨迹方程2例22、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程22例23如图所不，已知圆O:x+v=4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y=2上运动，过B做圆O的切线，切点为C,求AABC垂心H的轨迹.分析：按常规求轨迹的方法，设H(x,y),找x,y的关系非常又t.由于H点随B,C点运动而运动，可考虑 H ,B, C三点坐标之间的关系.解：设H(x,y),C(x,y),连结AH,CH,则AH1BC,CH1AB

31、,BC是切线OC_LBC,所以OCAH,CH/OA,OA=OC,所以四边形AOCH是菱形.y=y-2.所以CH|=OA=2,得Jyy,x=x.22又C(x,y)满足x+y=4,22所以x+(y2)=4(x=0)即是所求轨迹方程.说明：题目巧妙运用了三角形垂心的性质及菱形的相关知识.采取代入法求轨迹方程.做题时应注意分析图形的几何性质，求轨迹时应注意分析与动点相关联的点，如相关联点轨迹方程已知，可考虑代入法.例24已知圆的方程为x2+y2=r2,圆内有定点P(a,b),圆周上有两个动点A、B,使PA_LPB,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.分析：利用几何法求解，或利用转移法求解，或利用参数法求

32、解.解法一：如图，在矩形APBQ中，连结AB,PQ交于M,显然OM_LAB,AB=|PQ,在直角三角形AOM中，若设Q(x,y),则M()上亘，丫上).22,2.2_2由OM+AM=OA,即)2+(b)2T(x-a)2 十()2也即x2+y2=2r2-(a2+b2),这便是Q的轨迹方程.222222斛法一：仅Q(x,y)、A(xi,y1)、B(x2,y?),则x十y=r,x2+y2=r.2_2又PQ=AB，即(x-a)2+(y-b)2=(xi-xz)2+(%yz)2=2r22(x1x2+yyz)第15页共21页又AB与PQ的中点重合，故x+a=x1+x2,y+b=y1+y2,即222(x+a)

33、+(y+b)=2r+2(x1x2+y1y2)+，有x2+y2=2r2(a2+b2).这就是所求的轨迹方程.解法三：设A(rcosot,rsince)、B(rcosP,rsinP)、Q(x,y),由于APBQ为矩形，故AB与PQ的中点重合，即有x+a=rcosa+rcosB,y+b=rsina+rsinP,又由PAPB有包Eb,W=_1rcos-arcos-a联立、消去a、P,即可得Q点的轨迹方程为x2+y2=2r2(a2+b2).说明：本题的条件较多且较隐含，解题时，思路应清晰，且应充分利用图形的几何性质，否则，将使解题陷入困境之中.本题给出三种解法.其中的解法一是几何方法，它充分利用了图形中

34、隐含的数量关系.而解法二与解法三，从本质上是一样的，都可以称为参数方法.解法二涉及到了x1、x2、y1、y2四个参数，故需列出五个方程；而解法三中，由于借助了圆x2+y2=r2的参数方程，只涉及到两个参数口、P,故只需列出三个方程便可.上述三种解法的共同之处是，利用了图形的几何特征，借助数形结合的思想方法求解.练习：1、由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB,切点分别为A、B,/APB=600,则动点P的轨迹方程是.解：设P(x,y)./APB=600,./OPA=300.OA_LAP,.|OP=2OA=2,.荷+y2=2,化简得x2+y2=4,.动点P的轨迹方程是x2十y2=4.练习

35、巩固：设A(y,0),B(c,0)(c>0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a>0),求P点的轨迹.解：设动点P的坐标为P(x,y).由!PA=a(aA0),得v(x+c)+y=a,PB.(x-c)2y2化简得(1-a2)x2(1-a2)y22c(1a2)x,c2(1-a2)=0.22当a#1时，化简得x2+y2+2c(1+a)x+c2=0,整理得(xF-c)2+y2=(d)2；1-a2a2-1a2-1当a=1时，化简得x=0.所以当a01时，P点的轨迹是以(二_c,0)为圆心，|学上|为半径的圆；a-1|a-1当a=1时，P点的轨迹是y轴.2、已知两定点A

