(完整word版)等差等比数列的性质总结,推荐文档

1、一、等差数列1. 等差数列的定义：anan 1d （ d为常数）（ n2 ）；2等差数列通项公式：an a1(n1)ddna1d (nN * )， 首项 : a1 ，公差 :d ，末项 : an推广：anam( nm)d 从而 danam ；nm3等差中项（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即： Aab 或 2Aab2（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1 an1 (n2)2an 1anan 24等差数列的前n 项和公式：Snn( a1an )na1n(n1) dd n2(a1 1 d)nAn 2Bn2222（其中 A、 B是常数，所以当

2、d 0时， S 是关于 n的二次式且常数项为 0）n特别地，当项数为奇数 2n1 时， an 1 是项数为2n+1 的等差数列的中间项S2n2n1a1a2 n 12n1 an 1 （项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）125等差数列的判定方法（1） 定义法：若 anan1d 或 an 1and ( 常数 nN)an 是等差数列（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan -1an 1 (n2)2an1anan2 数列 an是等差数列ankn b （其中 k, b 是常数）。（4）数列an是等差数列SAn2Bn,（其中 、 是常数）。nAB6等差数列的证明方法定义法：若 anan1

3、d 或 an 1and ( 常数 nN)an 是等差数列7. 提醒：（ 1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知3求 2。（ 2）设项技巧：一般可设通项 ana1(n1)d 奇数个数成等差，可设为，a2d , ad, a,ad ,a2d （公差为 d ）； 偶数个数成等差，可设为，a3d, ad , a d, a3d , （ 注意；公差为2 d ）8. 等差数列的性质：（ 1）当公差 d0 时，d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差d

4、 ；等差数列的通项公式ana1( n1)ddna1前 n 和 Snna1n( n1) dd n2(a1d )n 是关于 n 的二次函数且常数项为0.222（2）若公差 d0 ，则为递增等差数列，若公差d0 ，则为递减等差数列，若公差d0 ，则为常数列。（3）当 mnpq 时, 则有 amanapaq ，特别地，当 mn 2 p 时，则有 aman2ap .注： a1 ana2an 1a3an 2，- 1 -（ 4）若 a、 b为等差数列，则ab ，abn都为等差数列nnn1n2(5) 若 an 是等差数列，则 Sn , S2 nSn , S3nS2n，也成等差数列（ 6）数列 an 为等差数列

5、 ,每隔 k(kN * )项取出一项 ( am , am k , am 2k , am 3 k ,)仍为等差数列（ 7）设数列 an是等差数列， d 为公差， S奇 是奇数项的和，S偶 是偶数项项的和，Sn 是前 n 项的和1. 当项数为偶数 2n 时，S奇a1a3a5na1a2n1nana2 n 12S偶a2a4a6n a2a2 nnan 1a2n2S偶S奇nan 1nann an 1anS奇nananS偶nan 1an12、当项数为奇数2n1时，则S2 n1S奇S偶(2n1) an+1S奇(n 1)an+1S奇n 1S奇S偶an+1S偶 nan+1S偶n（其中 an+1 是项数为2n+1

6、的等差数列的中间项） （ 8）、 bn 的前 n 和分别为 An 、 Bn ，且Anf (n) ，Bn则 an(2n1)anA2n 1f (2 n1) .bn(2n1)bnB2n 1（ 9）等差数列 an 的前 n 项和 Sm n ，前 m 项和 Snm ，则前 m+n 项和 Sm nm n(10) 求 Sn 的最值法一：因等差数列前 n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN * 。法二：（ 1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当 a10，dan00，由可得 Sn 达到最大值 时的 n 值an 10（ 2） “首负”的递增

7、等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 a10， dan00，由可得 Sn 达到 最小值 时的 n 值an 10或求 an 中正负分界项法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对Sn 取最大值（或最小值） 。若 Sp =p q称轴最近的整数时，Sq 则其对称轴为 n2注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量- 2 -二、等比数列1.等比数列的定义：anq q 0 n 2, 且 nN * ， q 称为 公比a

8、n12.通项公式：ana1qn 1a1 qnA Bn a1 q 0, A B 0 ，首项： a1 ；公比： qq推广： an amqn m从而得 qn manan，am或 q n mam3. 等比中项（ ）如果 a, A,b 成等比数列，那么A叫做 a 与b的等差中项即：A2ab 或 Aab1注意： 同号的 两个数 才有 等比中项，并且它们的等比中项有两个 （两个等比中项互为相反数）（2）数列 an 是等比数列an2an 1 an 14. 等比数列的前 n 项和 Sn 公式：(1) 当 q1 时，Snna1(2)a11qna1anq当 q 1时， Sn1q1qa1a1qnAA BnA'

9、 BnA '（ A, B, A ', B '为常数）1q 1q5.等比数列的判定方法（ 1）用定义：对任意的n,都有 an 1qan或 an 1q( q为常数， an 0) an 为等比数列an（ 2） 等比中项： an2an 1an 1 （ an1an 10） an 为等比数列（ 3） 通项公式： anA BnA B0 an 为等比数列（ 4） 前 n 项和公式：SnAA Bn或SnA' BnA' A,B, A',B'为常数 an 为等比数列6. 等比数列的证明方法依据定义：若anq q 0 n2, 且 nN *或 an 1qan an

