(完整word)数列题型及解题方法归纳总结,推荐文档

1、文德教育知识框架求和公式及性质， 掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可数列的分类能在高考中顺利地解决数列问题。数列函数角度理解一、典型题的技巧解法数列的通项公式1、求通项公式的概念数列的递推关系（ 1）观察法。（2）由递推公式求通项。等差数列的定义anand ( n2)1对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等等差数列的通项公式ana1 ( n1)d差数列或等比数列问题。等差数列Snn( a1an )na1n(n1)d(1) 递推式为 an+1=an+d 及 an+1=qan（d， q 为常数）等差数列的求和公式22例 1、已知 a 满足 a =a +2，

2、而且 a =1。求 a 。nn+1n1n等差数列的性质an am a p aq ( mn pq)例 1、解an+1-a n =2 为常数 a n 是首项为 1，公差为 2 的等差数列两个基annnq( n2) a =1+2（ n-1 ）即 a =2n-1等比数列的定义本数列an1例 2、已知 an 满足 an 11 an ，而 a12 ，求 an =？等比数列的通项公式ann1a1 q2等比数列a1an qa1 (1qn )1)数列Sn1q1( q等比数列的求和公式qna1 ( q1)等比数列的性质an amap aq ( mnpq)公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累

3、积归纳猜想证明分期付款数列的应用其他（ 2） 递推式为 an+1=an+f （n）例 3、已知 an 中 a1a1，求 an .， an 112n4n21解： 由已知可知 an 1an(2n11 (11)1)( 2n 1)22n1 2n1令 n=1， 2，（ n-1 ），代入得（ n-1 ）个等式累加，即（a2-a 1） +（ a3-a 2） +（ a -an-1）n掌握了数列的基本知识， 特别是等差、等比数列的定义、 通项公式、1文德教育anbn3( 1 ) n2( 1) nana11 (11)4n32n2322n14n2 说明只要和f （ 1） +f （ 2） + +f （ n-1 ）是可

4、求的，就可以由an+1=an+f （ n）以 n=1，2，（ n-1 ）代入，可得n-1 个等式累加而求an。(3) 递推式为 an+1=pan+q（ p， q 为常数）例 4、 an 中， a11 ，对于 n 1（ n N）有 an3an 12 ，求 an .解法一： 由已知递推式得 an+1=3an+2，an=3an-1 +2。两式相减： an+1-a n=3（ an-a n-1 ）递推式为 an 2pan 1qan因此数列 a-a 是公比为3 的等比数列，其首项为(5)n+1a -a =（ 3× 1+2）-1=4n21a-a=4· 3n-1 3an-1即 an-1-1

5、 a =3a +2n+2-a =4·3n=2·3n+1nn+1nn思路：设 an 2pan 1qan , 可以变形为： an 2an 1(an 1an ) ，解法二： 上法得 a n+1-a n 是公比为 3 的等比数列， 于是有： a2-a 1=4，a3-a 2=4·3，a4-a 3 =4· 32， an-a n-1 =4· 3n-2 ，把n-1个等式累加得： an=2· 3n-1-1想于是 a n+1- an 是公比为的等比数列，就转化为前面的类型。(4) 递推式为 an+1=p a n+q n （ p， q 为常数）求an 。b

6、n 1bn2 (bn bn 1 )由 上 题 的 解 法 ， 得 ： bn3 2( 2) n332文德教育数列求和的常用方法：(6) 递推式为 Sn 与 an 的关系式关系；（ 2）试用 n 表示 an。Sn 1Sn(an an 1 ) (11)2 n 22n11 anan1an 1112 n 1an 12 an2n2n+1 得 2n+1an+1=2nan+2 则 2 nan 是公差为上式两边同乘以2 的等差数列。 2nan= 2+ （ n-1 ）·2=2n1、拆项分组法 ：即把每一项拆成几项，重新组合分成几组，转化为特殊数列求和。2、错项相减法 ：适用于差比数列（如果an 等差，

