(完整版)必修4向量部分试题选(2)(附答案)

1、必修 4 向量部分试题选（2）（附答案）一选择题（共13 小题）1（ 2012?江西）在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD的中点，则=（）A 2B 4C 5D 102（ 2011?辽宁）若为单位向量，且=0，则的最大值为（）A 1B 1CD 23已知 O、 A、 B 三点的坐标分别为O（ 0， 0）， A （ 3， 0）， B （0， 3），点 P 在线段 AB 上，且的最大值为（）A 3B 6C 9D 124 OAB 中，=， =， =，若=， tR，则点 P 一定在（）A AOB 平分线所在直线上B线段 AB 中垂线上C A B 边所在直线上D A B

2、 边的中线上5已知向量， | |=1，对任意 tR，恒有 |t| |，则（）A B CD （）（）（+）（）6已知平面内有一点P 及一个 ABC ，若+=，则（）A 点 P 在ABC 外部B点 P 在线段 AB 上C点 P 在线段 BC 上D点 P 在线段 AC 上7设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，=12， | +|=| |，则 | |=（）A 2B C 2D 8如下图所示，两射线OA 与 OB 交于点 O，下列 5 个向量中， 2若以 O 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（）个A 1B2C3D49平面上 A ， B， C 三点满足（ ? ）：（ ? A

3、组 成锐角三角形 B 组成直角三角形）：（?） =1： 2：3，则这三点（）C 组成钝角三角形D 在 同一条直线上10已知 ABC 中， |=3， | |=5，则与 的夹角为（）A B C或D 11向量，对任意 tR，恒有，下列四个结论中判断正确的是（）A B C D 12已知平面内的四边形 ABCD 和该平面内任一点P满足：+=+，那么四边形 ABCD 一定是（）A梯形B菱形C 矩形D正方形13已知点 A ，B ， C 不共线，且有，则有（）A B CD 二填空题（共17 小题）14设 D 为 ABC 的边 AB 上一点，P 为 ABC 内一点，且满足，则=_15 ABC 的两条边上的高的交

4、点为H ，外接圆的圆心为O，则，则实数 m=_16已知 AOB ，点 P 在线段 AB 上，已知，则 mn 的最大值为_17 O 为 ABC 内一点，且AOC： SABC = _ ，则 S18设 P 是 ABC 所在平面内一点，若且则下列正确的命题序号是_ P 是 ABC 的重心 ABC 是锐角三角形 ABC 的三边长有可能是三个连续的整数 C=2 A 19已知点 G 是 ABC 的外心，是三个单位向量，且满足 2，|=|如图所示， ABC 的顶点 B、 C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|的最大值为_20在 ABC 中有如下结论：“若点 M 为 ABC 的重心，

5、则”，设 a，b，c 分别为 ABC 的内角 A ，B， C 的对边，点M 为 ABC 的重心如果，则内角 A 的大小为_21已知 A， A分别是椭圆的左、右顶点， P 是过左焦点 F 且垂直于 A A2的直线 l 上的一点，则121= _ 22 Rt ABC 中， C=90 °， BAC=60 °，AC=2，点 P 满足，则实数m 的值为_23如图在三角形ABC 中， E 为斜边 AB 的中点， CD AB ，AB=1 ，则的最大值是_24在 ABC 中，若 O 为 ABC 的垂心，则的值为_25已知点 P 落在 ABC 的内部，且，则实数t 的取值范围是_26在三角形A

6、BC 所在平面内有一点H 满足，则 H 点是三角形ABC 的_27已知 A 、B 是直线 l 同侧的两个定点，且到 l 的距离分别为 3 和 2，点 P 是直线 l 上的一个动点，则的最小值是 _ 28在 ABC 中，则的值为_29（文）已知奇函数f（ x）满足 f（ x+3 ）=f（ x），当 x（ 0，1）时，函数 f（x）=3 x 1，则=_（理）已知点G 是 ABC 的重心， O 是空间任意一点，若，则 的值是_30向量，满足+=0，（） ，M=+，则 M=_参考答案与试题解析一选择题（共13 小题）1（ 2012?江西）在直角三角形ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为

7、线段 CD 的中点，则=（）A 2B4C5D10考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题；综合题分析：以 D 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立坐标系， 由题意得以AB 为直径的圆必定经过C 点，因此设 AB=2r ， CDB= ，得到 A 、 B、 C 和 P 各点的坐标，运用两点的距离公式求出|PA|2 +|PB|2 和 |PC|2 的值，即可求出的值解答：解：以 D 为原点， AB 所在直线为x 轴，建立如图坐标系， AB 是 RtABC 的斜边， 以 AB 为直径的圆必定经过C 点设 AB=2r ， CDB= ，则A （ r ， 0）， B（ r， 0），C（ rcos， rs

