(完整版)数列知识点归纳

1、数列一、等差数列性质总结1. 等差数列的定义式： an an 1 d （ d为常数）（ n 2 ）；2等差数列通项公式：an a1 ( n1)d (nN * )，首项 : a1 ，公差 :d推广： anam ( nm)d 从而 danam ；nm3等差中项（1）如果 a ， A ， b 成等差数列，那么A 叫做 a 与 b 的等差中项即：a bA2或 2 Aab（2）等差中项：数列an 是等差数列2anan -1 an 1 (n 2, n N * )2an 1anan 24等差数列的前 n 项和公式：Sn(a1an )nan(n 1) dd n2( a1 d )n An2Bnn212212（其

2、中 A、B是常数，所以当 d 0时， Sn是关于 n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数2n1时， an 是项数为 2n-1 的等差数列的中间项S2n2n1a1a2n12n1 an（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）125等差数列的判定方法（1） 定义法：若 anan 1d 或 an 1and ( 常数 nN )an是等差数列（2） 等差中项：数列an是等差数列2anan-1an 1 (n2)2an 1anan2 （3） 数列 an 是等差数列anknb （其中 k,b 是常数）。（4）数列an是等差数列SAn2Bn（其中 、 是常数）。n,AB6等差数列的证明方法定义法：

3、若 anan 1d 或 an 1and ( 常数 nN )an是等差数列等差中项性质法： 2anan-1an 1 (n2， nN) 7. 提醒：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、d 、n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。（2）设项技巧：一般可设通项ana1( n1)d奇数个数成等差，可设为， a 2d, a d, a, a d, a 2d （公差为 d ）；偶数个数成等差，可设为， a 3m,a m, a m, a 3m , （注意；公差为 2 m

4、）8. 等差数列的性质：（1）当公差 d 0 时，等差数列的通项公式ana1 (n1)ddna1 d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差d ；前 n 和 Snna1n(n1) dd n2(a1d ) n 是关于 n 的二次函数且常数项为 0.222（2）若公差 d0 ，则为递增等差数列，若公差 d 0 ，则为递减等差数列，若公差d0 ，则为常数列。（3）当 mnp q 时 , 则有 amanapaq ，特别地，当 m n 2 p 时，则有 aman2ap .- 1 -（4）若 an 、 bn 为等差数列，则1 an2bn 都为等差数列，其中1, 2R(5)若 an 是等差数列，则Sn , S

5、2 nSn , S3nS2n，也成等差数列（6）数列 an 为等差数列 ,每隔 k (kN * )项取出一项 ( am , am k , am 2 k , am 3 k ,)仍为等差数列（7）设数列an 是等差数列， d 为公差， S奇 是奇数项的和， S偶 是偶数项项的和，Sn 是前 n 项的和当项数为偶数 2n 时，则S2nn(anan 1)S偶S奇 ndS奇anS偶an 1当项数为奇数 2n1时，则S2n 1 S奇S偶(2n1) anS奇nanS奇nS奇S偶anS偶(n 1)anSn 1偶（其中 an 是项数为 2n-1 的等差数列的中间项） （ 8） an 、 bn 的前 n 和分别为

6、 Sn 、 Tn ，则 an(2n1)anS2n1 .bn(2n1)bnT2n1（ 9）等差数列 an 的前 n 项和 Smn ，前 m 项和 Snm ，则前 m+n 项和 Sm nm nan m, amn, 则 an m0(10) 求 Sn 的最值法一：因等差数列前n 项是关于 n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性 nN * 。法二：（ 1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和即当 a10， dan00，由可得 Sn 达到最大值时的 n 值an 10（ 2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。即 当 a10， d

7、an00， 由可得 Sn 达到最小值时的 n 值an 10或求 an 中正负分界项注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：基本量法：即运用条件转化为关于 a1 和 d 的方程；巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量二、等比数列性质总结1、等比数列的定义 :nN * ， an +1q 0an注意 ：（1）公比 q 一定是由后项比前项（相邻的两项）所得，而不能用前项比后项来求；（ 2）由公比 q 0 知，等比数列 an 中的每一项都不为零；（ 3） . 在等比数列 an 中，当 a10当a1 0， 0 q 1 ，数列 an 是递增数列 ；1， q >1 时，数列

8、an 是递增数列 ； 2当 a10， 0当 a10 ， q >1 时，数列 an 是递减数列 ；3q 1 时，数列 an 是递减数列 ； 4- 2 -1时，数列 an 是常数列；0 时，数列 an 是摆动数列 .5 当 q6 当 q（ 4）若一个数列 an 既为等差数列又为等比数列 an 为非零常数列 .（ 5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项的符号相同.2、等比数列的通项公式：ana1 qn 1推广为： an am qn m ( m, nN )注意： (1) 等比数列的计算问题中，首项a1 和公比 q 是基本量 ；(2) 有以下几种方法可以计算公比q qan(n 2, n N ) q

9、n 1an qn manan 1a1am其中，若公式中的指数n 1， nm 为偶数，开方求公比，要根据题意选取正确的符号。3、等比中项：若 a , G , b 是等比数列，则G 叫做 a 与 b 的等比中项 .由等比数列的定义可知: G 2ab .注意：（ 1） a, b 同号；G 也是 a,b 的等比中项；a,G, b 均为非零常数；（ 2）任意两数的等比中项不一定存在且不唯一；所以，G 2ab 是 a , G , b 成等比数列的 必要非充分 条件；4、等比数列的性质：(1) 下标和性质：下标和相等，则对应项的积相等；使用条件：等式两边项的个数相同，且项数之和相同.在等比数列 an ，若

