矩阵可对角化的条件

1、精选范本，供参考!第二节矩阵可对角化的条件定义1如果矩阵乂能与对角矩阵相似，则称工可对角化。21maooBn00L则有：，即L。从而幺可对角化定理1力阶矩阵幺可对角化的充分必要条件是幺有力个线性无关的特征向量。证明：必要性如果乂可对角化，则存在可逆矩阵P,使得XrxAP=%.4将P按列分块得八层&&,从而有因此有跳=&X(i=L2,所以&是幺的属于特征值4的特征向量，又由P可逆,知比1，莅，工线性无关，故幺有力个线性无关的特征向量。充分性设无1，苟,，X是乂的打个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为4打，4,则有必二也卜12,M。令F=【MX幻禽,则P是一

2、个可逆矩阵且有：取豆,，凡卜4尤1,玛,4与3,与二,凡因此有 角化。%儿,也就是矩阵乂可对AP=P'.%,则L4，对?按列分块得F皿也刷,于是有又%寸药/犷飞.L4】,即“必，竭卜即！鹏&入幻,从而必乜刈=小立可见,对角矩阵的元素就是矩阵幺的特征值，可逆矩阵P就是由幺的线性无关的特征向量所构成的，并且特征向量的顺序依赖于对角矩阵。定理2矩阵幺的属于不同特征值的特征向量是线性无关的。证明:设A，4，4是幺的朋个互不相同的特征值，X是r的属于特征值4的特征向量，现对朋作数学归纳法证明儿儿，工!线性无关。当冽二1时，由于特征向量不为零，因此定理成立。假设乂的m-（«>

3、;2）个互不相同的特征值对应的个特征向量是线性无关的。设44,，4是幺的那个互不相同的特征值，:是工的属于特征值4的特征向量。又设成立。则有飒+也苞+%儿产中R+叼J尹+厂。,又将（i）式两边同乘4得:1，也&+上求4）-皿411+也<莅+44”-。从而有上占他-4）苍+,+（&-4）41=。，由归纳假设得上i®-4）=匕&-4）=飞.1（4飞）,再由44,两两互不相同可得&*H，将其代入式得匕,一°,因此有上潴一°，从而X扁广，儿线性无关。推论1若？！阶矩阵R有弘个互不相同的特征值4%*A,则工可对角化，且4o定理3设九入，

4、人是川阶矩阵乂的槽个互异特征值,对应于T的线性无关的特征向量为周渴犷G=12制,则由所有这些特征向量（共尹为"乜个）构成的向量组Y'雨E是线性无关的。“卒禺+"）=。9禹+心儿+44证明：设1，记】F期曷招口=1,2,制,则有X+"+匕=。，且%=°或匕是R的属于特征值4的特征向量。若存在某个（1*3工/），则由属于不同特征值的特征向量线性无关知>4+%=°,矛盾。因此有卜°,i=12超，又由已知得三、.，；，+因此向量组二'J，.，一一，/；1线性无关。定理4设%是月阶矩阵A的一个E重特征值，对应于4的特征向量

5、线性无关的最大个数为t,则kit,即齐次线性方程组（秘-川公0的基础解系所含向量个数不超过特征值%的重数。证明：用反证法。由于X是幺的属于特征值4的特征向量当且仅当1是齐次线性方程组（45公。的非零解，因此对应于4的特征向量线性无关的最大个数与齐次线性方程组（秘7）10的基础解系所含向量个数相等。设比1，42，”:苟是齐次线性方程组（44-*）1=。的一个基础解系，且假设t”，则有留G=12，力。现，工扩充为一个月维线性无关向量组一二：，二，:，其中X蚌卜，工未必是工的特征向量，但有乩%（那=£+L是一个月维向量，从而可由向量组比1，莅"nX+lJ*线性表示，即:4*陆一/

6、您*L十%能X：j+白珈鼻十/41»凡#1+*,'+丑（汾2T+1；，明因而有：4为,冗-其中%有！个。令尸%-144小"，见,并将（2）式右端矩阵分块表示，则有PlAP=.,由相似矩阵有相同的特征多项式，得力的特征多项式为:其中gG）中心-41是1的丹7次多项式。从而4至少是幺的，口）用重特征值，与%是七重特征值矛盾。所以上”。定理5力阶矩阵R可对角化的充分必要条件是：R的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数（即/的每个特征值2对应的齐次线性方程组（%一献=0的基础解系所含向量个数等于该特征值的重数,也即乂的每个特征子空间匕的维数等于该特征

