矩阵的定义及其运算规则矩阵的定义

1、矩阵的定义及其运算规则矩阵的定义矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n歹U（横的称行，阵。来表示。例如一个纵的称列）的一个数表，并称它为mXnm行n列的矩阵可以简记为:矩阵通常是用大写字母A、B金=（%）叶N日%引，或&亢3?。即：h=M'严M线工%J（2-3）我们称（23）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母"'=12酬），表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j=l,2,，n）表示矩阵的列数。当m=n时，则称A=9Q为n阶方阵,并用（哈表示。当矩阵（a打）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列

2、矩阵。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它ft-A.们的对应元素一一相等，即g一电,则称该两矩阵相等,记为A=B。2、三角形矩阵由i=j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：西厘U立彩、00、5+1十2、032=23%00+1+3r+20、L°口也33出1g%0+力3、单位矩阵与零矩阵在方阵S&-）盛中，如果只有'二的元素不等于零，而其他元素全为零，如:6 / 5则称为对角矩阵，可记为用工加冢知户必%）。

3、如果在对角矩阵中所有的气彼此100、01-0-4B都相等且均为1,如：1°0,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即1D0、01-0E=Jol当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A=(aj)mn和B=(bj)目加时,必须要有相同的行数和列数。如以C=(Cj)mxn表示矩阵A及B的和，则有：？(rcCIL素等于矩阵A和B的对应元素之和。 质(设A、B、C都是mKn矩阵)?式中为二%十%。即矩阵C的元由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性(1)交换律：A+B=B+A(2)结合律：(A+B)+C=A+(B+C)5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘

4、矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵""命中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如A B都是mK n矢I阵，k、h为任意常由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设数，则：(1)k(A+B)=kA+kB(2)(k+h)A=kA+hA(3)k(hA)=khA6、矩阵的乘法c矩阵树3a的元素AB若矩阵血乘矩阵"汽，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。C"的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若:A-B=C融土融XC则矩阵血融的元素由定义知其计算公式为：C",n4注'月必'+四3,后打,+q注

5、,【的V1%)F-1(2-4)"口口:)2_f%1%、n=4二【例2-1】设有两矩阵为：町10/,b'血%试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C:其中:Gi 7 %,5a = 如白这十的23)匕13 =+汽1启+ L3 2222C方=白2上3 *口号?子【例22已知：A=l' 2【解】计算结果如下：0 3 1 10)10-12 21人B八J ,求A、B两个矩阵的积。? 1、13 01)-1 =Io 11 2,矩阵的乘法具有下列性质:(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。(2)矩阵的乘法是可结合的。(3)设人是111*11矩阵，B、C

6、是两个nX t 矩阵，则有：A (B+C) =AB + A C=(4 )设A是m X n矩阵,B是nX t矩阵。则对任意常数k 有:k (AB) = (kA)B=A (kB)。【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为式中:7 = j y-F rnxl Kxf fxl Mcl(2-5)(2-6)试将矩阵公式展开，列出方程组。将上式右边计算整理得匕、的/十九西H-十句再+/、的oax1+£?axa4卜E二1十*a-iK)14*+4与斗+4为土儿(28)可得方程组：HIjJT+b、十1+EXj.+,iq%=G/+b：4+£工勺+4匕=%(西+=叼+可见，上述方程组可以写成(2-5)式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方VA程组，故知(2-5)式即为误差方程组的矩阵表达式。式中.1称为改正数阵，.,称为误差方XL程组的系数阵，曲称为未知数阵，曲1称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩阵表示。时x+叼6+。匕+%=0