四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)及答案

1、四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1.( 5 分)已知集合 A=x|3x2-4x+1W0 , B= :厂：，：-，则 AHB=()A& I】B& I】C 寺剖 D.芥和2.5分)若复数 z 满足 z (1 - i) =| 1- i|+i (其中 i 为虚数单位)，则 z 的虚部 为A.3.(5 分)已知函数 f (x) =si n (3X-) (30)满足：？X1,R,当 |f (x1)TT-f (X2)1=2 时，|X1- x2|min二一，那么 f (X)的最小正周期是()A.丄 B.C.nD.2n424. (5 分)已知函

2、数 f (x)在 R 上存在导数 f( x)，下列关于 f (x), f( x)的描述正确的是()A.若 f (x)为奇函数，贝Uf (x)必为奇函数B若 f (x)为周期函数，贝Uf (x)必为周期函数C若 f (x)不为周期函数，则 f (x)必不为周期函数D.若 f (x)为偶函数，贝Uf (x)必为偶函数5. (5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60的菱形组成，那么图形中的向量满足-?=()2A. 1 B. 2 C. 4 D. 66.(5 分)榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分 叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代

3、表建筑有：北京的紫禁城、 天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为()A. 192 B. 186 C. 180 D. 1987.（5 分）执行如图所示的程序框图，若 m=4,则输出的结果为（）f (x)满足： f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1)卜_ 小 |=(ft2017)=(A. 1009 B. 2018C. 3027 D. 40369.（5 分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1,函数 y=a （x- 1）2+b 图象位于正方形内的部分，直线 AC 恰好是函数 y=a （x- 1）2+b 在 x=0 处的切线，现从正方形内

4、任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率等于（）f2(l)+f0间的最短距离是二，那么这两条平行直线的斜率是 _ .516.(5 分)若函数 f (x)- sin (x+)是偶函数，f (x)- cos (x+)是奇函数，已知？xi(0,n,使得函数 f(x)在点 P(xi, f (xi), Q (X1, f (X1)处的切线斜率互为倒数，那么点 P 的坐标为_.三、解答题(本大题共 5 小题，共 70 分)17.(12 分)已知an是等差数列，且 a1=3,羽=12,数列bn满足 3=4, b4=20, 且bn- an为等比数列.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 若数列 的前

5、n 项和 Sn,证明：丄wsv丄.只廿18418.(12 分)已知 ABC 中，/ B=60,点 D 在 BC 边上，且 AC= .(1) 若 CD= :, AD=2,求 AB;(2) 求厶 ABC 的周长的取值范围.19.(12 分)某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间 进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室 每天每100 棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x/摄氏101113128度发芽 y/颗2325302616该农科所确定的研究

6、方案是：先从这 5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程， 再用剩下的 2 组数据进行检验.(1) 若选取的 3 组数据恰好是连续E天的数据(E=表示数据来自互不相邻的三 天)，求E的分布列及期望；(2)根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数 y 关于温差 x 的线性回归方程，.-=x+由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不 超过2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？n _K Cxi-i)-y)-1二1 -附：参考公式：b - -， a=y - bx.E 3厂1=120.(12 分)已知函数 f (x) =-vx+x2- b

7、x (b R).(1) 若？x0，使得 f (x) bx2+x 成立，求实数 b 的最小值；(2) 若 f (x)的三个零点 0，X1, x2满足 1vX1VX2，|1，|2分别是 y=f (x) 在 X1, x2处的切线，设 P (xo, yo)是 11，12的交点，求 yo的取值集合.21.(12 分)已知 f (x) =ex- 1+ln (土+1).a(1) 若函数 f (x)在(-1, 0) 上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2) 若 a(0，1且 x0,证明：f (x)2x.请考生在 22、23 题中任选一题作答.22.(10 分)已知曲线 C 的极坐标方程是p=4cos.B以极

8、点为原点，极轴为 x 的.42工二时1(1)将曲线 C 的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线 l 的参数方程化成普通方程；(t 为参数).正半轴建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程是:异于原点 O 的交点为 B,求三角形 AOB 的面积.(2)当 m=0 时，直线 l 与曲线 C 异于原点 O 的交点为 A,直线p=7T与曲线 C23. 已知函数 f (x) =m-|x-2| , m R,且 f (x+2) 0 的解集为-1, 1.(1) 求 m 的值；(2) 若 a, b, c(0, +x),且丄L_=m,证明：a+2b+3c9.2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)参考答案与

