(完整word版)数分知识总结及例题

1、数分近一周知识点总结本周学习了第二章数列极限。 由于在数学分析中， 变量的取值范围是限制在实数集合内，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是 R 连续性的表述之一非空有上界的数集必有上确界， 非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化无穷大量、 无穷小量、极限等概念的引入， 让我们知道数列是发散或收敛的。 数列极限有唯一性， 且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单

2、调有界数列必收敛）提供了思路和工具。数学是良好的工具。 应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况， 、e、Euler常数的起源，感受了极限的魅力。 接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题实数集是否可列。 Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的 “稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明 Cauchy 收敛原理提供了强有力的支持。而 Cauchy 原理也说明了实数系的另一个性质完备性。回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。下面我们以 5 定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为

3、该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass定理又称聚点定理。下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明摘要: 循环论证了实数系的 5 个基本定理 , 并最终形成所有完美的论证环 , 体现了数学论证之美 .( 单调有界定理 )任何单调有界数列必定收敛( 闭区间套定理 ）设 an,bn为一闭区间套：1. an , bn an 1 ,bn 1, n1,2,L ,2.lim( bnan ) 0n则存在唯一一点 an , bn , n1,2,L .( 聚点定理 ) 又称 Bolzano-WEierstrass定理直线上的任一有界无限点集S至少有

4、一个聚点，即在的任意小邻域内都含有S 中无限多个点（本身可以属于 S ，也可以不属于 S ）或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。( 柯西收敛准则 )数列 an 收敛的充要条件是：，、0, N N n m N ,恒有 |am -an|<（后者又称为 柯西（ Cauchy）条件，满足柯西条件的数列又称为柯西列，或基本列）( 确界存在原理 ) 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .单调有界定理对其它定理的证明一用单调有界定理证明闭区间套定理证由区间套定义 ,an 为递增有界数列，依单调有界定理 , an 有极限 ,且有 ann=1,2, L(1)同理 , 递减有界数列 bn

5、 也有极限 , 并按区间套的条件有lim bnlim an =(2)xx且bn， n=1,2, K(3)联合 (1) (3)即得 anbn 式 .最后证明满足的anbn 的是唯一的 , 设数也满足anbn，n=1,2, L则由 anbn 式有|-|bn - an，n=1,2, L由区间套的条件得|-|lim( bn xan )0 ，故有=二用单调有界定理证明确界原理证我们不妨证明非空有上界的数集S 必有上确界 .1. 欲求一实数使它是非空数集 S 的上确界 . 利用非空有上界的数集 S , 构造一数列使其极限为我们所要求的实数 .选取性质p : 不小于数集S 中的任一数的有理数.将具有性质p

6、的所有有理数排成一个数列n ,并令xn =max1 ,2 ,K,n ,则得单调递增有上界的数列 xn ;2. 由单调有界定理得,lim xnx, 且对任意的自然数n 有nxn;x03.是数集S 的上确界 . 用反证法. 若有数x0S 使 x0, 取2,由3.一定存在一个有理数N,使n <+,从而N < x0 ,这与N 是数集S 的上界矛盾. 所以对一切xS, 都有x,即是数集S 的上界.任给>0, 若xS, 都有x-, 则存在有理数, 使-<<,即 x-<<.这与3.矛盾,所以存在xS , 使x >-.即是数集 S 的最小上界 .于是 , 我们证

7、明了所需结论 .三 . 用单调有界定理证明柯西收敛准则证"" 若 an 收敛，设lim an na则有对0 ，N0 ，当nN时有ana/ 2任取mn ，则有ama / 2从而anam ama ana 即 an 是 Cauchy 列" " 设 an 是 Cauchy 列(i) 则对0， N10 ，当 n1N1 时有 an1aN1 从而 aN1an1aN1取 N 2n1 ， N 2n2 ， aN 2an2 从而 aN2an2aN2 取 N knk 1 ， N knk ， aN kank 从而 aNkan kaNk即得对k 有 ank 1an，由的任意性有an