10、m, n, p, q, t N且 mn p q2t，则 am anapaqat2；反之是否成立？No！若 m、n、 p N * 且 mnp , 则 amanap 成立吗 ? NO!若 m、 n、p、q、s、tN * 且 m n s pqt , 则 am anasapaq at 成立吗 ? YES!从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项组成的新数列仍是等比数列，如：a2 ,a5 , a8 , a11 , ；(2) 若 an 是以 q 为公比的等比数列，则数列| an |， can(c0) ， ank 等也为等比数列，公比分别为| q |, q, q k ，但 an an 1不一定是等比数列

11、.若数列 an 、 bn 为项数相同的等比数列，则ans bnt( s, tR) 也是等比数列 .5、等比数列的判定方法：(1) 定义法：对于任意 n N ，验证 an 1 为同一常数；an(2)等比中项法：验证an0 且 ( an +1 )2an an 2 (nN ) 成立；- 3 -(3) 通项公式法：验证 ancqn ，其中 c, q 都为非零常数 , n N .6、等比数列设元技巧：（ 1）三数成等比：设三数为a , ,；a aqq（ 2）四个同符号的数成等比：设四数为a3 ,a , am, am3mm7、等比数列前 n 项和公式： Sa1(1 qn ) a1an q ,(q 1)1q

12、1qnna1,(q 1)注意：等比数列前 n 项和公式要注意分（ 1）q1 和 q1 两种情况；（ 2）等比数列的通项公式与前n 项和公式共涉及5 个量 a1 ， q ， n ， an ， Sn ，知道其中任意3 个量就可求出另外 2 个量，注意前提条件是q0；8、等比数列前n 项和的的性质：公比不为 1的等比数列的依次m 项之和构成的新数列仍为等比数列，如：Sm ， S2mSm ， S3mS2m ，S4m S3 m ,L ( m N ) .9、等比数列前 n 项和的函数特性：当 q 1 时，等比数列an 的前 n 项和公式Sn a1 (1qn )a1a1qnB Bqn ，其中 Ba1；1q1

13、q1q1 q数列 an 为非常值等比数列的充要条件是 Sn BBq n( B为常数 , q 0,1, B0) .10、等差数列与等比数列间的联系（ 1）若 bn是各项为正的 等比数列，则 log a bn 是等差数列（ a0 且 a 1）；（ 2）若 cn是等差数列，则acn是等比数列（ a0 ）11、等差数列与等比数列的类比等差数列等比数列加法乘法减法除法乘法乘方除法开方01三、递推数列求通项类型 1 an 1anf (n)解法： 把原递推公式转化为an1an f ( n) ，利用 累加法 求解。- 4 -类型 2an 1f ( n)an解法： 把原递推公式转化为an1f (n) ，利用 累

14、乘法 求解。an类型 3an 1pa nq （其中 p, q 均为常数， ( pq( p 1)0) ）。解法（待定系数法） ：把原递推公式转化为：an 1 tp(ant ) ，其中 tq，再利用 换元法转化为等比数1p列求解。类型 4递推公式为 Sn 与 an 的关系式 (或 Snf (an ) ).anS1(n1)f (an ) f (an 1 ) 消去 Sn (n 2)解法：这种类型一般利用SnSn 1(n与 an Sn Sn 12)或与 Snf ( SnSn 1 ) (n 2)消去 an 进行求解。四、数列求和在解数列求和问题时，要注意观察所给数列的通项，由通项形式上的特点来选取合适的方

15、法进行解答，也要注意分类讨论思想的运用。第 1 类：错位相减法（等差等比）这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 anbn 的前 n 项和，其中 an ， bn 分别是等差数列和等比数列。第 2 类：裂项相消法裂项法的实质是将数列中的每项（通项）裂成两项（或若干项） ，使之按某规律组合后，能消去若干项，最终达到求和的目的，通项一般可分解（裂项）如：1、乘积形式，如：an1k )1( 11)n( nknnk2、根式形式，如：11nkn)nkn(k第 3 类：分组求和法（等差等比）有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列通项适当拆开，可分为几个

16、等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将每组的和合并即可。五、数列极限定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 a 的项 a 无限趋近于 某个常数 a （即an a无限nn 趋近于 0 ），那么就说数列 an 以 a 为极限 . 记作 lim ana .n注：（ 1）不是所有无穷数列都有极限，但如果有极限，则必是一个唯一确定 的常数；（2）改变数列的 有限项 ，不会影响数列的极限存在性 .- 5 -2、几个常用的数列极限：（ 1） lim C=（C 为常数）；（2） lim1 =；nnn_, 当 | q |1时（ 3） lim qn_, 当 q=1 时n_, 当 | q |1或 q

17、=1 时3、数列极限的四则运算法则：如果 lim anA ， lim bnB ，那么nnlim (an bn )A B ；lim( anbn ) A B ；limanA(B 0)nnnbnB特别地，如果 c 是常数，那么，limc anc lim anc ann注：（ 1）运算法则使用的前提：1)、每一个已知数列都存在极限；2)、这些数列的个数必须是有限的。（ 2）上述结论可推广到 有限个 数列的情形；（ 3）数列极限的运算性质的实质： 四则运算与极限运算可交换 .4. 常见数列极限类型及求法：fn类型 1：分式型lim，其中 f(n) ， g(n) 都是关于n 的多项式ng n方法：分子，分母同除以n的最高次幂，再利用lim10nnL0,sttt 1结论：limna0na1nLat1na