(完整版)必修四平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(附答案)VIP

1、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 学习目标 1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算 .2.能根据向量的坐标计算向量的模， 并推导平面内两点间的距离公式 .3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直知识点一平面向量数量积的坐标表示若 a (x1， y1)， b (x2，y2)，则 abx1x2 y1y2.即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和思考已知两个非零向量a (x1，y1)， b (x2，y2 )，怎样用 a 与 b 的坐标表示ab？上述结论是怎样推导的？答案推导： a x1i y1 j， b x2i y2 j， ab (x1i y1

2、 j) (x2i y2 j) x1x2i 2 x1y2 ijx2y1 ji y1y2 j2.又 i i 1， jj1， i j ji0， ab x1x2y1y2.知识点二平面向量的模2 2(1) 向量模公式：设 a (x1， y1)，则 |a| x1 y1.(2) 两点间距离公式：若 A(x1， y1)， B(x2， y2)，212 y21 2则|AB|xy.x思考设 A(x1， y1)， B( x2， y2)为平面内任意两点，试推导平面内两点间的距离公式答案推导： AB OB OA ( x2， y2) (x1， y1) ( x2 x1， y2 y1)，x2 x12 y2 y12.|AB|知识

3、点三平面向量夹角的坐标表示设 a， b 都是非零向量， a (x1， y1)， b (x2， y2)， 是 a 与 b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得：cos ab x1 x2 y1y22222.|a|b|x1 y1 x2 y2特别地，若a b，则有 x1x2 y1y2 0；反之，若x1x2 y1y2 0，则 a b.思考(1)已知向量a ( 2,1)， b (1， x)， a b 则 x _.(2) 若 a(3,0) ，b ( 5,5)，则 a 与 b 的夹角为 _(3) 已知 A(1,2)， B(2,3)， C( 2,5)，则 ABC 的形状是 _三角形3答案(1)2(2)4

4、(3) 直角题型一平面向量数量积的坐标运算例 1 已知 a 与 b 同向， b (1,2) ， ab10.(1) 求 a 的坐标；(2) 若 c (2， 1)，求 a(bc)及 (ab)c.解 (1)设 a b( ， 2) (0) ，则有 ab4 10， 2， a (2,4)(2) bc1 2 2 1 0，ab1 2 2 4 10， a(bc)0a 0，(ab)c 10(2， 1) (20， 10)跟踪训练 1 已知 a ( 3， 2)， b( 4， k)，若 (5a b) (b 3a) 55，试求 b 的坐标解 a ( 3， 2)， b(4， k)， 5a b ( 11， 10 k)b 3a

5、 (5， k6)， (5a b) (b 3a) ( 11， 10k) (5， k6) 55 (k 10)(k 6) 55， ( k10)( k6) 0， k 10 或 k 6， b ( 4， 10)或 b ( 4， 6)题型二 平面向量的夹角问题例2已知角； (2)a 与a (1,2)， b (1，)，分别确定实数的取值范围，使得：b 的夹角为钝角；(3) a 与 b 的夹角为锐角(1) a与b 的夹角为直解设 a 与 b 的夹角为，则 ab(1,2) ，(1) 1 2.(1) 因为 a 与 b 的夹角为直角，所以cos 0，1所以 ab0，所以 1 2 0，所以 2.(2) 因为 a 与 b

6、 的夹角为钝角，所以所以 ab0 且 a 与 b 不反向cos 0且cos 1，由 ab0 得 1 20，故 0 且 a， b 不同向cos 0 ，且cos 1，由 ab0，得 1，由 a 与 b 同向得 2. 2所以 的取值范围为1， 2 (2， )2跟踪训练 2 已知 a (1， 1)， b (，1)，若 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的取值范围解 a (1， 1)， b (， 1) ，2|a|2，|b|1 ，ab 1.a， b 的夹角 为钝角 10 ，1，即222 1 0.2 1，1 0，由b 的夹角为 ，要使 为锐角，求 的取值范围ab |a|b|cos 知，只需 ab0，即 1 2

7、 30，即2 3.错因分析本题误以为两非零向量a 与 b 的夹角为锐角等价于ab0，事实上，两向量的夹角 0， ，当 0 时，有 cos 10 ，对于非零向量的夹角为锐角的等价条件是ab0 且 a 不平行于 b.a 与b 有ab0. 两非零向量a 与b正解由 为锐角， 得 cos 0 且 0，由 ab |a| |b|cos ，而 |a|、|b|恒大于 0，所以 ab0 ，即 1 2 30，即 23；若 a b，则 1 2 30，即 6，但若 a b，则 0 或 ，这与 为锐角相矛盾，所以 6.2综上， 3且 6.1已知 a (3， 1)， b(1 ， 2)，则 a 与 b 的夹角为 ()A.