8、k 1ankk(ii) 由 Cauchy 列的定义，任取0，则N ，当 m, nN 时有 anam 取 mN1 则 aN 11anaN 11所以 an 为有界序列由 ank an 有 ank 为有界序列由有界单调收敛定理有 an 收敛，设 lim ana0kkk(iii) 下证 lim ana0n因为对0 ，K ，当 kK 时有 anka0 / 2由 an 是 Cauchy 列有当 nnk 时有 anan k / 2所以 ana0 anank + anka0 所以 an 收敛，且 lim ana0n证毕四 . 单调有界定理证明聚点定理证设 S 是以有界无限点集, 则在 S 中选取一个由可数多个

9、互不相同的点组成的数列 an , 显然数列 an 是有界的 .下面我们从 an 中抽取一个单调子列,从而由单调有界定理该子列收敛 , 最后我们证明该子列的极限值 , 就是有界无限点集 S 的聚点 . 分两种情况来讨论 .1) 如果在 an 的任意一项之后 , 总存在最大的项 ( 因 S 是有界的且 an S , 这是可能的 ). 设a1 后的最大项是 an1 ;an1后的最大项是 an2 且显然 an2an1;一般地 ,an 后的最大项记为anan ,(k=1,2, ).这样 , 就得kk 1k到了 an 的 一个单调递减的子数列 ank ,因为 an 有界 , 根单调有界定理知, ank 收

10、敛 .2) 如果 1) 不成立 . 即从某一项后 , 任何一项都不是最大的 ( 为证明书写简单起见 , 不妨设从第一项起 , 每一项都不是最大项 ). 于是 , 取 an1 = a1 ,因 an1 不是最大项 , 所以必存在另一项 an2 > an1 ( n2 >n1 ). 又因为 an 2 也不是最大项 , 所以又有 an3 > an2( n3 > n2 ), 这样一直下去 , 就得到 an 的一个单调递增的子列 ank 且有上界 单调有界定理知 , ank 收敛。总之不论 an 属于情形 1 ）还是情形 2 ）都可作出 an 的一个单调收敛的子列 .设 lim an

11、 = a , 今证 a 是 S 的聚点 . 对>0, 存在自然数 K , 使得时kkk > K 时，a -< ank<a +,若这时ank 单调递减,ank 1<a +(k > K )且 ank 1a ,ank 1S 即 a 的领域内含有 S 中异于 a 的点 , 故 a 是 的 S 聚点 .单调递增时 , 类似可证区间套定理对其它定理的证明一 . 用区间套定理证明数列的柯西收敛准则证必要性设 lim an = A.x由数列极限定义, 对任给的>0, 存在N>0,当m,n> N 时有|am -A|<, |an -A|<,22因而

12、 | am - an | | am -A|+ | an -A|<+ = .22充分性 按假设 , 对任给的>0, 存在 N >0, 使得对一切 nN 有| an - aN |, 即在区间 aN -, aN +内含有 an 中几乎所有的项 ( 这里及以下 , 为叙述简单起见 , 我们用“ an 中几乎所有的项” 表示“ an 中除有限项外的所有项”)据此,令 =1,则存在 N1, 在区间 aN-1 , aN+1 内含有 an 中21212几乎所有的项 . 记这个区间为 1 ,1 .再令=1 ,则存在 N2(> N) , 在区间 aN-1 , aN+ 1 内含有 an221

13、222222中几乎所有的项 . 记2 ,2 = aN2- 12 , aN2+12I 1,1,22它也含有 an 中几乎所有的项 , 且满足继续依次令=13,L ,1n , L , 照以上方法得一闭区间列 n , n ,22其中每个区间都含有 an 中几乎所有的项 , 且满足n ,n n 1 , n 1 ,n=1,2,L ,n -n10 (n),2n 1即 n ,n 是 区 间 套 ,由区间套定理,存在唯一的一个数n ,n ( n=1,2,L).现在证明就是数列 an 的极限 . 事实上 , 对任给的>0, 存在N>0,使得当 n > N时有 n , n U( ; ).因此在

