小学数学解题技巧大全（名家见解--引荐给同行）

1、【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 （一）1.特殊数题(1)2112当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。因为这样的两位数减法，最低起点是2112，差为9，即(21)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故3113(31)×918。减数从1289，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210120(21)×9090，0.650.56(65)×0.090.09。(2)31×51个位数字都是1，十位数字的和小于1

2、0的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。 若十位数字的和满10，进1。如 证明：(10a1)(10b1)100ab10a10b1100ab10(ab)1(3)26×86 42×62 个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。证明：(10ac)(10bc)100ab10c(ab)cc100(abc)cc (ab10)。(4)17×19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式(179)×1

3、07×9323证明：(10a)(10b)10010a10bab(10a)b×10ab。(5)63×69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式(639)×6×103×972×60274347。证明：(10ac)(10ad)100aa10ac10adcd10a(10ac)dcd。(6)83×87十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如 证明：(10ac)(10ad)=100aa10

4、a(cd)cd100a(a1)cd(cd10)。 (7)38×22十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。原式(308)×(308)30282836。(8)88×37被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。 (9)36×15乘数是15的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。 54×10540。55

5、15;15 (10)125×101三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。1251126。原式12625。再如348×101，因为3483351，原式35148。(11)84×49一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。原式8400÷2844200844116。(12)85×99两位数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式8500858415 不难看出这类题的积：最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；最低位上的两位数，是100与被乘数的差；中

6、间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a0)，则 如果被乘数的个位数是1，例如31×999在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。71×999970999970709929。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n1)的形式，其积为(10a1)(10n1)10n1a(10n1)10a。(13)1÷19这是一道颇为繁复的计算题。原式0.052631578947368421。根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或

7、扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：(1)先用0.1÷20.05。(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除 如此除到循环为止。 仔细分析这个算式：加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.10.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。除数末位是9，都可用此法计算。例如1÷29，用0.1÷3计算。1÷399，用0.1÷40计算。2.估

8、算数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定”(1)最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。例1 113750443169最高位之和1533，结果在3000左右。 如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴

9、露。例3 51.9×1.51整体思考。因为 51.950，而50×1.5150×1.575，又51.950，1.511.5，所以51.9×1.5175。另外9×19，所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。例4 3279÷79把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。(2)最低位估算例如，6403232157832813，原式和的末位必是3。(3)规律估算和大于每一个加数；两个真分数(或纯小数)的和小于2；一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，

10、且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和； 两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2； 奇数±奇数偶数，偶数±偶数偶数，奇数±偶数奇数；差总是小于被减数；整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。 带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差； 带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1； 如

11、果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如， AABB。奇数×偶数偶数，偶数×偶数偶数；若除数1，则商被除数；若除数1，则商被除数；若被除数除数，则商1；若被除数除数，则商1。(4)位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，3200.68，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；例如，451×7103最高位的积4×728，满10，结果是347(位数

12、)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；例如，147342÷2714不够27除，商是422(位数)。被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226÷238302够238除，商是5313(位数)。(5)取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。如1.980.9721，和定小于3。12×8.510×10，积接近100。3.并项式应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。例1 3.3412.966.6612.96(3.346.66) 12.9610

13、22.96330例3 15.74(8.523.74)15.743.748.52128.523.48例4 1600÷(400÷7)1600÷400×74×7 284.提取式根据乘法分配律，可逆联想。 (3.256.75)×0.410×0.44 5.合乘式 87.5×10×1875 871 6.扩 缩 式例1 1.6×160.4×36 0.4×(6436)0.4×10040例2 16×45 7.分 解 式例如，14×7242×7614

14、15;3×2442×7642×(2476)42×10042008.约 分 式 3×7×242例2 169÷4÷7×28÷13 =1988例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除 9.拆 分 式 10.拆 积 式例如，32×1.25×25 8×1.25×(4×25)10×100100011.换 和 式例1 0.1257×8(0.1250.0007)×810