8、in） 点 P 为线段 CD 的中点， P（ rcos， rsin） |PA|2=+=+r 2cos，|PB|2=+= r2cos，可得 |PA|2+|PB|2=r2又 点 P 为线段 CD 的中点， CD=r |PC|2=r2 所以：=10故选 D点评：本题给出直角三角形ABC 斜边 AB 上中线 AD 的中点 P，求P 到 A 、 B 距离的平方和与PC平方的比值，着重考查了用解析法解决平面几何问题的知识点，属于中档题2（ 2011?辽宁）若为单位向量，且=0，则的最大值为（）A 1B 1CD 2考点 ： 平面向量数量积的运算；向量的模专题 ： 计算题；整体思想分析：根据及为单位向量，可以

9、得到，要求的最大值，只需求的最大值即可，然后根据数量积的运算法则展开即可求得解答：解： ，即+ 0，又 为单位向量，且=0，而=323 2=1的最大值为1故选 B点评：此题是个中档题考查平面向量数量积的运算和模的计算问题，特别注意有关模的问题一般采取平方进行解决，考查学生灵活应用知识分析、解决问题的能力3已知 O、 A、 B 三点的坐标分别为O（ 0， 0）， A （ 3， 0）， B （0， 3），点 P 在线段 AB 上，且的最大值为（）A 3B6C9D12考函数最值的应用；数量积的坐标表达式点：专 计算题题：分，化简的表达式， 利用，求出的坐标， 通过数量积的最通过析：大值，求出最值即可

10、得到选项解解：答：?=（ 1 t） 9因为 0t1，所以（ 1 t） 99，最大值为9，所以?的最大值为9故选 C点本题是中档题，考查向量之间的转化，数量积的应用，考查计算能力，常考题型评：4 OAB 中，=，=，=，若=， tR，则点 P 一定在（）A AOB 平分线所在直线上B 线段 AB 中垂线上C A B 边所在直线上D A B 边的中线上考点 ： 向量的几何表示；单位向量专题 ： 计算题分析：利用 和是 OAB 中边 OA 、OB 上的单位向量，可知（+）在 AOB 平分线线上，故 t（+）也在 AOB 平分线线上解答：解： OAB 中，=，=，=，=，t R，和是 OAB 中边 O

11、A 、 OB 上的单位向量， （+）在 AOB 平分线线上， t（+）在 AOB 平分线线上， 则点 P 一定在 AOB 平分线线上，故选A点评：本题考查单位向量的定义，向量的几何表示，向量加法的几何意义5已知向量， | |=1，对任意tR，恒有 |t| |，则（）A B CD （）（）（+）（）考向量的模点：专计算题题：分对 | t| |两边平方可得关于t 的一元二次不等式，为使得不等式恒成立，析：则一定有 0解解：已知向量 ， | |=1，对任意tR，恒有 |t| |答：即 | t |2| |2即故选 C点本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题评：6已知平面内有一点P 及一

12、个 ABC ，若A 点 P 在ABC 外部B点 P 在线段+=AB 上，则（ ）C点 P 在线段BC上D 点P 在线段AC上考点 ： 向量的加法及其几何意义专题 ： 转化思想分析：将条件等价转化，化为即+=0，利用+=，得到 2=，得出结论解答：解：+=，+=0，即+=0，+=0，2 = ，点 P 在线段 AC 上，故选 D点评：本题考查向量的加减法及其集合意义，体现了等价转化的数学思想7设点 M 是线段 BC 的中点，点 A 在直线 BC 外，=12， | +|=| |，则 | |=（）A 2B C 2D 考点 ： 向量加减混合运算及其几何意义专题 ： 计算题分析：2|=|，再由=12求得

13、|=2，从而求出 |的值由题意得解答：+=2，再由 |+ |=|可得 2| |=|，故 |=解：由题意得，由=12知， |=2， |=，故选 B点评：2|=| |是解题的关键本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，得到8如下图所示，两射线OA 与 OB 交于点 O，下列 5 个向量中， 2若以 O 为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的向量有（）个A 1B 2C 3D 4考点 ： 向量数乘的运算及其几何意义专题 ： 计算题分析：=t+（ 1 t ），由 M 在阴影区域内可得实数r1 使得 =r根据平面向量基本定理，可得到，从而=rt+r（ 1 t），根据 rt+r （