14、U( ;) 内含有 an 中除有限项外的所有项 , 这就证得 lim an = .x二用区间套定理证明聚点定理证因S为有界点集, 故存在M 0,使得SM,M,记 1, 1= M,M .现将 1 , 1 等分为两个子区间 , 因 S 为无限点集 , 故两个子区间至少有一个含有中 S无穷多个点, 记此子区间为2 ,2 , 则 1 ,1 2, 2, 且2 -2=1(1 -1 )=M.2再将 2 , 2 等分为两个子区间 , 则其中至少有一个子区间含有S 中无穷多个点 ,取出这样的一个子区间 , 记为 3 ,3, 则2 ,2 3 ,3 ,且3 -3=1 (2 -2)=M.22将此等分子区间的手续无限地

15、进行下去, 得到一个区间列 n ,n ,它满足n ,n n1 ,n 1 ,n=1,2,L,n -n = Mn20(n),2即n ,n 是区间套 , 且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点 .由区间套定理 , 存在唯一的一点n ,n , n=1,2,L. 于是对任给的>0, 存在 N >0 , 当 n > N 时有 n ,n U(;). 从而 U(;)内含有 S中无穷多个点 ,为 S 的一个聚点 .三 . 用区间套定理证明确界原理证仅证明非空有上界的数集S 必有上确界 .1. 要找一数 , 使其是数集 S 上的上确界 . 是 S 的上确界就要满足上确界定义中的两个条件 :

16、大于的数不在 S 中,的任何领域内有 S 中的点 .这两条即为性质p .如果在闭区 a , b 间中 , 则闭区间应有性质 a , b : 任何小 a 于的数不在 S中, a , b 中至少含有 S 中的一个点 , 该性质即为 p* . 取 S 的上界为 b , 且 bS , 取 a S , 则闭区间有性质 p* ;2. 将闭区间 a , b 等分为两个闭区间 , 则至少有一个闭区间 a1 , b1 也有性质 p* . 如此继续得一闭区间列 , 满足a , b a1 , b1 K an , bn L ;lim( bnan ) = lim1n (ba) =0xx23.由闭区间套定理得属于所有的闭

17、区间 n,n=1,2,L ,并且每个an , b闭区间 an , bn 有性质 p* ;4.因为 anbn , n=1,2,L, 且 lim( bnan ) =0, 故xlim an=lim bn = ,xx由于对x S , 有 xbn , 从而 xlim bn =; 又对>0, 总存在 N ,x使得 -<aN , 故存在 x0S I aN , bN ,于是 x0aN > -. 因而=sup S .四用区间套定理证明单调有界定理证设 xn 是单调有界数列 ,不妨设其为单调递增且有上界b1 , 现在来构造以个闭区间套 .在 xn 中任取一项记作a1 , 这时 a1 < b

18、1于是 , 以 a1 , b1 为端点的闭区间 a1 , b1 内一定含有数列 xn 中的无限多项 , 将区间 a1 , b1 二等分 , 得闭区间a1 , a12b1 ,a1 b1 , b1 .2由于 xna1b1 和 a1 b1 ， 1n 单调递增，故 a1 ,2b 中只有一个包含 x 2的无限多项，记该区间为 a2 ,b2 . 再将 a2 , b2 二等分，在所得区间中只有一个包含 xn 的无限多项，记该区间为 a3 ,b3 , 如此继续，得一闭区间列：a1 , b1 ，a2 ,b2 ， an ,bn ，满足an1 ,bn 1 an ,bn ,(n =1,2,);lim( bnan )

19、=0n故 an , bn n 1 是一 个闭 区间 套 ,由闭区 间套 定理, 存在唯一 实数使得an ,bn (n =1,2,).现在证明因lim xn =.因 lim( bnan )=0, 故对>0存在自然数N , 当nnn > N 时, bn - an <另外, 由于n > N时, 有an,bn包含递增数列 xn 的 无限多项,所以必存在N,当anbn ,取 N =maxN , N, 当 n > N时有 xn - <bn - an < ,此即 lim xn = .n柯西收敛准则对其它定理的证明一 . 用柯西数列的收敛准则证明确界原理证设为 S 非

