统计过程控制SPC与休哈特控制图2下半部分DOC30页

1、统计过程控制（SPC）与休哈特控制图(二)第五章休哈特控制图上述讨论说明图采用小样本是合理的。虽然小样本的风险较大，但由于我们周期地抽取样本并检验和在图上描点,所以非常可能在抽取合理的样本个数后就可检出过程的偏移。此外,还可采取增添警戒限和界内点非随机排列的判定准则来提高图检出过程偏移的能力。2) R图的检定能力和OC曲线。为了构造R图的仅OC曲线需要用到W=R/的分布。设过程标准差从处于稳定状态的偏移到=(>),则R图的OC曲线(见图-7)给出了此偏移未被第一个样本检出的概率,即值。从图-7图中曲线可见,当样本大小n增加时,值减小,R图的检定能力提高,这点同图的情况相同。但有一点是不同

2、的,即图对的变化有一定的检定能力,但R图对的变化却没有检定能力,也即若不变而变化,不能在R图上反映出来。另外,当采用小样本时,例如n=4,5或6时,R图对检出过程的偏移不是很有效。这时可采用前述增加控制图灵敏度的措施。若样本大小n>10或12时,一般应采用s图来代替R图。3) 一R图的检定能力。分析了图和R图的检定能力,现在来分析图和R图同时使用时的总检定能力。在样本大小n较小时,一R图未能检出过程偏移的概率等于它们个别未能检出过程偏移的概率的乘积。设为图未能检出偏移的概率, R为R图未能检出偏移的概率R为一R图未能检出偏移的概率,则有T=·R 例如,当n=4时,可以算得一R图

3、的命值如表所示。对于不同的n可能算出不同的T值。由表一R图的值（n=4）中数据可见,同时应用图和R图的检定能力比单独使用图或R图的检定能力大。四、-s(均值-标准差)控制图若样本大小n较大,例如n>10或12,这时用极差法估计过程标准差的效率较低。最好在R中用s图代替R图。若为一概率分布的未知方差,则样本方差=为的无偏估计量,但样本标准差s并非是的无偏估计量。若样本取自正态总体,可以证明=,这里为一与样本大小n有关的常数。现在,我们考虑。已知的情况,由于E(s)=,故s图中的中心线为,于是s图的控制线为UCL=+3CL=（5.4-1）LCL=-3定义=-3（5.4-2）=+3（5.4-3

4、）则代如上式后，得到已知的图的控制线为UCL=CL=（5.4-4）LCL=式中,系数B5、B6可自附录V表A一5查得。若未知,则必须根据以往的数据进行估计。从E(s)=,有=/C4,这里=（5.4-5）于是得到。未知情况的s图的控制线为 UCL=+3 CL=（5.4-6） UCL=-3定义=1-3（5.4-7）=1+3（5.4-8）由此得到未知情况的s图的控制线为 UCL= CL= LCL=式中,系数B3、B4可从附录V查得。在应用-s图时,相应的正图的控制界限也需要应用/C4来估计，于是这时图的控制线为 UCL=+ CL= LCL=-令=则图的控制线可写成 UCL=+ CL= LCL=-式中

5、，系数A3可从附录查得。  五、Xmed-R(中位数-极差)控制图Xmed-R图与-R图相似,只不过用Xmed(中位数)图代替图而已。若样本取自正态总体,为样本中位数,m个样本的样本平均中位数为=可以证明E()=。=/。这里,m3为一与样本大小n有关的常数。于是=,由此得已知情况的图的控制线为 UCL=+3/CL=LCL=-3/式中,系数可从附录V查得。若未知,则需应用估计量R/d2。代人上式后,得未知情况的Xmed图的控制线为 UCL=+3/d2=+CL=LCL=-3/d2=-当n=5,从附录V可查得=1.198,所以Xmed图的控制界限间隔要比图的约宽20%,从而Xme