14、1 t） =r1，r（1 t） 0，得出结论解答：OM 与线段 AB 有公共点，记为N，则存在实数t（ 0， 1 使得=t +解：设 M 在阴影区域内，则射线（ 1 t），且存在实数 r1，使得=r ，从而=rt+r（1 t），且 rt+r （ 1 t） =r1又由于 0t1，故 r（ 1 t） 0中 rt=2 ，r（ 1 t） = 1 0， rt+r （1 t） =r=1 ，满足 r 1但不满足 r（ 1 t） 0，故 不满足条件中 rt=， r（ 1t）=，rt+r （ 1 t） =r=，故 满足条件中 rt=， r（ 1t）=，rt+r （ 1 t） =r=，不满足 r1，故 不满足条件

15、中 rt=，（ 1 t）= ， rt+r （ 1 t） =r=，不满足 r1，故 不满足条件中 rt=， r（ 1t）= ， rt+r （ 1 t）=r=，不满足 r1，故 不满足条件综上，只有 满足条件，故选： A点评：=t+（ 1 t）本题主要考查平面向量基本定理，向量数乘的运算及其几何意义，得到，是解题的关键9平面上A ， B， C 三点满足（?）：（?）：（?） =1： 2：3，则这三点（）A 组 成锐角三角形B 组成直角三角形C 组成钝角三角形D 在 同一条直线上考点 ： 数量积表示两个向量的夹角专题 ： 计算题分析：利用向量的数量积公式将等式用向量的模、夹角表示，得到夹角余弦为负，

16、而向量的夹角是三角形的内角的补角，故三角形的三内角为锐角，判断出三角形的形状解答：解：=所以；都是负数所以 C，B，A 都是锐角故选 A点评：本题考查利用向量的数量积公式表示向量的夹角余弦、通过三角形的三角关系判断三角形的形状10已知 ABC 中， |=3， | |=5，则与 的夹角为（）A B C或D 考点 ： 数量积表示两个向量的夹角专题 ： 综合题分析：先利用三角形的面积公式，求得与 的夹角的正弦，利用数量积小于0，即可求得与 的夹角解答：解： ， | |=3， | |=5，=故选 D点评：本题考查向量的夹角，考查三角形的面积公式，解题的关键是正确运用三角形的面积公式11向量，对任意tR

17、，恒有，下列四个结论中判断正确的是（）A B CD 考点 ： 数量积判断两个平面向量的垂直关系；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的性质及其运算律分析：利用向量模的平方等于向量的平方，得到新的不等式恒成立，利用二次不等式恒成立0，再利用向量垂直的充要条件判断出（）解答：解： 向量，对任意 tR，恒有，对任意 t 恒成立， =4（） 24 2（2 ）0，即（） 22+0，即，即，故选 D点评：本题考查向量模的平方等于向量的平方；二次不等式恒成立的条件；向量垂直的充要条件解题时要认真审题，仔细解答12已知平面内的四边形ABCD 和该平面内任一点P 满足：+=+，那么四边形ABCD 一定

18、是（）A 梯 形B菱形C矩形D正方形考点 ： 数量积判断两个平面向量的垂直关系专题 ： 计算题分析：以 A 为原点， AB 为 x 轴奖励平面直角坐标系，设出各点坐标，根据+=+建立等式关系，即可判定四边形的形状解答：解：设 A （ 0，0）， B（ a， 0），C（ xc， yc）， D（ xD， yD）， P（ x，y）则=（ x， y），=（ x xC， y yc），+=+， x2+y 2+（ x xc） 2+（ y yc） 2=（ x a）2+y 2+（ xxD） 2+（ y yD） 2 整理得 2xCx 2yCy+x C2+y C2= 2（a+xD ） x 2yDy+a2+x D 2

19、+yD 2对比系数得由 xC=x D+a 知 |CD|=a，又 yC=y D，故四边形 ABCD 为平行四边形而，则平行四边形ABCD 为矩形故选 C点评：本题主要考查了利用解析法，进行坐标化进行求解，同时考查了向量的模的计算，属于中档题13已知点A ，B ， C 不共线，且有，则有（）A B CD 考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：由题意直接列出角的正切关系，利用正弦定理， 可得 tanA，tanB，tanC 的值，得到角最后利用大角对大边判定选项即可解答：解：设 ABC 中 A 、 B、 C 的对应边分别为a、b、 c，A ，B，C 的大小关系，因为， accosB=abc

20、osC=bccosA即tanC=tanB； tanA=tanB；因为在 ABC 中， tanA 0，tanB tanC，所以 ABC故选 A点评：本题考查平面向量数量积的运算，正弦定理的应用，是难度较大题目解答的关键是将向量条件转化成角的关系二填空题（共17 小题）14设 D 为 ABC 的边 AB 上一点， P 为 ABC 内一点，且满足，则=考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题；作图题；数形结合分析：利用向量的运算法则：三角形法则作出，作出；结合图形求出两个三角形的面积比解答：解：=+=+，=，=故答案为点评：此题是个中档题本题考查向量的运算法则：三角形法则以及三角形的面积公式体现

