实变函数与泛函分析总复习题

1、精选文档第一章 复习题（一）一、判断题1、大人全体构成集合。（× ）2、小个子全体构成集合。（× ）3、所有集合都可用列举法表示。（× ）4、所有集合都可用描述法表示。（ ）5、对任意集合，总有。（ ）6、。（× ）7、。（ ）8、若，则。（ ）9、，其中表示全集。（× ）10、。（× ）11、，。（× ）12、，。（ ）13、若，则。（ ）14、若，则，反之亦然。（ ）15、若，且，则。（× ）16、若，则。（ ）17、若，且，则。（× ）18、可数集的交集必为可数集。（× ）19、有限或可数

2、个可数集的并集必为可数集。（ ）20、因整数集有理数集，所以为不可数集。（× ）21、。（ ）第二章 复习题一、判断题1、设，则。（× ）2、设，则。（× ）3、设，则。（× ）4、设点为点集的内点，则。（ ）5、设点为点集的外点，则。（ ）6、设点为点集的边界点，则。（× ）7、设点为点集的内点，则为的聚点，反之为的聚点，则为的内点。（× ）8、设点为点集的聚点，则为的边界点。（× ）9、设点为点集的聚点，且不是的内点，则为的边界点。（ ）10、设点为点集的孤立点，则为的边界点。（ ）11、设点为点集的外点，则不是的聚点，

3、也不是的边界点。（ ）12、开集中的每个点都是内点，也是聚点。（ ）13、开集中可以含有边界点和孤立点。（× ）14、是开集的内部（开核）。（ ）15、任意多个开集的并集仍为开集。（ ）16、任意多个开集的交集仍为开集。（× ）17、有限个开集的交集仍为开集。（ ）18、闭集中的每个点都是聚点。（× ）19、和都是闭集。（ ）20、是闭集。（ ）21、任意多个闭集的交集仍为闭集。（ ）22、任意多个闭集的并集仍为闭集。（× ）23、有限个闭集的并集仍为闭集。（ ）24、是开集是闭集。（ ）25、是完全集（完备集）是无孤立点的闭集。（ ）二、填空题1、设，

4、是上的全部有理点，则；的内部 空集 ；。2、设，则；的内部 空集 ；。3、设，则；的内部；。4、设是康托（三分）集，则为 闭 集；为 完全 集；没有 内 点； c ； 0 。5、设为上的开集的构成区间，则满足，且，。6、设，写出的所有的构成区间。7、设，写出的所有的构成区间。8、设为上的闭集，为的孤立点，则必为的两个邻接区间的 公共 端点。9、设为上的闭集，则的邻接区间必为的构成区间。第三章复习题一、判断题1、对任意，都存在。（ ）2、对任意，都存在。（× ）3、设，则可能小于零。（× ）4、设，则。（ ）5、设，则。（× ）6、。（× ）7、。（ ）8

5、、设为中的可数集，则。（ ）9、设为有理数集，则。（ ）10、设为中的区间，则。（ ）11、设为中的无穷区间，则。（ ）12、设为中的有界集，则。（ ）13、设为中的无界集，则。（× ）14、是可测集是可测集。（ ）15、设是可测集列，则，都是可测集。（ ）16、零测集、区间、开集、闭集和Borel集都是可测集。（ ）17、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的差集。（ ）18、任何可测集总可表示成某个Borel集与零测集的并集。（ ）19、若，则。（× ）20、若是无限集，且，则是可数集。（× ）21、若，则必为无界集。（ ）22、在中必存在测度为零的无

6、界集。（ ）23、若，都是可测集，且，则。（× ）24、和都是可测集，且，。（ ）25、设为可测集，则。（× ）26、设为可测集，且，则。（× ）二、填空题1、若是可数集，则 0 ；为 可测 集； 0 。2、若为可测集，则 小于或等于 ；若为两两不相交的可测集，则 等于 。3、设为可测集，则 大于或等于 ；若还有，则 大于或等于 。4、设为可测集，且，则 等于 。5、设为的内点，则 大于 。6、设为康托三分集，则为 可测 集，且 0 。7、 0 ， + 。8、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表示成一个型集与零测集的差集 。9、叙述可测集与型集的关系 可测集必可表