6、d图检出过程偏移的能力也要比图减低不少。六、x-Rs(单值-移动极差)控制图现在样本大小为1,所以对过程标准差的估计要通过相邻两个样本间的移动极差Rs来进行。设从过程抽取的样本为,i=1,2,.,n,则移动极差定义为 Rsi=|一|, i=1,2,.,n-1 而平均移动极差为=若样本取自正在总体,可以证明E(Rs)=, =,于是=。对于已知的情况,x图的控制线为 UCL=+3 CL= UCL=-3而Rs图的控制线为 UCL=+3=3.69 CL= LCL=-3=0式中LCL为负值,但Rs不可能为负,故取LCL=0作为Rs的自然下界。对于未知的情况,x图的控制线为UCL=+3=+2.66 CL=

7、 LCL=-3=-2.66而Rs图的控制线为 UCL=+3()=3.27 CL= LCL=-3()=-3.27式中LCL为负值,但Rs不可能为负,故取LCL=0作为Rs的自然下界。例 在炼钢过程中,对于某种化学成分需要进行控制。在生产稳定时已测得25组数据,如表所示。由于该化学成分的化验需要很长的时间,试制定x一Rs控制图对其加以控制。 解按下列步骤进行:步骤1:预备数据的取得。已给定样本大小为1的数据25组,如表-1所示。步骤2:计算均值。从表-1中第(2)栏数据得到=67.036这就是x图的中心线。步骤3:计算移动极差Rs。根据式(-1),算得Rs1=|67.00一67.05|=

8、0.05其余见表中第(3)栏。步骤4：计算平均移动极查s。根据表-1中第(3)栏数据得到s=0.12步骤5:计算x-Rs图的控制线。先考虑Rs图,由于总体的未知,将上述s =0.123代人式(-6)后,得到Rs图的控制线为 UCL=3.27s =3.27×0.123=0.4020.40CL=s =0.1230.12 LCL=0 如图所示。将24个Rs值描点在此图中,然后根据判稳准则(1)判断过程的变异度处于控制状态。现在开始计算x图的控制线,将=67.036与s =0.123代入式(-5)后, 得到I UCL=s +2.66s =67.036+2.66×0.123

9、=6736367.36 CL=67.03667.04 LCL=-2.66s ×0.123=66.709266.71如图所示。将25个值描点在此图中,然后根据判稳准则(1)判断过程的均值也处控制状态。于是,在技术问满足后,可以延长x一Rs图的控制线作为控制用控制图进行日常管理。再说明一下x控制图的控制界限与规格之间的关系。这里,与控制图情况不同,如果x图的控制界限在规格界限之内,产品质量就保证满足规格的要求。否则如果控制界限在规格界限之外,产品质量就不能保证满足规格的要求,这时应改进工艺或放宽规格要求。七、p不合格晶率)控制图p图的统计基础为二项分布。当控制图的控制对象为不合格品率时,

10、过程处于稳定状态是指任何单位产品不合格品的概率为一常数P且所生产的各个单位产品都是独立的。这时,所生产的每一单位产品都是具有参数P的二项随机变量的一个实现。设我们取一个包含n个单位产品的随机样本,其中不合格单位产品数为D,则D服从参数为n和P的二项分布即 PD=x=,x=0,1,.,n 从节知道随机变量p的均值和方差分别为nP与nP（1-P）。样本不合格品率p定义为样本不合格品数D与样本大小n的比值,即 p=D/n从节知道随机变量p的均值和方差分别为p =P=P(1-P)/n这里,与正态分布情况不同p的与是不独立的,故只需一张控制图即p图对过程进行控制。若过程不合格品率P已知,则从式(-1)可