8、6B.4C.3D. 22已知向量 a (1， n)， b ( 1， n)，若 2a b 与 b 垂直，则 |a|等于 ()A 1B. 2C 2D 43已知向量 m ( 1,1)， n ( 2,2)，若 (m n) (m n)，则 等于 ()A 4B 3C 2D 14已知平面向量a (2,4)， b ( 1,2)，若 c a (ab)b，则 |c| _.5已知 a (4,3) ，b ( 1,2)(1) 求 a 与 b 的夹角的余弦；(2) 若 (a b)(2a b)，求实数 的值一、选择题1已知向量 a ( 5,6)， b (6,5)，则 a 与 b()A 垂直B 不垂直也不平行C平行且同向D平

9、行且反向2已知 a ( 3,2)， b ( 1,0)，向量 a b 与 a2b 垂直，则实数 的值为 ()1111A 7B. 7C 6D.63平面向量 a 与 b 的夹角为60， a (2,0) ， |b| 1，则 |a 2b|等于 ()A. 3B2 3C 4D 12 )4已知 OA ( 2,1)， OB(0,2)，且 AC OB，BC AB，则点 C 的坐标是 (A (2,6)B ( 2， 6)C (2,6)D ( 2,6)5已知向量 a (2,1)， ab10， |a b|52，则 |b|等于 ()A. 5B. 10C 5D 256已知向量a (1,2)， b(2， 3)若向量c 满足 (

10、c a) b， c (a b)，则 c 等于 ()A.7，7B. 7，79339C.7， 7D. 7，73993二、填空题7已知 a (3， 3) ，b (1,0)，则 (a 2b) b_.8若平面向量 a (1， 2)与 b 的夹角是180 ，且 |b| 45，则 b_.9若 a (2,3)， b ( 4,7)，则 a 在 b 方向上的投影为 _10 设 a (2 ， x) ， b ( 4,5) ，若 a与 b 的夹角 为钝角，则x 的取值范围是_ 三、解答题 (2,3)k 的值， AC (1， k)，若 ABC 是直角三角形，求11在 ABC 中， AB12已知平面向量a (1， x)，

11、b (2x 3， x)( x R )(1) 若 ab，求 x 的值；(2) 若 ab，求 |a b|.13已知三个点A(2,1) ，B(3,2) ， D( 1,4)，(1) 求证： AB AD；(2) 要使四边形 ABCD 为矩形，求点 C 的坐标并求矩形 ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值当堂检测答案1答案 B解析 |a|10，|b|5，ab 5.cos a， b ab52|a|b|10 52 .又 a， b 0， ，a 与 b 的夹角为 4.2答案C解析 (2a b) b2ab |b|2 2( 1 n2) (1 n2) n2 3 0， n 3. |a| 12 n2 2.3答案B解析因为

12、mn (2 3,3)， m n ( 1， 1)，由( m n) (m n) ，可得 (mn) (m n) (2 3,3) (1， 1) 2 6 0，解得 3.4答案82解析 a (2,4)， b ( 1,2)， ab 2 ( 1) 4 2 6， c a 6b， c2a2 12ab 36b2 20 126 36 5 128. |c| 8 2.5 解(1) ab 4 ( 1) 3 2 2，|a|42 32 5， |b|1 2225，cos ab 22 5|a|b|5525 .(2) ab (4 ，3 2)， 2a b (7,8)，又( a b) (2a b)，( a b) (2a b) 7(4 )

13、 8(3 2) 0， 529.课时精练答案一、选择题1答案A解析ab 5 6 6 5 0， a b.2答案A解析由 a ( 3,2)， b (1,0)，知 a b (3 1,2)，a 2b ( 1,2)又( a b) (a2b) 0，13 1 4 0， 7.3答案B解析a (2,0) ， |b| 1， |a| 2， ab 2 1 cos 60 1. |a 2b| a2 4 ab 4b2 2 3.4 答案D解析设 C(x， y)，则 AC (x 2， y 1)，BC (x， y 2)， AB (2,1)由AC OB， BC AB，得 2 x 2 0，x 2，2x y 20，解得y 6.点 C 的

14、坐标为 ( 2,6)5答案C解析 |ab| 52， |a b|2 a2 2ab b2 5 2 10 b2 (5 2)2，|b| 5.6答案D解析设 c(x，y)，则 c a(x 1， y 2)，又( ca) b， 2(y2) 3(x 1) 0.又 c (a b)， (x， y) (3， 1) 3xy 0.7 7解得 得 x 9，y 3.二、填空题7答案1解析a 2b (1，3)，(a 2b) b1 13 01.8 答案 ( 4,8)解析由题意可设 b a (， 2)， 0，2222则|b| 4 5 80， 4，b 4a (4,8)9 答案655解析设 a、 b 的夹角为 ，则 cos 2 4 375，22 324 2725故 a 在 b 方向上的投影为565|a|cos 13 55 .ab或直接根据|b| 计算 a 在