7、bn 等比，那么 anbn叫做差比数列）即把每一项都乘以 bn的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和。3、裂项相消法 ：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。适用于数列1和1（其中an 等差）an 1ananan1可裂项为：11 ( 11 ) ，an an 1d anan 111( an 1an )anan 1d等差数列前 n 项和的最值问题 ：3文德教育1、若等差数列a的首项 a1 0 ，公差 d0，则前 n 项和 Sn 有最大值。n（）若已知通项an0；an ，则 Sn 最大0an 1（）若已知Snpn2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然

8、数时Sn 最2 p大；2、若等差数列an的首项 a1 0 ，公差 d0 ，则前 n 项和 Sn 有最小值（）若已知通项an0；an ，则 Sn 最小0an 1（）若已知Snpn2qn ，则当 n 取最靠近q的非零自然数时Sn 最2 p小；an (anan 1 ) (an 1 an 2 ) L (a2 a1 )a1 (n2) 。已知 an 1f (n) 求 an ，用累乘法 ： ananan 1La2 a1 (n 2) 。anan 1an 2a1已知递推关系求an ，用构造法 （构造等差、等比数列）。特别地 ，（1）形如 an kan 1 b 、 ankan 1 bn （ k ,b 为常数）的递

9、推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列 后，再求 an ；形如 an kan 1 k n 的递推数列都可以除以k n 得到一个等差数列后，再求an 。（ 2）形如 anan1的递推数列都可以用倒数法求通项。kan 1b（ 3）形如 an1ank 的递推数列都可以用对数法求通项。数列通项的求法：公式法 ：等差数列通项公式；等比数列通项公式。 已 知 Sn（ 即 a1a2 Lan f (n) ） 求 an，用作差法：anS1 ,( n 1)。Sn Sn 1,( n2)f (1),( n1)已知 a1 ga2 gLganf (n) 求 an ，用作商法： anf (n),( n2)。f

10、(n1)已知条件中既有Sn 还有 an ，有时先求 Sn ，再求 an ；有时也可直接求an 。若an 1anf (n)求an用累加法：（ 7）（理科） 数学归纳法 。（ 8）当遇到 an 1an 1 d或 an1q 时，分奇数项偶数项讨论，结果可an1能是分段形式 。数列求和的常用方法：（ 1）公式法 ：等差数列求和公式；等比数列求和公式。（ 2）分组求和法 ：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式” 中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和。（ 3）倒序相加法 ：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是4文

11、德教育等差数列前n 和公式的推导方法）.（ 4）错位相减法 ：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成， 那么常选用错位相减法 （这也是等比数列前 n 和公式的推导方法） .（ 5）裂项相消法 ：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：11)11 ； 11(1n1) ；n( nn n1n(nk )knk11111)，k 2k 21(k1k2111111k11 ；k k 1 ( k 1)kk2( k 1)k1 kn( n12)1 11)(n12) ；n1)!11；1)(n2n(n1)(n( nn!(n1)!

12、 2(n1n )2122(nn1)nn1nnn1二、解题方法：求数列通项公式的常用方法：1、公式法2、 由 Sn 求 an（ n 1时， a1S1， n2时， anSnSn 1）3、求差（商）法如： a n满足 1 a11a21an 2n 5122 22n解： n 1时，1 a121， a11425n 2时，1a11a21an 12n 1 522n 12212得： 1n an22 an2 n 1an14( n1)2n 1(n2)练习数列 an满足 SnSn 15 an 1 ， a14，求 an3（注意到 a n1 Sn 1 Sn 代入得： Sn 14Sn又S1 4， Sn是等比数列， Sn4n

13、n 2时， a nSnSn 1 3· 4 n 14 、叠乘法例如：数列an中， a， an 1n，求an13n 1an解： a2· a3 an1 · 2 n 1 ， ana1a2an 12 3na13又 a13， ann5 、等差型递推公式21n5由 anan1f (n) ， a1a0 ，求 an ，用迭加法n2时， a2a1f (2)a3a2f (3)两边相加，得：anan 1f (n)ana1f (2)f (3) f (n) ana0f ( 2)f (3) f ( n)练习数列 an， a1， ann 1an1n2，求 an13（ an13n1 ）26、等比型