11、知p图的控制线为 UCL=P+3 CL=P LCL=P-3若不合格品率P未知,这时须根据以往的数据对其进行估计。通常至少取25个预备样本。设每个样本的样本大小为ni,第i个样本中的不合格品数为Di,则其样本不合格品率为 pi=Di/ni (i=1,2,.,m) 式中,m为样本个数,而样本平均不合格品率为= /可作为不合格频率P的估计量。于是P未知的情况的p图的控制为 UCL=+3 CL= LCL=-3例某半导体器件厂2月份某种产品的数据如表-1中的第(2)、(3)栏所示。作p控制图对其进行控制。解 我们按下列步骤进行:步骤1:预备数据的取得。已给定数据如上表所示。步骤2:计算样本不合格品率。表

12、-1中第(2)、(3)栏数据,算得第一个样本的不合格品率为=2/85=0.024 其余类推。步骤3:计算。从表-1末行可得= /步骤4:计算p图的控制线。将=0.0389代入式(一8)得到p图的控制线为 UCL=0.0389+3 CL=0.0389 LCL=-3由于本例各个样本的样本大小n不相等,所以必须对各个样本分别求出其控制界限。如对于第一个样本,在式(一9)中代入n1=85后,得到 UCL=0.0389+0.58/=0.102 CL=0.0389 LCL=0.0389一0.58/=一0.024这里,LCL取负值,由于p不可能为负,故令LCL=0作为p1的自然下界。其余各个样本以此类推,参

13、见图一1。为了判断过程是否处于稳定状态,将各个样本的不合格品率描点在图3.5.7一1中。由于第27个样本的点子出界,所以过程失控,需要执行第二章（五）的20个字,找出异常因素并采取措施保证它不再出现。然后重复步骤14,直到过程稳定为止,这时p图可作为控制用控制图供日常管理使用。现在,对p图进行一些讨论:1  本大小n的确定。若过程不合格品率P很小,则必须选择样本大小n充分大才能使得样本中至少包含1个不合格品的概率很大。否则,若P很小而n又不大,p图的控制界限将使得样本中只要出现1个不合格品就会点子出界从而显示过程失控。如设P=0.01,n=8,则上控制界为 UCL=P+3=0.01+

14、=0.1155如果现在样本中有一个不合格品,则样本不合格品率p=1/8=0.1250,它在p图中的描点出界。事实上,由于P>0,总会出现一些不合格品,所以只凭出现一个不合格品就判断过程失控是不合理的。为了避免这种情况,可以选择充分大的n使得样本中至少包含1个不合格品的概率不小于某个数值r。通常,取nP在1到5的范围内,即取 1/P<n<5/P式中,P为过程的不合格品率,可由估计。1.  要求下控制界限为正。在例一1中,我们已经看到第一个样本的LCL为负。要求LCL为正,则应有 LCL=P-K 0即要求n设P=0.01,K=3,若要求LCL为正,则n2. 

15、p图上点子超出下控制界限。在户图上点子超出LCL,表明过程不合格品率异常低,这是好现象,应认真总结经验。但这时必须注意是否有下列可能:(1)由于质量检验人员缺乏经验而漏检;(2)检验仪表有问题;(3)数据不真实。3.  各组样本的样本大小不等时的p图。这时控制界限成凹凸状,如图一1所示,作图很不方便。令元为各组样本大小的平均值,若n的变化在元±元/2范围内,则可用下列近似方法 计算p图的控制线: UCL=-3 CL= LCL=+3式中, =。注意,应用此法,当点子十分接近控制界限时仍需要按式(357一8)重新计算精确的控制界限,以判断点子是否出界。本教材第六章提出的通用控制

16、图解决了这一问题。应用pT(通用不合格品率)控制图代替户图,作图既方便,同时判断又精确。当样本大小n不等时,控制界限成凹凸状。这时应用节判断异常的准则中的界内点排列非随机的各种模式进行判断要特别小心,因为这时样本不合格品率的描点距离中心线的相对位置与样本大小n有关。设过程的P=0.20,现有连续两个样本,一个样本的pi=0.24,ni=250，另一样本的如pi+1=0.28,ni+1=50。表面上看来,pi=0.24的描点距离中心线要比pi+1=0.28的描点更近。实际上，如果以标准差为单位进行度量,则第i个样本距离中心线的标准化的距离为 di=1.58而第i+1个样本距离中心线的标准化的距离