9、试题解析一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1. (5 分)已知集合 A=x| 3x2- 4x+1 0 , Br：:,:，则 AnB=()【解答】解：集合 A= x| 3x2- 4x+1 0)满足：？X1,血 R,当 |f (X1)TT-f (X2)| =2 时，|X1- x2|min=一，那么 f (X)的最小正周期是()A.BC-nD.2n【解答】解：根据正弦型函数 f (x) =sin ( 一)的图象与性质知，JF对？X1，X2R,当 | f (X1)- f(X2)| =2 时，|X1-X2|B=i-=x| AnB=x|,1.A.B.C.iD. Jz f (x

10、)的最小正周期是 T=2X=n2故选：C.4. (5 分)已知函数 f (x)在 R 上存在导数 f( x),下列关于 f (x), f( x)的描 述正确的是()A. 若 f (x)为奇函数，贝 U f (x)必为奇函数B. 若 f (x)为周期函数，贝 U f (x)必为周期函数C若 f (x)不为周期函数，则 f (x)必不为周期函数D.若 f (x)为偶函数，贝 U f (x)必为偶函数【解答】解：对于 A:例如：f (x) =x3为奇函数，贝 U f(x) =3x2，为偶函数，故 A错误，对于 B: f (x)是可导函数，贝 U f (x+T) =f (x)，两边对 x 求导得(x+

11、T) ( (x+T)=f (x)，f(x+T) =f (x)，周期为 T.故若 f (x)为周期函数，则 f(x)必为周期函数.故 B 正确，对于 C:例如：f (x) =sinx+x 不是周期函数，当 f(x) =cosxH 为周期函数，故 C 错误，对于 D:例如：f (x) =为偶函数，贝 U f(x) =2x 为奇函数，故 D 错误， 故选：B.5.(5 分)如图的平面图形由 16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60的菱形组成，那么图形中的向量 I.满足.?=()A. 1 B. 2 C. 4 D. 6【解答】解：如图，由题意可知， |包|二|丽|二 1,且办与屁的夹角为 60 O

12、A二 10A 卜 | 0B |rco60Q=1X1 x今.则 1、I， “，- I ; I |i. I . -, :;| | -故选：D.6.（5 分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分 叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、 天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（）A. 192 B. 186 C. 180 D. 198【解答】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部分为长方体, 棱长分别为 2、6、3，下部分为长方体.棱长分别为 & 6、3，其表面积公式 S=4X 6X3+2X6X6+ (2+

13、6)X2X2=192故选：A.O A-7.（5 分）执行如图所示的程序框图，若m=4,则输出的结果为（【解答】解：模拟执行程序框图，可得p=4， k=0不满足条件 k2 3k+4, p=4, k=1不满足条件 k2 3k+4, p=8, k=2不满足条件 k2 3k+4, p=32, k=3不满足条件 k2 3k+4, p=256, k=4满足条件 k23k+4， 退出循环， 可得 z=- 故选：D.8.(5 分)已知函数 f (x)满足：f (x+y) =f (x) f (y)且 f (1) =1,那么 -.+- .：+_ ：卜一+_ 小+一” =()A. 1009B. 2018 C. 30

14、27D. 4036【解答】解：由意题 f (x+y) =f (x) f (y),且 f (1) =1，可得令 x=n, y=1, 可得 f (n+1)=f (n)，可得 f (1) =f (2) =f (3) = =f (n) =1, 那么：+样+f 十+.+代(1009)+吃 01 刃:f(l)f(3)f(2017)=f2(1) +f2(2) +-+f2(1009) +f (2) +f (4) +f (6) +-+f (2018)=1009+1009=2018,故选：B.9.(5 分)在如图所示平面直角坐标系中，正方形 OABC 的边长为 1,曲线 m 是 函数y=a (x- 1)2+b 图

15、象位于正方形内的部分，直线 AC 恰好是函数 y=a (x- 1)2+b 在x=0 处的切线，现从正方形内任取一点 P,那么点 P 取自阴影部分的概率等于()2=logaF输出尼结束【解答】解：正方形 OABC 的边长为 1,二 S正方形OABC=1,由函数 y=a (x 1)2+b,得 y =2gx 1),贝Uy |x=o= 2a= 1,得 a 十.又当 x=0 时，y=a+b=1，可得 b|2| -y =： 厂斗:J -点 P 取自阴影部分的概率等于丄.6故选：D.2 210.（5分）设点P为椭圆 C -+上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且厶 PF1F2的重心为点 G,若| P

