垂直于弦的直径 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章圆29.2圆的有关性质29.2.1垂直于弦的直径进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.

灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.探究与应用剪一个圆形纸片,沿着它的任意一条直径对折,你发现了什么?活动1理解并掌握圆的轴对称性操作尝试解:沿着圆的任意一条直径对折,直径两侧的部分总能重合.求证:圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.推理证明证明:如图,设AB是☉O的任意一条直径,如果M为☉O上点A,B以外的任意一点,M'是点M关于直线AB的对称点,那么直线AB是线段MM'的垂直平分线.因为圆心O在AB上,所以OM'=OM,因此点M'在☉O上.如果点M与点A或点B重合,那么结论显然也成立.所以圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.

实践探究把一个圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

探究新知圆的轴对称性知识点1

（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？圆的对称性

圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴.●O说一说（2）如何来证明圆是轴对称图形呢？探究新知知识点1圆的轴对称性①剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？探究发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．下面我们来证明这个结论.如图，设AB是⊙O中任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线.因为圆心O在AB上，所以OM′=OM,因此点M′在⊙O上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.M′OMABN圆的轴对称性:(1)圆是

图形,任何一条直径所在直线都是圆的

.

(2)圆有

条对称轴.

轴对称概括新知对称轴无数

(教材补充例题)下列说法正确的是 (

)A.每一条直径都是圆的对称轴

B.圆的对称轴是唯一的C.圆的对称轴一定经过圆心

D.圆的对称轴是经过圆内任意一点的直线例1C理解应用BOACDE

是轴对称图形．大胆猜想已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．【思考】左图是轴对称图形吗？探究新知满足什么条件才能证明圆是轴对称图形呢？证明：连接OA，OB.则OA＝OB．又∵CD⊥AB，∴直径CD所在的直线是AB的垂直平分线.∴对于圆上任意一点，在圆上都有关于直线CD的对称点，即⊙O关于直线CD对称.BOACDE

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.探究新知知识点2垂径定理②垂径定理M′OMABN问题：如图,MM′是⊙O的一条弦,直径AB⊥MM′,垂足为N.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗?为什么?问题1

如图29-2-1所示,从上面[推理证明]的解答过程可知,如果☉O的直径AB垂直于弦MM',垂足为N,那么M和M'是关于直径AB的对称点,图中除OA=OB外,还有哪些相等的线段和劣弧?活动2理解并掌握垂径定理及其推论问题情境

图29-2-1问题2

(1)如图29-2-2,若直径AB与弦MM'相交于点N,且AB平分MM',弦MM'不过圆心O,则AB垂直于MM'吗?图中还有哪些劣弧相等?

图29-2-2

如图，AB是⊙O的一条弦，

直径CD⊥AB，

垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?为什么?线段:AE=BE弧:AC=BC，

AD=BD⌒⌒⌒⌒理由：把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．⌒⌒⌒⌒·OABDEC探究新知垂径定理及其推论知识点2垂径定理·OABCDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE，⌒⌒AC

=BC，⌒⌒AD=BD.推导格式：温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.探究新知M′OMABN相等的线段:MN=M′N相等的弧:弧

MA=M′A,弧

MB=M′B理由：把圆沿着直径AB折叠时，点M与点M′

重合，MN与M′N重合，弧MA和弧M′A重合,弧MB与弧M′B重合．这样，我们就得到垂径定理:BOACDE垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.定理指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.此处的“直径”可以是过圆心且垂直于弦的线段、直线垂径定理及其推论:概括新知垂径定理图形推论文字表述

平分弦,并且平分弦所对的两条弧

文字表述平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且

符号语言如右图,∵CD为☉O的直径,CD⊥AB,∴AE=BE,=

,

=

符号语言如左图,∵CD为☉O的直径,AE=BE,∴CD⊥

,=

,=

垂直于弦的直径

平分弦所对的两条弧AB

垂径定理及其推论的推广——“知二推三”垂径定理所含的五个论断:①过圆心,②垂直于弦,③平分弦(不是直径),④平分弦所对的劣弧,⑤平分弦所对的优弧,若把其中两个论断作为条件,则可推出另外三个论断.可

推广想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？是不是，因为没有垂直是不是，因为CD没有过圆心ABOCDEOABCABDCOE探究新知ABOEC

垂径定理的几个基本图形：ABOCDEABOEDABOCABODC探究新知归纳总结几何语言如图，CD⊥AB

，垂足为E，CD是⊙

O

的直径，那么可用几何语言表述为：例2如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB=

cm.·OABE

16探究

如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换，命题是真命题吗？

(教材典题)赵州桥(如图29-2-3)是我国隋代建造的石拱桥,距今已有1400余年的历史,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形,跨度(弧所对的弦的长)为37m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m,求赵州桥主桥拱的半径长(结果保留小数点后一位).例2

理解应用图29-2-3

【思考】如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？一条直线过圆心