15、.00561.0056 例4 8.375.68(8.370.32)(5.680.32)8.6962.69 12.换 差 式 13.换 乘 式例1 123234345456567678(123678)×3801×32403例2(6.726.726.726.72)×256.72×(4×25)672例3 45000÷8÷12545000÷(8×125)45000÷100045例4 9.728÷3.2÷259.728÷(0.8×4×25)9.728

16、47;800.9728÷80.1216例5 33333×3333311111×9999911111×(1000001)1111100000111111111088889综合应用，例如 100071007 (11.751.254.150.85)×125.25(转)(11.751.25)(4.150.85)×125.25(合)8×125.258×(1250.25)(拆)8×1258×0.25100214.换 除 式例如，5600÷(25×7)5600÷7÷25

17、800÷253215.直 接 除 17.以乘代加例1 7452369×327 如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。 18.以乘代减 知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。 可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积 19.以加代乘 一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1 20.以除代乘

18、例如，25×123678448123678448×(100÷4)12367844800÷4309196120021.以减代除 198666213243510÷15 (35101170)÷1023422.以乘代除例如，2.7÷4÷6×24÷27 23.以除代除 观察其特点， 24.并数凑整例如，372499372500187156.712.856.7130.243.925.拆数凑整例如，47630247630027789.423.19.4230.16.3226.加分数凑整应用“被减数、减数同时增加

19、或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。 例3 8.37-5.68=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)=8.69-6=2.6930.凑公因数例如，1992×27.51982×72.51992×27.5(1992-10)×72.51992×27.51992×72.5-10×72.51992×(27.572.5)-725=199200-725=198475或原式=(198210)×27.51982×72.531.和差积法 32.直接写得数 观察整数和

20、分数部分，显然原式=3。 33.变数为式 34.分解再组合例如，(12399)(4812396)(12399)4(1+2+399)5(12+399)35.先分解再通分 有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。 判断两个数是否互质，不必用2、3、5、逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。573×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，57，7619×3×4228。 262×13，65和91是13的倍数。最小公分母为13×2×5×7

21、910。37.巧用分解质因数教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打基础。其实，分解质因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例1 184×75原式2×2×46×3×5×5=46×3×(2×5)2=138×100=13800。38.“1、1”法一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数部分多1的数，再从1中减去分数部分。为便于记忆，称“1、1”法。39.“1，9，910”法一个整数减去一个小数(末位不为0)，可先减去比小数高位多1的数，再从

22、9中减去其它位数，最后从10中减去末位数。 40.改变运算顺序例1 650×74÷65(650÷65)×7410×74740例2 176×98÷49176×(98÷49)176×2352例3 7÷13×52÷4 例4 102×990.125×99×8102×991×9999×(l00)9900999999 41.用 数 据熟记一些特殊数据，可使计算简捷、迅速。例1 由37×3111知 37

23、5;6111×222237×1537×3×5555 例3 1000以内(不包括整十、整百)只含因数2或5的2、4、8、16、32、64、128、256、512；5、25、125、625。这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。例4 特殊分数化小数分母是5、20、25、50的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2倍，再缩小10、100倍。 分母是8的最简分数，分子是1、3，小数的第一位也是1、3。 分母是9的最简分数，循环节的数字和分子的数字相同。 例5 191×3.143.14 6×3.1418.842×

24、;3.146.28 7×3.1421.983×3.149.42 8×3.1425.124×3.1412.56 9×3.1428.265×3.1415.7熟记这些数值，可口算。 3.14×13=10+3=40.823.14×89=90-=282.6-3.14=279.46×1.58变为整数，三位数前面补0改为四位数， 这样不会把数位搞错，将结果左端的0去掉，点上小数点得4.9612。也可从高位算起。42.想特殊性 仔细审题，知第二个括号里的结果为0，此题得0。 所以可直接得0。例3(1.9-1.9×

25、;0.9)÷(3.82.8)除数为1，则商就是被除数。43.想 变 式 44.用 规 律例1 682702两个连续奇(偶)数的平方和，等于这两个数之积的2倍加4的和。原式68×70×24952049524。例2 5225125251103两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。例3 18×1920任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。原式20×1918362。例4 16×1715×18四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多2。原式2。证明：设任意四个连续自然数分别