16、F| : | PR| =3:4,那么 GPF 的面积为（）A. 24 B. 12 C. 8 D. 6(X- 1)咚,曲线 m 的解析式为 y=!阴影部分面积 S=j 1 讣 1）| PF|+| PF =2a=14【解答】 解： 点I PF| : | PF =3: 4, I PF| =6, | PF2|=8,又TFIF2=2C=10,PFF2 是直角三角形，S AFFFr 专 HPF1 亍昭, PFiF2的重心为点 G. S3F”片=號乂F.，1.1.J. GPF 的面积为 8,【解答】解:|.?_!=（入l+MJ ?匸=入厂+ 0-，=入u 甲 b=(入3+0)?b=炖、+a b=4不妨令 0

17、W入产111. （5 分）用 min a, b表示实数 a, b 中的较小者，已知向量,满足|自| =1,I b| =2,D?H=0,；=恳+園（补=1）,则当 min苗，匚汤取得最大值时，|；| =( )A .一B.1D.U,解得 0W尺3，可知 y=|f (x) |大致图象如图所示,卩 1oi设| f (x) | =t，则 | f (x) |2- m| f (x) 即为 t2- mt 2m - 3=0 有两个根 ti, t2, 上递增， 在Vur当2w，f(2取得最小值,1上递减,若关于 x 的方程 f2(X)- m|f (x) | - 2m-3=0 有三个不同的实数解，则 m 的取值范围

18、是(A.(-十，0)【解答】解：-| I- Ae1可得 x(-x,1)时， f(x)0, f(x)在(-x,1)递增，在(1,C.(一D.(-二，0)x( 1, +x)时，f (x)V0,+x)递减.| - 2m- 3=0 有三个不同的实数解,1 HM,此时= . + -k/17 V173，若 t1=1, t2=0,时，t1+t2=m=1, t1?t2= 2m - 3=0,不存在实数 m,2若 ti=1, t2 1 时，当有一个根为 1 时，12m - 2m- 3=0, m=代入 t2- mt -2m - 3=0 另一根为-丄，不符合题意.3ti(0,1),t2(-x,0)时，设 h (t)

19、=t2- mt - 2m - 3h(1)=12-m-2m-30,h(0)=-2m-3v0-券 m-寻m 的取值范围为(-_，-二).故选：C二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.（5 分）已知（1+x）（1+ay）5（a 为常数）的展开式中不含字母 x 的项的系 数和为 243，那么（1+x） （1+ay）5展开式中 xy2项的系数为 40 .【解答】解：（1+x） （1+ay）5展开式中不含字母 x 的项的系数和为（1+a）5=243,解得 a=2； （ 1+x） （1+2y）5展开式中 xy2项的系数为C：?22=40.故答案为：40.14.（5 分）某学校分

20、别从甲、乙两班各抽取 7 名同学在某次物理测试中的成绩 如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85,乙班成绩的中位数是 83,现从成绩 82 分以上的同学中选取 3 名组成学习经验交流小组， 那么选取的小组中 甲班同学多于乙班同学的方法数是28 种.（用数字作答）甲-乙25 I 011 1629 j1 i 6【解答】解：甲班学生成绩的众数是 85,乙班学生成绩的中位数是 83,则加一-需I80+y=83解得 x=5, y=3,甲班 82 分以上有 4 人，乙班 82 分以上有 4 人，从这 8 位同学中选 3 名，共有 c?=56 种不同的取法,U选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数与乙

21、班同学多于甲班同学的方法数相等，所求的结果是丄X56=28.2故答案为：28.15. （5 分）若平面区域* 2i-y-30间的最短距离是二，那么这两条平行直线的斜率是k=2 或二.5-兰【解答】解：作出平面区域如图所示：、x-2y+30可行域是等腰三角形，平面区域加卞-30K-2y+3O夹在两条平行直线之间的距离为:丄可得可行域的 A （1，2），B （2，1），C （3，3），IAB 吋（1 切+倍 1）鼻疤，平行线间的距离的最小值为 d= :, A 到 BC 的距离:B 到直线 AC 的距离：匚丄=丄，勺55所求直线与 AC 或 BC 重合，可得：k=2 或丄.故答案为：k=2 或-厂V

22、16. (5 分)若函数 f (x)- sin (x+)是偶函数，f (x)- cos (x+)是奇函数,已知？xi(0,n),使得函数 f(x)在点 P(xi, f (xi), Q (xi, 处的切线斜率互为倒数，那么点 P 的坐标为梓-，土 1).L_r【解答】解：函数 f (x)- sin (x+)是偶函数,可得 f (- x) - sin( x+ ) =f (x) - sin (x+ ),即有 f (- x) =f (x)- sinxcos cosxsin - sinxcos+cosxsin=fx)- 2sinxcos,f (x)- cos (x+ 是奇函数，可得 f (- x)- c