20、空有上界数集 . 由实数的阿基米德性 , 对任何正数, 存在整数k, 使得 = k为S的上界,而-=( k -1)不是 S 的上界 , 即存在1S, 使得1>( k-1).分别取=1 ， n =1,2, K , 则对每一个正整数 n , 存在相应的n , 使得nn 为 S 的上界 , 而 n -1 不是 S的上界, 故存在1S, 使得n1 > n - 1 .(1)n1;同理又对正整数 m ,m 是 S 的上界 , 故有 m1. 结合(1)式得 n -m <n有 n - m < 1 . 从而得 m|m -n |<max(1 , 1mn).于是 , 对任给的>0

21、 ,存在N>0,使得当m ,n > N时有|m -n |<.由柯西收敛准则 , 数列 n 收敛 . 记lim n =(2)x现在证明就是 S 的上确界 . 首先 , 对任何 aS 和正整数 n 有 an , 由(2)式得 a, 即是 S 的一个上确界 . 其次 , 对任何>0, 由10( n) 及n(2) 式 , 对充分大的 n 同时有1 <,n >-.n22又因 n - 1 不是 S 的上界 , 故存在S,使得> n - 1 . 结合上式得nn> n -=- .这说明 为 S 的上确界 .22同理可证 : 若 S 为非空有下界数集 , 则必存在

22、下确界 .二 . 用柯西收敛准则证明聚点定理证 1.取 a 为 S 的下界 , 对任意固定的自然数n ，存在自然数 kn ,使 xn = a + knn满足：1 ） S I (xn , ) 至多为有限点集；2） S I (xn1 ,) 为无限点集 .n1 < xm ,2由 1. 对任意的自然数 n , m ,xn这是因为，若存在n, m 使1nxnxm , 则n1 ,S I ( xn)S I (xm,)这与 1），2）矛盾 . 从而n|xn - xm| max 1 ,1 nm因此 nx 满足柯西收敛准则；3由柯西收敛准则得，= lim xn ;x4对>0,由于lim( xn1,所以

23、存在0使得) =nxnxn0 ,xn0- 1( -,+),n0从S I (xn01 ,)S I (,) ,n0有2）得SI(,) 是无限点集；又S I (, )S I ( xn0 ,) ,由1）得SI(,) 至多是有限点集 . 因此SI( -, +),是无限点集 , 即 是 S的聚点 .三 . 用柯西收敛准则证明闭区间套定理证不 妨 设 an ,bn 是一列闭区间,满足如下两个条件:1) an 1, bn1 an , bn ，n1,2,L ,2)设 lim( bnan )0 .则n0amanbn an0(n) , 所以数列 an 是一基本数列 . 从而由柯西收敛准则得 : lim anlim

24、bn lim( bnanan )lim( bnan ) lim an.nnnnn由于数列 an 单调增加 , 数列 bn 单调减少 , 可知是属于所有闭区间 an ,bn ( n 1,2,L ) 的唯一实数 , 从而区间套定理得证 . 下面证明闭区间套的公共点是唯一的若()也属于所有的闭区间 an ,bn , 则 0ba, 当nnn时 ,lim( bnan )0 , 这与闭区间套的条件矛盾, 即区间套的n公共点是唯一的 .四 . 用柯西收敛准则证明单调有界定理证设 an为一递增且有上界M的数列用反证法（借助柯西准则）可以证明：倘若 an无极限，则可找到一个子列 an k 以为广义极限，从而与

25、an 有上界相矛盾现在来构造这样的 an k 对于单调数列 an ，柯西条件可改述为： “0, NN + , 当 nN 时，满足 | anaN|”这是因为它同时保证了对一切nmN ，恒有| anam | | anaN |倘若 an 不收敛，由上述柯西条件的否定陈述：0 0，对一切 NN ，n N ，使| anaN | anaN0 依次取N11, n1N1, 使 an a10；1N 2n1, n2N 2 , 使 anan0；21L LN knk 1, nkN k, 使 anan0.kk 1把它们相加 , 得到anka1k 0 故当 kMa1 时，可使 ankM ，矛盾所以单调有界数列 an 必定

