考研高等数学部分综合竞赛试题

1、考研高等数学部分综合竞赛试题时间：240分 满分：250分一、 选择题（每题2分，共32分）1、设，则当时，是的高阶无穷小低阶无穷小同阶但不等价的无穷小等价无穷小2、 函数在下列哪个区间内有界3、 曲线的渐近线有4、设函数区间上连续，且,则方程，在开区间内的根有5、设函数在区间内有定义，若当时，恒有，则必是的 间断点 连续而不可导的点 可导的点，且 可导的点，且6、已知函数对一切非零满足 （ ）（A）是的极大值（B）是的极小值（C）是曲线的拐点（D）不是的极值，但也不是曲线的拐点7、设函数连续，则在下列变上限的定积分定义的函数中，必为偶函数的是8、下列广义积分中发散的是9、设函数，其中函数具有

2、二阶导数，具有一阶导数，则必有10、设函数连续，则二次积分11、设函数连续，区域，则12、设区域，为上的正值连续函数，为常数，则13、设数列单调递减，无界，则幂级数的收敛域为 （ ）14、已知为常数，则 （ ）15、设有两个数列，若，则 （ ）（A）当收敛时，收敛. （B）当发散时，发散. （C）当收敛时，收敛.（D）当发散时，发散.16、设随机变量与相互独立，且是区间是的均匀分布，的概率分布为，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数为（ ）二、填空题（每空1分，共49分）17、设在处连续，则；18、函数在区间内的间断点为；其各个间断点的类型为；19、设，则（1）；（2）；20、函数在处的

3、阶导数；21、已知是周期为的连续函数，它在的某个领域内满足关系式，其中是当时比高阶的无穷小，且在处可导，则曲线在点处的切线方程是；22、设，则；23、设函数由方程所确定，则曲线在点处的法线方程为；24、曲线在处的曲率半径25、设函数由参数方程确定，则曲线向上凸的的取值范围为；26、函数在区间上的平均值为；27、；28、设则函数的表达式是；29、设直线与抛物线所围成图形的面积为，它们与直线所围成的图形的面积为，并且，（1）若要使达到最小，则；其最小值为；（2）该最小值所对应的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为；30、设函数连续，且，已知，则；31、（1）；（2）；32、设是区间上的单调、可导

4、函数，且满足，其中是的反函数，则；33、已知，则；34、设有连续一阶偏导数，又函数及分别由和两式确定，则；35、已知，则；36、设，其中具有连续二阶偏导数，则；37、设椭圆上存在一点，且该点到直线的距离最短，则该点的坐标为；38、已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，则二重积分39、已知是由直线及围成的平面区域，则二重积分40、设二元函数，则二重积分41、已知，则二重积分42、设则的形心坐标；43、已知曲线，则；44、已知为正常数，为从点沿曲线到点的弧，则；45、已知是以点为中心，为半径的圆周，取逆时针方向，则曲线积分46、已知存在一常数，使在右半平面上的向量为某二元函数的梯度，则；47、设L

5、是柱面方程为与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分；48、设为椭球面的上半部分，点，为在点处的切平面，为点到平面的距离，则；49、设是锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则；50、设是锥面的下侧，则；51、设对于半空间内任意的光滑有向封闭曲面，都有，其中函数在内具有连续的一阶导数，且，则；52、设，则；53、幂级数的和函数；且的极大值为54、从点作轴的垂线，交抛物线于点；再从作这条抛物线的切线与轴交于，然后又从作轴的垂线，交抛物线于点，依次重复上述过程得到一系列的点则（1）；（2）级数的和为；55、设则；56、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定

6、仪器的下沉深度（从海平面算起）与下沉速度之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅垂下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为，体积为，海水比重为，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为，则与之间的函数关系是；57、设二维随机变量的密度函数为，则二次曲面为椭球面的概率为。三、 计算题（每题10分，共90分）58、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该最小值。59、曲线与直线及围成一曲边梯形。该曲边梯形绕轴旋转一周得一旋转体，其体积为，侧面积为，在处的底面积为。（1）求的值；（2）计算极限。60、求二元函数在由直线、轴和轴所围成的闭区

7、域上的极值、最大值与最小值。61、设为椭球面上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹；并计算曲线积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分。62、计算曲面积分，其中是曲面的外侧。63、求幂级数的收敛域及和函数。64、将展成的幂级数。65、设是一向上凸的连续曲线，其上任一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线的方程，并求函数的极值。66、在坐标平面上，连续曲线过点，其上任意点处的切线斜率与直线的斜率之差等于（常数）（1）求的方程；（2）当与直线所围成平面图形的面积为时，确定的值。四、证明题（每题10分，共20分）67、（1）证明：对任意正整数，都有成立，（2）设，证明数列收敛。68、证明：当时，。五、解答题（每题11分，共11分）69、将函数展开成余弦级数，并求级数的和。六、论述题（每题12分，共48分）70、设函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，若极限存在，证明： （1）在内； （2）在内存在，使； （3）在内存在与（2）中相异的点，使71、设函数连续且恒大于零，其中。（1） 讨论在区间内的单调性。（2） 证明：当时，。72、设函数在内具有二阶导数，且，是的反函数。（1）试将所