10、 为等比数列an 17. 注意n 和公式中，涉及到（ 1）等比数列的通项公式及前5 个元素： a1 、 q 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2个，即知 3 求 2。（ 2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；an a1 qn 1如奇数个数成等差，可设为，aa2（公比为 q ，中间项用 a 表示）；q2 , a,aq, aqq- 3 -8. 等比数列的性质(1) 当 q 1 时等比数列通项公式ana1qn1a1 qnA BnA B0 是关于 n 的带有系数的类指数函数， 底数为公比 qqa1 1qnn前

11、 n 项和 Sna1a1qa1a1 qnA A BnA ' BnA ' ，系数和常数项是互为相反1q1 q1 q1 q数的类指数函数，底数为公比q(2) 对任何 m,nN * ,在等比数列 an 中,有 anamqn m ,特别的 ,当 m=1 时 ,便得到等比数列的通项公式 .因此 ,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。(3) 若 m+n=s+t (m, n, s, t N * ),则 anam asat .特别的 ,当 n+m=2k 时 ,得 an am ak2注： a1 an a2 an 1a3an 2(4) 列 an , bn 为等比数列 ,则数列 k , kan

12、, ank , k an bn an (k 为非零常数 ) 均为等比数anbn列 .(5) 数列 an 为等比数列 ,每隔 k(kN * )项取出一项 ( am , am k ,am 2k , am 3k ,)仍为等比数列(6) 如果 an 是各项均为正数的 等比数列 ,则数列 log a an 是等差数列(7)若 an 为等比数列 ,则数列 Sn ， S2nSn ， S3n S2 n ,，成等比数列(8)若 an 为等比数列 ,则数列 a1 a2an ,an 1an2a2n ,a2 n 1 a2 n 2a3n 成等比数列(9)当 q1 时，当 0<q1时，a，则为递增数列a，则 a为递

13、减数列0 a 0 1，则 n为递减数列 ,1，则n为递增数列a1 0 an a1 0 an 当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）;当 q<0 时,该数列为摆动数列 .(10)在等比数列 an 中, 当项数为 2n (nN*)时, S奇1,.S偶q(11)若 an 是公比为 q 的等比数列 ,则 Sn mSn qnSm例 1、（1）设 an是等差数列，且a1a4 a8a12a15 2 ，求 a3a13 及 S15 值。（ 2）等比数列an 中， a1an66， a2 an 1128n，求 n 和公比 q 。，前 n 项和 S =126（ 3）等比数列中， q=2， S99

14、=77，求 a3+a6+ +a99；（ 4）项数为奇数的等差数列an 中，奇数项之和为 80，偶数项之和为 75，求此数列的中间项与项数。- 4 -解：（1 ）由已知可得a82，所以 a3a13 =2 a8415=15 a1a1515a830， S22 由题 n a1an128, a1an66，所以a12或a164an64an2a1an q126q2q12又 Snq,所以或1n6n63QS99a1 a4 L a97a2a6 L a98a3a6L a9911a6 L a99a3 a6 L a9944q21 a3q评注：分解重组，引导发现（a1a4La97 ）、（ a2a6La98 ）与（ a3a

15、6L a99 ）的关系，从而使问题获得简单的解法。S奇a1a2n 1 nn802n 164 设等差数列共 2n-1 项 ,则a2a2n 2 ( n 1)n 1 75S偶2所以此数列共31 项 .中间项S奇S偶80755评注：（ 1）在项数为2n1 项的等差数列 an 中， S奇 =(n+1) a中,S偶 =na中 ,S=(2 n+1) a中 ；2n +1（ 2）在项数为2n 项的等差数列 an 中 S奇 =nan ,S偶 =nan1 ,S2n +1=n(anan1 ) 变式：（ 1）若一个等差数列前3 项的和为 34，最后三项的和为146，且所有项的和为390 ,则这个数列有13 项；（ 2）

16、已知数列 an 是等比数列 ,且 an >0 , nN * , a3a52a4a6a5 a781，则a4 a69（ 3）等差数列前 m 项和是 30 ，前 2m 项和是 100，则它的前 3m 项和是 210 (4) 等差数列 an 和 bn的前 n 项之和之比为 (3n+1)： (2n+3),求 . a15 。（ = 88 ）b1561例 2、设等差数列的前 n 项之和为 Sn ，已知 a3=12，S12>0， S13<0，（ 1）求公差 d 的取值范围。（ 2）指出 S1， S2， S3， Sn中哪一个值最大，并说明理由。解：（1 ） S1212a112 11 d0， S

17、1313a11213 d0 ，即2a111d0a16d，220由 a3a12d12 ,代入得：24d3 。760（ 2）解一：由S12a6a7， S1313a70 可知 a60 , a70 ，所以6S 最大。解二： Snd n2125dn ，由24d3可知，它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的227点，根据图象可知 S6最大。2d (5d 24) 2 ，由解三： Sndn5d2424d3得22d22d765d 2413 。又抛物线开口向下，所以S6 最大。2d2评注：求等差数列 Sn 最值有三法： 借助求和公式是关于n 的二次函数的特点,用配方法求解 ;借助等差数列的性质判断 ,通过 ”转