26、有极限0确界原理对其它定理的证明一 . 用确界原理证明柯西收敛准则证必要性是常规证法 , 故从略 . 只证充分性 .1 构造非空有界数集 S , 因为欲证明数列 xn 收敛，故数集 S 必须含有数列 xn 中的无限多个数 , 为此，令S = x |(-,x ) I xn 是空集或有限点集 ;2 由于满足柯西收敛准则充分条件的数列是有界的, 故知数列 xn 的下界a S , 上界 b 也是 S 的上界 . 所以 S 是非空有上界的数集 . 由确界原理数集 S 有上确界 =sup S ;3 对>0, (-,) I xn 是无限点集 , 否则 , 就与=sup S.矛盾.因(-, +) I x

27、n 至多含有 xn 的有限多个点 . 故 (- , +) 含有 xn的无限多个点 .设 xnk( - , + ),k= 1,2, K , 且 n1 < n2<K.取N1 =maxN, n1 ,则当 n> N1 时 , 总存在 nk > N1 使|xn - | xn - xnk | + | xnk - |<2因此 lim xn =x.二 .用确界原理证明闭区间套定理证存在唯一的实数使得an ,bn (n =1,2,)令 S = xn 显然 S 非空且有上界 ( 任一 bn 都是其上界 ) 据确界原理 , S 有上确界 . 设 sup S =现在证明 属于每个闭区间a

28、n ,n(n=1,2, )显 然ban(n =1,2,),所以只需证明对一切自然数n , 都有bn .实事上 ,对一切自然数 n ， bn 都是 S 的上界 ,而上确界是上界中的最小者, 因此必有bn , 故证明了存在一实数使得 an , bn (n =1,2, ).三 . 用确界原理证明聚点定理证设 S 为有界无限点集。构造数集E x E中大于 x的点有无穷多个 . 易见数集 E 非空有上界 , 由确界原理 , E 有上确界 . 设sup E . 则对0 ,由不是 E的上界 ,E 中大于的点有无穷多个 ; 由是 E的上界 ,E 中大于的点仅有有限个 . 于是 , 在 (,)内有 E的无穷多个

29、点 , 即 是 E 的一个聚点 .四 . 用确界原理证明单调有界定理证设 xn 单调上升 ,即 x1x2x3 LxnL有上界 ,即 M ,使得 xnM .考虑集合Exn n,它非空 有界推出它有上确界,记为asup xn .我N,nN们验证 alim xn .n0,由上确界的性质 ,N ,使得 axN ,当 nN 时 ,由序列单调上升得 axNxn , 再由上确界定义 , xnaa,有 axna,即xna,也就是说 lim xnasup x .nnn N同理可证若 x 单调下降有下界 也存在极限,且lim xinf xn .n,nnnN若集合 E 无上界 ,记作 sup E；若集合 E 无下界

30、 ,记作 inf E,这样一来,由于单调上升（下降） 有上界（下界）的序列 xn ,必有极限 sup x(inf xn ) 的nn Nx N定理现在有了严格的理论基础了.且对单调上升（下降）序列 xn ,总有. lim xnsup xn (inf xn )nx Nn N证闭 .聚点定理对其它定理的证明一 . 用聚点定理证明区间套定理证设 S = an U bn .则 S 是有界无限点集 . 由聚点定理得数集 S 聚点 .若存在一个N,n> aN>( n=1,2, L ).再取=1 (aN- ),由na使 b2a 的单调性 , 当 n>N时, an >aN >+ .

31、这样,(-,+ )内至多有 S中的有限多个点 . 这与 是聚点矛盾 , 于是得到an ( n=1,2,L).同理可证 ,( n=1,2,L). 因此,有I an ,bn .n1唯一性的证明从略 .二 . 用聚点定理证明柯西收敛准则证设xn 是一 列 柯西列，则知 xn 是有界的 . 若 xn 中只有有限 多个项不相同 , 那么必有一项譬如 xn0出现无限多次 ,这时 就得到 xn 的一个收敛的子列 xnk .又因为 xn 是柯西列，故对>0，存在自然数 N ,当n >m > N 时 xn - xm< .特别地 ,当 n > N , k > N 时由于 nk &g