14、递推公式ancan 1dc、 d为常数， c0， c1， d0可转化为等比数列，设anxc an 1xa nca n1c1 x令 (c 1) xd， xdc1 and是首项为 a1d， c为公比的等比数列c1c1文德教育 ancda1d· c n 11c1 ana1cdc n 1cd11练习数列 an满足 a19， 3an 1 an4，求 an4n 1（an1）837 、倒数法例如： a， an12an，求an11a n2由已知得：1an211an 12an2an 111an1an21为等差数列， 1，公差为 1ana11211 n 1 · 11n 1an226文德教育2

15、a nn12数列求和问题的方法（ 1）、应用公式法等差、等比数列可直接利用等差、等比数列的前n 项和公式求和，另外记住以下公式对求和来说是有益的。（ 2）、分解转化法对通项进行分解、组合, 转化为等差数列或等比数列求和。【例 9】求和 S=1·（n2-1 ） + 2 ·（ n2-2 2） +3·（ n2-3 2） + +n（ n2-n 2）解 S=n 2（ 1+2+3+ +n） - （ 13+23+33+ +n3 ）1 35 (2n-1)=n2（ 3）、倒序相加法适用于给定式子中与首末两项之和具有典型的规律的数列，采取把正着写与倒着写的两个和式相加，然后求和。【例

16、 8】 求数列 1，（ 3+5），（ 7+9+10），（ 13+15+17+19），前 n 项的和。解本题实际是求各奇数的和，在数列的前n 项中，共有 1+2+ +n= 1 n(n1)2个奇数，最后一个奇数为：1+ 1 n(n+1)-1×2=n2+n-12因此所求数列的前n 项的和为例 10、求和： Sn3Cn16Cn2L3nCnn例 10、解 Sn0 ? Cn03Cn16Cn2L 3nCnn S n=3n· 2n-1（ 4）、错位相减法如果一个数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘构成的，可把和式的两端同乘以上面的等比数列的公比，然后错位相减求和例 11、 求数列

17、1，3x， 5x2, ,(2n-1)xn-1 前 n 项的和解n2+ +(2n-1)xn-1设 S =1+3+5x7文德教育(2)x=0时， Sn=1(3) 当 x0 且 x 1 时，在式两边同乘以n23nx 得 xS =x+3x+5x + +(2n-1)x， - ，得 (1-x)S n=1+2x+2x2 +2x3+ +2xn-1 -(2n-1)xn注：在消项时一定注意消去了哪些项，还剩下哪些项，一般地剩下的正项与负项一样多。在掌握常见题型的解法的同时， 也要注重数学思想在解决数列问题时的应用。(5) 裂项法：二、常用数学思想方法把通项公式整理成两项( 式多项 ) 差的形式，然后前后相消。1函

18、数思想常见裂项方法：运用数列中的通项公式的特点把数列问题转化为函数问题解决。【例 13】等差数列 a 的首项 a 0，前 n 项的和为 S ，若 S =S（ l k）问 nn1nlk为何值时Sn 最大？1111例 12、求和3 ?75?9L1?5(2 n 1)(2n 3)此函数以 n 为自变量的二次函数。a1 0S l =Sk（ l k）， d 0 故此二次函数的图像开口向下 f （l ） =f （k）82方程思想【例 14】设等比数列a n 前 n 项和为 Sn，若 S3+S6=2S9，求数列的公比q。分析本题考查等比数列的基础知识及推理能力。解依题意可知q 1。如果 q=1，则 S3=3a

19、1，S6=6a1，S9=9a1。由此应推出a1=0 与等比数列不符。 q 1整理得363） =0q 0q （ 2q -q -1此题还可以作如下思考：33） S336S =S +q S =（ 1+qS =S +q S =S （ 1+q +q ），6333。 9363由 S3+S6 =2S9 可得 2+q3=2（ 1+q3+q6）， 2q6+q3=03换元思想【例 15】已知 a，b， c 是不为 1 的正数， x， y， z R+，且求证： a， b，c 顺次成等比数列。证明依题意令xyza =b =c =k文德教育 x=1og ak， y=log bk， z=log ck b2=ac a， b， c 成等比数列（ a， b，c 均不为