21、了数形结合的思想，同时也考查了学生应用知识分析解决问题的能力15 ABC 的两条边上的高的交点为H ，外接圆的圆心为O，则，则实数 m=1考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题；数形结合；转化思想分析：根据题意作出图形，由外心和垂心的性质证明四边形AHCD 是平行四边形，由向量加法的三角形法则，由向量相等和向量的减法运算进行转化，直到用，和表示出来为止解答：解：如图：作直径BD，连接 DA 、DC，由图得，=， H 为 ABC 的垂心， CH AB ，AH BC， BD 为直径， DA AB ， DC BC CH AD ，AH CD ，故四边形AHCD 是平行四边形，=，又 ，=，对比系

22、数得到m=1故答案为： 1点评：本题考查三角形的五心，解答本题，关键是根据题意，构造出平行四边形，再利用向量运算，将三个向量的和表示出来，本题中选择入手的位置很关键，此类似于代数中的化简式证明作题时注意构造法思想的运用，向量在几何中的运用16已知 AOB ，点 P 在线段 AB 上，已知，则 mn 的最大值为考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：由向量共线定理可得，存在实数使得（01），而=，则可得m， n 与 的关系，结合基本不等式可求mn 的最大值解答：解：由点P 在线段 AB 上可得 A ， P， B 三点共线由向量共线定理可得，存在实数使得（01）=且，不共线 m=1 ，

23、4n= =故答案为：点评：本题主要考查了向量共线的定理的应用：若A ， B ，C 三点共线， O 为 AB 外一点，则存在实数使得，注意该结论中的系数的特殊关系（+（ 1 ） =1）17 O 为 ABC 内一点，且，则 SAOC： SABC =1： 3考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 综合题分析：延长 OB 至 B' ，使 OB'=2OB ；延长 OC 至 C'，使 OC'=3OC ，则，从而 O 是 AB C的重心，利用SAOC=S BOC=SAOB =SAB C，即可得到SAOC： SBOC： SAOB =2： 1：3，从而可得结论解答：解：延长OB 至

24、 B'，使 OB'=2OB ；延长 OC 至 C'，使 OC'=3OC ，则 O 是 AB C的重心 SAOC=SBOC=S AOB= SAB C， SAOC= SAOC ， SBOC= SBOC， SAOB = SAOB ， SAOC： SBOC：SAOB =2： 1： 3， SAOC： SABC=1： 3故答案为： 1： 3点评：本题主要考查三角形面积的计算，考查向量的加法法则，体现了向量在解决有关平面图形问题题中的优越性18设P 是 ABC所在平面内一点，若且则下列正确的命题序号是 P 是 ABC 的重心 ABC是锐角三角形 ABC的三边长有可能是三个连续

25、的整数 C=2 A 考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：首先由，取 AC 中点 O，则，从而 P 是 ABC 的重心，进而利用，可得三角形三边的关系，从而可以判断其它命题的正确性解答：解：对于 ，取 AC 中点 O，则，P 是 ABC 的重心由 知， 15sinA=12sinB=10sinC ， 15a=12b=10c，不妨设 a=8k， b=10k ， c=12k （k 0），故可知 错， 正确对于， C=2 A故答案为： 点评：本题以向量为载体，考查三角形的性质，关键是利用向量的加法公式，考查正弦定理的运用，有一定的综合性19已知点 G 是 ABC 的外心，是三个单位向量，且

26、满足 2，|=|如图所示， ABC 的顶点 B、 C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半轴上移动，O 是坐标原点，则|的最大值为2考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 综合题分析：确定点 G 是 BC 的中点， ABC 是直角三角形， A 是直角， BC=2 ，根据 ABC 的顶点 B 、C 分别在 x轴和 y 轴的非负半轴上移动，可得OA 经过 BC 的中点 G时，|取得最大值，故可得结论解答：2，|解： 点 G 是 ABC 的外心，且满足 点 G 是 BC 的中点， ABC 是直角三角形，A 是直角是三个单位向量， |=| BC=2 ABC 的顶点 B、 C 分别在 x 轴和 y 轴的非负半