26、为a1、a、a1、a2，则a(a1)(a1)(a2)a2+a-a2-a22。例5 一个从第一位开始有规律循环的多位数(包括整数部分是0的纯循环小数)，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。ABAB×CD(AB×100AB)×CDAB×100×CDAB×CD(CD×100CD)×ABCDCD×AB如：125×5×1616×78125×5×7878×16(125×8)×(5×2)×78787

27、8780000 45.基础题法在基础题上深化。例如， 观察(1)的解题过程， 逆用各步的结构特点， 46.巧 归 纳例如，121009911100的和为5050，再加一倍为10100，减去多加的100为10000。但速度太慢。有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。 由图知1232+132，1234+54+32152。不难发现，和为最大加数的平方。显然，562930296530242-4900164880。【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题（一）1.想 数 码例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是

28、第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数奇数偶数，偶数偶数偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是 思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法56，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8916是不可能的。不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。”2.尾数法例1 比较 1222×12

29、22和 1221×1223的大小。由两式的尾数2×24，1×33，且43。知 1222×12221221×1223例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。由两数十位数字之和是817，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数是348，乙数是34。例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。 由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7；由3和a4乘积的尾数是725，知a4是5；不难推出原式为142857×3428571。3.从较大数想起例如

30、，从110的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？思路一：较大数不可能取5或比5小的数。取6有65；取7有74，75，76；取10有九种 101，102，109。共为 1357925(种)。思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法110；为2的有29，210；较小数为9的有910。共有取法12345432125(种)这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、开始。思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、19。和是11的有五种110，29，38，47，56；和是1119的取法54433221125(种)。4.想大小数之积 用最大与最小数之积作内项(或外项)

31、的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知 交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。 5.由得数想例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是0，0.5，1，1.5，2。从得数出发，想：两个相同数的差，等于0；一个数加上或减去0，仍等于这个数；一个因数是0，积就等于0；0除以一个数(不是0)，商等于0；两个相同数的商为1；1除以0.5，商等于2；解法很多，只举几种：(0.50.5)×0.5×0.5×0.500.50.5(0.50.5)×0.50(0.50.50.5)×(0.50.5)0(0

32、.50.50.50.5)×0.50(0.50.5)×0.5×0.50.50.50.50.50.50.50.50.5(0.50.5)×(0.50.50.5)0.5(0.50.5)×0.50.50.50.5(0.50.5)×0.50.50.510.5÷0.5(0.50.5)×0.51(0.50.5)÷0.50.50.51(0.50.5)÷0.5(0.50.5)10.50.50.50.5÷0.51.5(0.50.5)×0.50.50.51.50.50.50.50.50.51.50.

33、5÷0.50.5÷0.50.51.50.5÷0.5÷0.50.50.52(0.50.5)÷0.50.50.52(0.50.50.50.5)÷0.52(0.50.5)×0.50.5÷0.526.想平均数 思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占 知这三个数是14、15、16。 二、一个数分别为 16115，15114 或 16214。若先求第一个数，则 思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数， 知是15、16。思路四：第一、三个数的比是78，第一个数是2÷(87

34、)×714。若先求第三个数，则2÷(87)×816。 7.想奇偶数例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如 123456789100123456789100你还能想出不同的添法吗？12345678945。若去掉7和8间的“”，式左为123456789，比原式和增大了78(78)63，即1234567894563108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”，即123456789100二年级小学生

35、没学过负“1”，不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，

36、奇数±偶数奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n1。例如，32对应奇数2×32163。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 1000084191

37、59。或者 5930×21，302900，10000900599159。例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。例如123456789100123456789100你还能想出不同的添法吗？12345678945。若去掉7和8间的“”，式左为123456789，比原式和增大了78(78)63，即 1234567894563108。为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可123456789100。“减去4”可变为“减1、减3”，即123456789100二年级小学生没学过负数“1