7、值2的重数）。nk网-小口（元-4）*111£寸证明：设1-1，其中国，电，/两两不同，且有1-1。充分性由于对应于4的特征向量有G个线性无关，又那个特征值互异，因此工有个线性无关的特征向量，故w可对角化。必要性（反证法）设有一个特征值4所对应的线性无关的特征向量的最大个数44的重数，则幺的线性无关的特征向量个数小于n,故R不能与对角矩阵相似。-I o1 21 3例2设-。，求R的特征值和特征向量，并判断幺是否可对角化?解：由 特征值）。2+10-2-1 1-2 1 = (2+ 1)(/1-I)37 一大得力的特征值为4二T/=4 4 (二重当& = -1时，由（举-解=0,

8、即:得基础解系为苔咱70 ,从而/的属于特征值% = T的特征向量为&& 内为任意非零常数）。U 1时,由（卬&=。,即:得基础解系为益叩加F,从而乂的属于特征值4=4=1的特征向量为左耳禹为任意非零常数）。由于r的特征值1对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数小于特征值的重数，故幺不可对角化。-4-10（TA-130例3巳知13匕1，判断幺能否对角化？若能对角化，求可逆矩阵P,使得为对角阵。解：由 重特征值）。2 + 4 10-1 2-3-3- 6002-1=（2+ 2）-1）得幺的特征值为A二-2，刃=4 =（由（奉一乂百二。，即:2-1-3得基础解系为 4L3

9、f非零常数）。从而A的属于特征值4 =-2的特征向量为为由为任意5-1-310-2-6得基础解系为为十2,10及为=40,1/,从而幺的属于特征值4=4=1的特征向量为为莅（白，与为任意不全为零的常数）。由于A的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数,产=瑞心阳故幺可对角化。令-5 -21 130PaAP例4设幺是2阶矩阵，Wk°,判断R是否可对角化。解：设乂的特征方程也一/°的两个根为 儿右,则M卜他（° ,故R有两个不同的特征值，从而R可对角化。-1'例5设实对称矩阵-1 1-1 -1-1-1,问力是否可对角化？若可对角化

10、，求矩阵?，使得为对角阵，并求#（k为正整数）。2-1(2 + 2XA-2)3解：由得A的特征值为（三重特征值）。当：一得基础解系为与YLLLlf,从而幺的属于特征值4=T的特征向量为仁&（木为任意非零常数）。当时,由囚刊八。，即:得基础解系为苟叩T。叫,用叩,0,-LOfA叩乩，从而工的属于特征值&=%=2的特征向量为占苞+也占+"4占占用为任意不全为零的常数）。由于A的每个特征值对应的齐次线性方程组的基础解系所含向量个数等于特征值的重数，故乂可对角化。令11r-2O从而PAP=0i则1 -1 01 0 -1.100-1(-2/* 1 11 -12七1 02k1 0

11、1 1V10 0-1 00 -1当上为偶数;当无为奇数地例6设力阶矩阵幺满足对=R(称幺为哥等矩阵)，证明：幺的特征值只能为。或1,并且幺可对角化。证明：设X是幺的属于特征值2的特征向量，则U=AX=A1X=A；tX=fX,由才u。，得M=无,所以哥等矩阵的特征值只能为。或1。设秩”0W),当秩=0时，0=0,故工可对角化且八0；当秩"时，R可逆，由/=幺得'=4,故幺可对角化且；现设Od。当特征值41时淇特征矩阵4一'的秩为-r。这是因为由<7=40=0，所以+NK刊"又r/(幺+(»)=必寸，因而刊",从而有r«M）寸-。再由朝北-&h0可得对应于A=1的线性无关的特征向量的最大个数为。设乂的属于特征值4=1的r个线性无关的特征向量为当特征值小。时，由电T）公-四=0可得对应于4:0的线性无关的特征