18、折项 ”求解 ; 借助二次函数图象求解。 （经过原点 ）变式 ： (1) 已知等差数列 an中， a10, S5123nS12 ，问 S， S ，S， S中哪一个值最大。- 5 -(2) 数列 an 是首项为 1000，公比为1 的等比数列，数列b n 满足110bk(lg a1lg a2Llg ak ) ( kN*)，k（ 1）求数列 b n 的前 n 项和的最大值； （ 2）求数列 |b n | 的前 n 项和 Sn 略解：（ 1）由题得 an104n ， lg an4n ， lgan 是首项为3，公差为1的 AP。 lg alg aLlg a3kk( k1)， bn13nn( n 1)7

19、n12k2n22bn0，得 6n7 ，数列 b n 的前 n 项和的最大值为 S6S721由2bn10（2）由（ 1）当 n7 时， b0 ，当n7时， b0 ，nn37n1 n2 13 n当 n 7 时， Snb1b2L bn (2 )n244当 n7 时， Snb1 L b7b8L bn2S7Sn1 n213 n 211 n213 n44(n7) Sn441 n213 n21(n7)44例 3、 (1) 由正数组成的等比数列 an ，若前2n项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11 倍，第 3 项与第 4项之和为第 2 项与第 4 项之积的11 倍，求数列 an 的通项公式a1 (1q2

20、n )11a1q(1 q2n )解：当 q 1 时，得 2na111na1 不成立， q1，1q1q2a1q2a1q311a1qa1q3由得 q1，代入得 a110 ， an( 1 ) n2 1010说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1(2) 若数列 an 成等差数列，且 Smn, Snm(m n) ，求 Snm 解：（法一）基本量法（略） ；（法二）设 SnAn2Bn ，则An2Bnm(1)Am2Bmn(2)(1) (2) 得： (n2m2 ) A(nm) Bmn ， Q mn ， (m n) AB1， Sn m(nm)2 A(nm) B(nm) 评注：法二抓住了等差

21、数列前n 项和的特征 SnAn 2Bn 。变式： 设数列 an 为等差数列， Sn 为数列 an的前 n 项和，已知 S7=7， S15=75,Tn 为数列 Sn的前 n 项和，求 Tn。nS7a176 d 7解：法一：（基本量法）设 an首项为 a721，公差为d，则15 14 dS15a175152a12 Sn2n(n1) ，Sn2n1n5n2d 1222- 6 - 此式为 n 的一次函数， Sn为等差数列，T n12annn 。44法二： anSA7 27B7为等差数列，设n27S =An +Bn，S15A15215B75A12125解之得：Snnn ，下略。B5222例 4、已知等差数

22、列 110,116,122,L ，（ 1）在区间 450,600 上，该数列有多少项？并求它们的和；（ 2）在区间 450,600 上，该数列有多少项能被 5 整除？并求它们的和 .解： an 110 6( n1)6n104，（ 1）由 4506n104600，得58 n82，又 nN *, 该数列在450,600上有 25 项,其和 Sn1( a58a82 )25 131002（ 2） an1106(n1) ，要使 an 能被 5 整除，只要 n1能被 5 整除，即 n 15k ， n5k 1，585k 182 ， 12k16 ，在区间450,600 上该数列中能被5 整除的项共有5 项即第

23、61,66,71,76,81项，其和S5(a61a81 )2650 2等差、等比数列性质及应用复习参考题一、选择题1.在正整数 100至 500 之间能被11 整除的个数为（）A.34B.35C.36D.372. an 是等差数列，且 a1+a4+a7=45,a2+a5+a8=39,则 a3+a6+a9 的值是（）A.24B.27C.30D.332 f (n)n）3.设函数 f(x)满足 f(n+1)=2(n N* )且 f(1)=2, 则 f(20)为（A.95B.97C.105D.1924. 若 an 是等差数列，首项a10, a2003a20040, a2003 .a20040 ，则使前

24、 n 项和Sn 0 成立的最大自然数n 是：（ ）A 4005B 4006C 4007D 4008n1n*,则 n(n 3)的最大值为（）5.等差数列 a 中，已知 a =6,a =0,公差 d NA.5B.6C.7D.86. 设命题甲 :ABC的一个内角为 60o，命题乙 : ABC的三个内角的度数成等差数列 .那么 ( )(A)甲是乙的充分不必要条件(B)甲是乙的必要不充分条件(C)甲是乙的充要条件(D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7.已知等差数列 an 的公差为正数，且a3·a7= 12,a4+a6= 4,则 S20 为（）A.180B. 180C.90D. 908. 现有 200 根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为（）A.9B.10C.19D.299.由公差为 d 的等差数列 a 、 a 、 a 重新组成的数列 a +a , a +a , a +a 是（）123142536A. 公差为 d 的等差数列B. 公差为2d 的等差数列- 7 -C.公差为 3d 的等差数列D.非等差数列10.在等差数列 a 中，若 S =18,S =24