36、(2,0),B(1,0),如果动点P满足PA=2PB,则点P的轨迹所包围的面积等于解：设点P的坐标是(x,y).由|PA=2PB,得寸(x+2)2+y2=2J(x1)2十y2,化简得(x-2)2+y2=4,.点P的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，所求面积为4n.221"4、已知定点B(3,0),点A在圆x2+y2=1上运动，M是线段AB上的一点，且AM=MB,3问点M的轨迹是什么？11解：设M(x,y),A(x1,y1)./AM=MB,(x-x1,y-y1)=-(3-x-y),1、x - x1 = (3 _ x)31y -y1 = -y3334dx1=-x-13 .点A在圆x

37、2+y2=1上运动,4y1=-y3(4x-1)2+(4y)2=1,即(x32+y2=，点M的轨迹方程是(x_B)2+y2=933416416NAOB的平分线交 AB于点M ,则点M的例5、已知定点B(3,0)，点A在圆x2+y2=1上运动,轨迹方程是解：设 M(x,y),A(x). OM 是 NAOB 的平分线,AM|OA11一一=1，-AM=-MB.由变式MB|OB331可得点M的轨迹方程是(x0)2+y2=9.416练习巩固：已知直线y=kx+1与圆x2+y2=4相交于A、B两点，以OA、OB为邻边作平行四边形OAPB,求点P的轨迹方程.解：设P(x,y),AB的中点为M.OAPB是平行四

38、边形，M是OP的中点，点M的坐标为(-y-),且OM_LAB.直线y=kx+1经过定点C(0,1),，OM1CM,2'2OM-CM”=(x,y)-,-1)=山2+工_1)=0,化简得x2+(y1)2=1-.点P的轨迹方程是222222222x2(y-1)2=1.类型九：圆的综合应用例25、已知圆x2+y2+x6y+m=0与直线x+2y3=0相交于P、Q两点，O为原点，且OP_LOQ,求实数m的值.分析：设P、Q两点的坐标为(x1,y1)、(x2,y2),则由kOPkg=-1,可得x1x2+y1y2=0,再利用一元二次方程根与系数的关系求解.或因为通过原点的直线的斜率为y,由直线l与圆的

39、方x程构造以丫为未知数的一元二次方程，由根与系数关系得出kOPkOQ的值，从而使问题得以解决.x解法一：设点P、Q的坐标为(x1 , y1)、(x2, y2). 一方面，由 OP_LOQ ,得.,一 V1kOP koQ = 1 ,即在=1 ,也即: x2x1x2 +yy2 = 0 .另一方面，(x1，必)、(x2 , y2)是方程组x+2y-3 = 02 2的实数解，即x1、x2是方x y x _6y m = 0程 5x2 10x 4m -27 =0的两个根.4m -27x1x2 二5又P、Q在直线x+2y -3 = 0上,11yy2 =2(3-x1) -(3-x2)1S,= 93(x1 +x

40、2)+ x1x2.4第21页共21页 >0成立,，-m12将代入，得力丫？：？2.5将、代入，解得m=3,代入方程，检验解法二：由直线方程可得3=x+2y,代入圆的方程x2+y2+x-6y+m=0,有221m2人x+y十一(x+2y)(x6y)十一(x+2y)=0,39整理，得(12+m)x2+4(m3)xy+(4m27)y2=0.由于x#0,故可得(4m-27)(y)2+4(m-3)-+12+m=0.xxkop,koQ是上述方程两根.故kopkoQ=1.得12 m4m -27解得m =3 .经检验可知m=3为所求.说明：求解本题时，应避免去求P、Q两点的坐标的具体数值.除此之外，还应对求出的m值进行必要的检验，这是因为在求解过程中并没有确保有交点P、Q存在.解法一显示了一种解这类题的通法，解法二的关键在于依据直线方程