7、示成一个型集与零测集的并集 。第四章 复习题一、判断题1、设是定义在可测集上的实函数，如果对任意实数，都有为可测集，则为上的可测函数。（ ）2、设是定义在可测集上的实函数，如果对某个实数，有不是可测集，则不是上的可测函数。（ ）3、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对某个实数， 为可测集。（× ）4、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（× ）5、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数， 为可测集。（ ）6、设是定义在可测集上的实函数，则为上的可测函数等价于对任意实数和（）， 为可测集。（×

8、; ）7、设是零测集，是上的实函数，则为上的可测函数。（ ）8、若可测集上的可测函数列在上几乎处处收敛于可测函数，则在上“基本上”一致收敛于。（× ）9、设为可测集上几乎处处有限的可测函数，则在上“基本上”连续。（ ）10、设为可测集，若上的可测函数列（），则的任何子列都在上几乎处处收敛于可测函数。（× ）11、设为可测集，若上的可测函数列于，则（）。（× ）二、填空题1、 等于 ， 等于 。2、 包含于 ， 包含于 ； 等于 ， 等于 。3、设，则 等于 。4、设，则 等于 。5、由于区间上的单调函数的不连续点所成的集为 至多可数 集，则为上的 几乎处处 连续函

9、数，从而为上的 可测 函数。6、叙述可测函数的四则运算性 可测函数经过四则运算所得的函数（只要有意义）仍可测 。7、叙述可测函数与简单函数的关系 简单函数是可测函数；在几乎处处收敛的意义下，任何可测函数总可表示成一列简单函数的极限 。8、叙述可测函数与连续函数的关系 连续函数必为可测函数；可测函数“基本上”可以表示成一个连续函数 。9、叙述叶果洛夫定理 设E是测度有限的可测集，则E上几乎处处收敛的可测函数列“基本上”一致收敛 。10、叙述鲁津定理 设E是可测集，则E上的可测函数“基本上”是连续函数 。11、若，（），则 等于 几乎处处于 。第五章复习题复习题（一）一、判断题1、设是可测集上的非

10、负简单函数，则一定存在。（ ）2、设是可测集上的非负简单函数，则在上勒贝格可积。（× ）3、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）4、设是可测集上的非负可测函数，则一定存在。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积。（× ）6、设是可测集上的非负简单函数，且，则在上勒贝格可积。（ ）7、设是可测集上的可测函数，则一定存在。（× ）8、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则一定存在。（ ）9、设是可测集上的可测函数，且，至少有一个成立，则在上勒贝格可积。（× ）10、设是可测集上的可测函数， 若且，则在上勒贝格可积。

11、（ ）11、设是可测集上的可测函数， 若，则。（ ）12、设是可测集上的可测函数， 若且，则。（ ）13、若为零测集，为上的任何实函数，则。（ ）14、若，则。（ ）15、若，则。（ ）16、若，则。（ ）17、若，为的可测子集，则。（ ）18、在上勒贝格积分值存在。（× ）19、若，且，则于。（ ）20、若在上可积，则若在上可积，且。 （ ）21、若，且于，则。（ ）22、若，则于。（× ）23、若，则于。（× ）24、若与存在，且，则。（ ）25、若存在，是的可测子集，且，则。（× ）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。（× ）二、计算

12、题1、设，求。解：因为有理数集为零测集，所以，于，于是。2、设，其中为中的三分康托集，求。解：因为，所以，于，于是。第五章 复习题（二）一、判断题1、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果于，则。（×）2、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果（），则。（×）3、设是可测集上的可测函数列，是可测集上的可测函数，如果且（）或于，则。（×）4、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（ ）5、设是可测集上的非负可测函数列，如果，则。（×）6、设是可测集上的非负可测函数列，则。（×）7、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）8、设是可测集上的非负可测函数列，则。（ ）9、设是可测集上的非正可测函数列，则。（ ）10、设是可测集上的可测函数列，则。（×）11、设在可测集上的勒贝格积分存在，且，则。（×）12、设在可测集上的勒