不等式中恒成立问题的解法研究.docx

1、不等式中恒成立问题的解法研究兴义八中李明生在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的根本类型：类型1:设/(x)=ax1+bx+c(a0),1/(%)>0在xgR上恒成立a>OMA<0;2/(x)<OiSxe7?±恒成立a<0MA<0o类型2:设/(x)=ax1+bx+c(a。0)1b<oc_la或</(«)>0<0当a>0时b/a<<f)la/(x)<0在xga./3上恒成立=,/(%)>0在xga,)3上恒成立b&

2、gt;P2a,fW>of(a)<0f(")<02当】<0时，/(工)>0在日*0上恒成立o/(x)<。在xga.fi上恒成立o<lab<a-!或v/(«)>0g>0冷)>0ba<</3_laEA<0fW<o类型3:/(x)>。对一切xg/恒成立o/(x)min>a/(x)<Q对一切XG/恒成立0/(X)max>ao类型4:>g(尤)对一切S/恒成立f(x)的图象在g3)的图象的上方(x)min>g3)max(L)/(x)=kx+Z?,xgm,n有：、

3、f/(m)>0、f/(m)<0fM>ota成立n,/«<o怛成立。匕、n/(«)>0f(n)<0例1:假设不等式2%-l>m(x2-1)对满足2顷52的所有m都成立，求x的范围。m(x2-1)-(2x-1)<0/(m)=m(x2-1)-(2x-1),那么一时,f(m)<0恒成立，所以只需f(m)<0恒成立，所以只需,所以x的范-2(x2-1)-(2x-1)<02(x2-1)-(2x-1)<0)of(x)=ax1+bx+c>0(。A0,尤eR)有：1f(x)>0在icA上恒成立=i>0且

4、<();2/(%)<0.xg7?±恒成立a<0MA<0例2:假设不等式(m-l)x2+(m-l)x+2>0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m,所以要讨论m-1是否是Oo1当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；m-1>0_2m-10时，只需9，所以，初日1,9)。=(m1)2-8(777-1)<01/(%)>m对任意x都成立/(x)min>m;/(x)<m对任意x都成立。mN/(x)maxO简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的例3:在

5、ABC中，r(8)=4sin8sin2(ZE+)+cos28,且|f(8)m|<2恒成立42求实数m的范围。解析：由f(B)=4sinBsin2(+)+cos2B=2sinB+l/0<B<tc.:.sinBg(0,1JES)-2恒m</(B)+2一42f(B)g(1,3,v|f(B)-m|<2恒成立，二2v/(8)mv2，即成立,/.mg(1,3例4:1求使不等式i>sinx-cosx,xg0,71恒成立的实数a的范围。a>sinx-cosx=V2sin(x-),jc-ea>V2o如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：7T7T2求使不

6、等式。>sinx-cosx,x-e(0,3)恒成立的实数a的范围。解析：我们首先要认真比照上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化,这样使得y=sin尤cosx的最大值取不到V2，即a取扼也满足条件所以a>2o四：数形结合法例5:>。1,/(尤)=尸当*£(_i,i)时，有y<另恒成立，求实数a的取值范围。解析：由f(X)=X2aX<,得22_；=Q及(_1)2_?=q-Iy=2,及y=(1)xX2-<ax在区间xe(-1,1)中恒成立，只须y=2、在区间xe(-1,1)对应的图象在y=x2在区间xe(-1,1)对应图象的上面即可。当。&

7、gt;1时，只有a<2才能保证，而01时，只有。2上才可以，所以26zg|,1)U(1,2o例6:假设当P(m,n)为圆必+(yl)2=1上任意一点时，不等式m+n+c>0恒成立，那么c的取值范围是A、-1-ypZ<c<ypZ-1B、-1<c<+1C、c5-a/2-1D、cZa/2-1解析：由m+c20，可以看作是点P(m,n)在直线x+y+c=0的右侧，而点P(m,n)在圆/+(y_i)2=i上，实质相当于是亍+3_)2=i在直线的右侧并与它相离或0+1+c>0相切。"|0+l+c|HZ扼一1,应选D。练习题：1、对任意实数x,不等式asmx+bcosx+oO(a,Z?,cgA)恒成立的充要条件是ooa1+b22、QXQX5设y=lgg在（8,1上有意义,求实数a的取值范围.-,+00）o793、当Xe（-,3