27、轴上移动 G 的轨迹是以原点为圆心1 为半径的圆 | |=1 OA 经过 BC 的中点 G 时， |取得最大值，最大值为2故答案为： 2点评：本题考查向量在几何中的应用，解题的关键是判断三角形的形状，属于中档题20在 ABC中有如下结论：“若点M 为ABC的重心，则”，设a，b，c 分别为 ABC的内角A ，B， C 的对边，点M 为 ABC的重心如果，则内角A 的大小为考点 ： 向量在几何中的应用；三角形五心专题 ： 计算题分析：根据三角形重心的结论，求得三角形三边之间的关系，利用余弦定理，即可得到结论解答：解：由题意， 点M 为ABC的重心，则”， a+b=0， a+=0 a： b：=1：

28、1： 1可令 a=1，b=1 ， c=，利用余弦定理可得 cosA= A 为三角形的内角 A=故答案为：点评：本题考查向量知识，考查余弦定理的运用，求得三角形三边之间的关系是关键21已知 A 1， A 2 分别是椭圆的左、右顶点，P 是过左焦点F 且垂直于A 1A 2 的直线 l 上的一点，则= 20 考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题；综合题分析：根据，求出椭圆的长轴长，和半焦距，根据P 是过左焦点F 且垂直于A1A 2 的直线 l 上的一点，由数量积的几何意义即可求得的值解答：解： A 1， A 2 分别是椭圆的左、右顶点， 2a=10， c=3 P 是过左焦点F 且垂直于A 1

29、A2 的直线 l 上的一点，= A 1F?A 1A 2= 10×2= 20，故答案为：20点评：此题是个中档题考查椭圆的简单的几何性质和数量积的几何意义，同时考查学生分析解决问题的能力22 Rt ABC 中， C=90 °， BAC=60 °，AC=2，点 P 满足，则实数m 的值为考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 综合题分析：先确定 P 在 BAC 的平分线上，利用，可得 P 是 BAC 的平分线与BC 的交点，计算， AP=4 ，即可得到结论解答：解： P 在 BAC 的平分线上 P 是 BAC 的平分线与BC 的交点在直角 ACP 中， PAC=60 &

30、#176;，AC=2， AP=4表示两个夹角为60°的单位向量的和 m=故答案为：点评：本题考查向量知识在几何中的应用，明确向量加法的几何意义是解题的关键23如图在三角形ABC 中，E 为斜边 AB 的中点，CD AB ，AB=1 ，则的最大值是考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：设 CA=x ， CB=y ，则 x2+y2=1，求出 CD，然后根据数量积公式求出，然后利用基本不等式进行求解，即可求出最大值解答：解：设 CA=x ， CB=y ，则 x2+y 2=1CD=x4?y2=x4（1 x2） =2?（ 1 x2） 2=故答案为：点评：本题主要考查了向量的数量积，

31、以及基本不等式求最值，有一定的难度，属于中档题24在 ABC 中，若 O 为 ABC 的垂心，则的值为考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：作出边 AC 的垂线，利用余弦定理求出cosA 的值，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积解答：解： O 为ABC 的垂心，过O 作 ODAC 于 D，则 cosA=，AD=ABcosA=，=AC ?AD=3 ×故答案为：点评：此题是个中档题本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义以及三角形的五心，以及学生分析解决问题的能力25已知点 P 落在 ABC 的内部，且，则实数t 的取值范围是考点

32、 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析： 根据点 P 落在 ABC 的内部，利用向量的线性运算，即可求得实数t 的取值范围解答：解： ，在 BA 上取点 D ，使得延长 BP交AC 于E，则 E在AC 上 实数 t 的取值范围是故答案为：点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的线性运算，正确找出向量间的关系是关键26在三角形ABC 所在平面内有一点H 满足，则 H 点是三角形ABC 的垂心考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：根据向量的减法分别用表示，利用数量积运算和题意代入式子进行化简，证出 HC AB ，同理可得 HB AC ，HA BC，即证出 H 是 ABC 的垂心解

33、答：解：设，则，由题可知， | |2+|2=|2+|2，化简可得?=?，即（） ?=0，即 HCAB 同理可得HB AC ， HA BC H 是 ABC 的垂心故答案为：垂心点评：本题考查了向量在几何中应用，主要利用向量的线性运算以及数量积进行化简证明，特别证明垂直主要根据题意构造向量利用数量积为零进行证明27已知 A 、B 是直线 l 同侧的两个定点，且到l 的距离分别为3 和 2，点 P 是直线 l 上的一个动点，则的最小值是9考点 ： 向量在几何中的应用专题 ： 计算题分析：先设 A 、 B 点到 L 的垂足分别为A' ， B'利用向量的加法法则得出=，其中沿 l 方向，模的最小值为0，垂直于l，模为定值，从而求出的最小值解答：解：设A、B 点到L 的垂足分别为A'，B'则=，沿