17、为 di=1.41即实际上第i+1个描点比第i个描点距离中心线更近。在通用图上,所有点子都是经过标准变换的,所以在图上识别各种界内点排列非随机的模式要比p图方便、精确。八、pn(不合格晶数)控制图若过程处于稳定状态,过程的不合格品率为P,则在包含n个样品的一个随机样本中出现的不合格品数D服从二项分布。从节知,随机变量D的均值为nP,而方差为nP(1一P)。于是根据式(3.3.2一1),若考虑3控制界限,则已知n、P情况的pn图的控制线为 UCL=nP+3 CL=nP LCL=nP-3若过程的不合格品率P未知,需用进行估计,则将代入式(一1)后得如图的控制线为 UCL=n-3 CL= LCL=n

18、+3可见，在UCL、CL、LCL中都包含参数n。若各样本的n不等,则UCL、CL、LCL三者都呈凹凸状,作图极其不便。因此,一般pn图只用于各样本的n相等的情况,若n不等,则需用pnT(通用不合格品数)图(参见3.6节)。无论n相等或n不等, pnT图均可应用,十分方便。九、c(缺陷数)控制图一定检查单位的产品的缺陷数通常服从泊松分布,即p（x）= (x=0,1,2,.,)式中，x为缺陷数，平均缺陷数（0）为泊松分布的参数。泊松分布的均值与方差都等于参数。若考虑3控制界限，则已知过程平均缺陷数的情况的c图的控制线为 UCL=+3 CL= LCL=-3若参数未知,则须根据以往的数据进行估计。设检

19、验了m个检查单位的产品,其缺陷数分别为c,i=1,2.,m,于是样本的平均缺陷数为,=可以用来估计参数。因此,当平均缺陷数未知时,c图的控制线为 UCL=+3 CL= LCL=-3现在对c图进行些讨论:1.检查单位的大小。一个检查单位可以包含一个或若干个产品,确定检查单位的大小主要考虑下列因素:(1)便于取得数据;(2)参数不能过小以保证c图对检出过程偏移有一定的检出能力;(3)要考虑检查产品缺陷的费用,所以也不能过大;(4)要求>1,否则样本缺陷经常为0,容易造成误解,以为过程已经处于良好状态。因此,通常取大小适当的检查单位,使得1A5式中,可用J估计。2.通常c图用于检查单位即样本大

20、小保持不变的场合。如果检查单位不能保持不变,则参数也将随之而变,这样c图的UCL、CL、LCL三者都呈凹凸状,作图极其不便。这时可采用Ct(通用缺陷数)图(参见3.6节)。无论检查单位有无改变,Ct图均可应用,十分方便。十、u(单位缺陷数)控制图u图与c图的关系和p图与pn图的关系相似。如果各个样本的检查单位也即样本大小是变化的,这时应将各个样本的缺陷数折算成平均每个检查单位的缺陷数,简称平均缺陷数,然后用u图进行控制。假定从参数为的泊松分布总体抽取一个包含n个检查单位的随机样本,样本的总缺陷数为C,则样本的平均每检查单位的缺陷数,简称样本单位缺陷数为 u=C/n 式中,u为泊松随机变量。设上述n个检查单位各自的缺陷数分别为随机变量x1,x2,.,xn, 则 u=故u为n个独立的泊松随机变量的线性组合,已知u=U,u=。这里，U为过程的单位缺陷述，他等于过程的平均缺陷数。于是U图的控制线 UCL=U +3 CL=U LCL=U-3为若参数U未知,则须根据以往的数据进行估计。设检验了m个检查单位的产品,其单位缺陷数 分别为屿,i=13,.,m,于是样本平均单位缺陷数为=/可以用来估计参数U。因此,当U未知时,u图的控制线 UCL=+3 CL= LCL=