23、os (- x+ ) +f (x)- cos (x+ ) =0, f (- x) +f (x)- cosxcos sinxsin-cosxcos +sinxsin ,=0 即为 f (- x) +f (x)- 2cosxcos =0 由可得 f (x) = (sinx+cosx) cos,导数为 f(x) = (cosx- sinx) cos, ? xi( 0,n),使得函数 f (x)在点 P (xi, f (Xi), Q (xi-, f (xi)处的切线斜率互为倒数, 可得 f(xi) ?f(xi斗)=i,即为？ cosxi - sinxi) (- sinxi- cosx) cos2 =i

24、即为？ sin2xi- cos2xi) cos2 =,可得(cosxi - sinxi) cos ?(cos (xi-sin (xicos =i1) *+-即有cos2x?coW =1 可得 cos2 =1 cos2xi= - 1,xi( o,n,可得 xi-,即有 f (xi) = (1 +0) ?cos 1, 即 p (工，土 1).2故答案为：(一，土 1).三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分）17. （ 12 分）已知an是等差数列，且 a1=3,朮=12,数列bn满足 b1=4, b4=20,且bn- an为等比数列.（1） 求数列an和bn的通项公式；（2） 若数列十的前

25、 n 项和 Sn,证明：丄wSv丄.5咕1，84【解答】解：（1） an是公差为 d 的等差数列，且 a1=3, a4=12,可得 3+3d=12,解得 d=3,则 an=3+3 （n - 1） =3n；数列bn满足 b1=4, b4=20,且bn-an为等比数列，可得 b1- a1=1, b4- a4=8，且 q3=8，解得 q=2,则bn- an的首项为 1,公比 q 为 2,则 bn-an=2n-1,可得 bn=3n+2n-1;二1(加十2n_1) (3n+3+旷3n+ 211-11则前n项和张（*-t3nf严T )(3时討2n)（2） 证明:3n+3+2bn+l18. (12 分)已知

26、 ABC 中，/ B=60,点 D 在 BC 边上，且 AC= .(1) 若 CD= :, AD=2,求 AB;(2) 求厶 ABC 的周长的取值范围.【解答】 解：() ABC 中，/ B=60o，点 D 在 BC 边上，且 AC= . CD=W ,在厶 ABC 中，利用正弦定理：AB _ AC sinC-ginB=4AB=_r =由于：0vAv120,-J： . I111,由于：0vAv120,则：30vA+30v150,得到：si 门(代十 30 ) * * 1,=1 1 =11v15 叽卫飞3n-F3+ 2n4,由 3n+3+2n递增，可得-1-3n+34 2口4/GWeWe 0，使得

27、 f (x) bx2+x 成立，求实数 b 的最小值;(2)若 f (x)的三个零点 0, X1, x 满足 1VX1 0，使得 f (x) bx2+x 成立，丄 x3+x2bxbx2+x,? b(X+1)W二 x2+x1.3，3(2)由题意，计算X(11+13+12)=12,-1=5X12=3, y关于 xTx 3;X8 3=17， 且 |17 16|V2;2所求得线性回归方程是可靠的.f (x) bx2+x? b0).令 t=x+1 1 . b1).-,当且仅当 t= 时取等号./ t 1, tbW旦丄 X 祈空竺.3 35-沏x (x2- 3x+3b) =0,可得 xi, x2是方程 x

28、2- 3x+3b=0 的两个 3实数根，且 10. 巧 + K 23x j x 2=3bf (x) = - x2+2x- b.h： 丫=(-请十2“-b) (x-xi),I2：y=-(-(sto-z 1) (1 ? *2x ,+b) ( Z9-2联立解得 yo=(3xi 3b- 2xi+b) (3x2 3b - 2x2+b) =-(xi- 2b) (X2 2b)=-xix2- 2b (xi+x2)+4b2=-(3b- 6b+4b2)=-4b2+3b=- 4d円島 I，b0,证明：f （x）2x.【解答】解：（1）由+1 0 在（-1, 0）上恒成立.当 a0 时，x- a, - aw- 1，可得 a 1.当 a0 时，x0，可得 a 1 时，可得 f （x）在（-1, 0） 上单调递增.5-2-/T(2)由 f (x)=- b的最,且 3b-20，解得 b +2x2- b) ( x- X2).=-(打-2耳+b)(遥-肮g+b).当 av