38、”，不能介绍。如果式左变为123456789。12(12)89(89)81。即 123456789458110026。要将“”变为“”的数和为13，在3、4、5、6、7中有67，346，因而有123456789100，123456789100，同理得123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100，123456789100。为了减少计算。应注意：(1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数

39、7;偶数奇数，结果不会是100。(2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。例2 求59199的奇数和。由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方1357(2n1)n2奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n1。例如，32对应奇数2×32163。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n1199，n100)的位置上。知1199的奇数和是100210000。此和包括59，2n157、n29、157的奇数和为292841。所求为 100008419159。或者

40、5930×21，302900，10000900599159。8.约倍数积法任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。那么 M×NP×a×P×b。而 QP×a×b，所以 M×NP×Q。例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？ 例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。这两个互质数的积为1×155155，还可分解为5×31。所

41、求是1和155，5和31。例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。小数的平方为4×40÷2.564。小数是8。大数是8×2.520。算理：4×408×208×(8×2.5)82×2.5。9.想 份 数 10.巧用分解质因数例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。14424×32(22×3)×(2×3)×2(4×3)×(6×2)可组

42、成4623等八个比例式。例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。489625×32×1724×17×(2×32)16×17×18 172826×33(22×3)31233855×7×11 例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？19922×2×2×3×83238388例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。162022×34×5(32×

43、;22)×(32×5)甲数是45，乙数是36。例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为

44、例7 600有多少个约数？6006×1002×3×2×2×5×523×3×52只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为：2、22、23；3；5、52；2×3、22×3、23×3；2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52；3×5、3×52；2×3×5、22×3×5、23

45、15;3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。不含2×3×5的因数的数只有1。这八种情况约数的个数为；3123626124。不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(31)×(11)×(21)24。 17.想 法 则用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。 子比分母少16。求这个分数？由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比 3倍比分母少16。知分子的532(倍)是21618，分子为18

46、÷29，分母为9×5243或9×31643。 18.想 公 式 证明方法： 以分母a，要加(或减)的数为 (2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。 19.想 性 质例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个 多少倍？ 200÷1612.5(倍)。例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。由“分子

47、是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。满足题意的三个分数是 (二)第400个分数是几分之几？此题特点： (2)每组分子的排列： 假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为nn12n1，即任何一组分数的个数总是奇数。(3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系分母：1、2、3、4、5、分数个数：1、3、5、7、9、(4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。 10×216=13(个)位置上。 分别排在81788(个)，811

48、3=94(个)的位置上。或者102=100， 10012=88。100694， 88694。问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400202，分母也是它。第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即 若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。 逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？352(35×21)112256911157。排在11571225个的位置上。20.由规则想例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着

49、1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。例如，8×972，在9后面写2，9×218，在2后面写8，得到一串数：1989286这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？先按规则多计算几个数字，得1989286884286884显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。(19894)÷63305最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。21.用 规 律例1 第六册P62第14题：选择“、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5

50、、6、7、8、9。(1)2 2 2 2 20(2)2 2 2 2 21(10)2 2 2 2 29解这类题的规律是：先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式：220，2÷21；再联想22÷21，2×2÷22，2÷223，每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：2÷22÷2202÷2×22÷21222÷2×222×22÷2232×2×222422÷22×252222×262×2×22

51、÷272÷2×2×2×282÷22×2×29例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数21×9312×94123×951234×9612345×9得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点：第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、继续写下去7123456×9=111111181234567×9=11111111912345678×9111111111101

52、23456789×91111111111111234567900×9=111111111111212345679011×9=111111111111很自然地想到，可推广为 (1)当n=1、2时，等式显然成立。(2)设n=k时，上式正确。当n=k1时k1123k×9=k1123(k1)×10k×9=k1123(k1)×9×109k=k123(k1)×9×101 根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母1)÷2。 =(211)÷2=10。22.巧想条件 比5小，分母是13的最简分数有多少个。 764为64(71)58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分