(完整版)等差数列知识点总结及练习VIP

1、等差数列【知识点】1等差数列的定义 ：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数， 这个数列就叫做等差数列， 这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“ d”表示）公差 d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 an , 若 an an 1 =d ( 与 n 无关的数或字母 ) ，n2，nN ，则此数列是等差数列，其中d 为公差2等差数列的通项公式： an a1 (n 1)d【或 anam( n m)d 】 d= amanmn3等差中项如果三个数 x，A，y 组成等差数列，那么A 叫做 x 和 y 的等差中项，如果A 是 xxy和 y 的等差中项，则

2、A2.4等差数列的前 n 项和公式n(a1an )Snn(n 1)d1：Sn2na12 ：2公式二又可化成式子：Snd n 2(a1d )n22，当 d0，是一个常数项为零的二次式5. 性质：等差数列 an 中，公差为 d，若 d0，则 an 是递增数列；若 d=0，则 an 是常数列；若 d0，则 an 是递减数列（ 1） an 是等差数列，若 m n p qamanapaqa1an a2 an 1 ar an r 1（ 2）若 p， q， r成等差数列， ap ， aq ， ar 也成等差数列。（ 3）公差为 d的等差数列 an 中，其子系列 ak ， ak m ， ak 2 m ， (

3、m N ) 也成等差数列，且公差为md。（ 4）公差为 d的等差数列 an 中，连续相同个数的项的和也成等差数列，即 Sm， S2 m Sm ， S3m S2m ，也成等差数列，其公差为 m 2d 。1（ 5）等差数列的前 n 项和的性质：若项数为 2n n*，则 S2nn anSSndS奇an，an 1 ，且 偶奇S偶an 1若项数为 2n 1 n*，则 S2 n12n1 an ，且 S奇S偶an ， S奇nS偶n 1（其中 S奇na n ， S偶n1 an ）6. 充要条件的证明 ：an 1and2a n1anan2andnc （关于 n的一次函数）an 为等差数列Snan2bn （ a、

4、 b为常数，是关于 n的常数项为 0的二次函数）d0递增数列d0常数列d0递减数列7、最值问题在等差数列 an 中， a1 0， d 0，则 Sn 存在最大值，若a1 0， d 0，则 Sn 存在最小值一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前 n 项和公式：Sna1 a2 a3 an，Snan an 1 a1，n a1 an.得： Sn2【对应练习】题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用）1、. 等差数列 a n 的前三项依次为 a-6 ， 2a -5 ， -3a +2，则 a等于（ )A.-1 B.1 C.-2 D. 22在数列 a 中， a =2， 2a=2a +1，则 a的值为（）n1n

5、+1n101A49B50C51D 523等差数列 1， 1， 3， 89 的项数是（）A92B47C46D454、已知等差数列 a 中，a7a916, a41,则a12的值是()nA 15B 30C 31D 645. 首项为 24 的等差数列，从第 10 项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A. d 8B.d3C.8 d3D.8 d 333326、. 在数列 an 中， a13，且对任意大于1 的正整数 n ，点 (an,an 1 ) 在直x y3 0上，则 an =_.7、在等差数列 a n 中， a5 3，a6 2，则 a4a5 a108、等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a

6、21, a33,则 S4 （）（A）12（B）10（C）8（D）69、设数列 an的首项 a17,且满足 a n 1an 2( n N ) ，则 a1a2a17_.10、已知 a n 为等差数列， a3 + a 8 = 22 ，a6= 7 ，则 a5= _11、已知数列的通项 an= -5n+2, 则其前 n 项和为 Sn=.12、设Sn为等差数列an的前n项和，S4，30，则S9.14 S10 S7题型二、等差数列性质1、已知 an为等差数列， a2+a8=12, 则 a5 等于（）(A)4(B)5(C) 6(D)72、设 Sn 是等差数列 an的前 n 项和，若 S735 ，则 a4（）A

7、8B 7C 6D 53、 若等差数列 an中， a3a7a108, a11a44, 则 a7_.4、记等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，若 S24 ， S4 20 ，则该数列的公差 d=（ ）A7B. 6C. 3D. 25、等差数列 an 中，已知 a11 ， a2 a54 ， an33 ，则 n 为（）3（A）48（B）49a3（C）50（D）51则 n（）6.、等差数列an 中， a1=1,a5，其前 n 项和Sn=100,+=14=(A)9(B) 10(C)11(D)12n是等差数列 a na55则 S9（）7、设 S的前 n 项和，若,S5a39A 1B1C2 D128、已知等差

8、数列 a n 满足 1 2 3 1010 则有 ()A 0B 2 0C 0D 511101100399519、如果 a1 ， a2 ， a8 为各项都大于零的等差数列，公差d0，则()（ A）a1a8 a4 a5（ ）a8 a1a4a5（ ）a1 + a8a4 + a5（ ）a1 a8= a4 a5BCD10、若一个等差数列前3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（）（A）13 项（B）12 项 （C）11 项（D）10 项题型三、等差数列前 n 项和1、等差数列 an中，已知 a1a2a3 La10p ， an 9an 8L anq ，则其前 n

9、 项和 Sn32、等差数列2,1,4,的前 n 项和为（）A.134B.1n 3n7C.14D.1nn2n 3nn 3n 72223、已知等差数列an 满足 a1a2a3a990 ，则（）A.a1a990B.a1990C.a1a990D.a5050 ZXXKa4、在等差数列 an 中， a1a2a315, anan 1an278 ， Sn155 ，则 n。5、等差数列 an的前 n 项和为 Sn ，若 S22, S410, 则S6等于 （）A12B 18C 24D 426、若等差数列共有 2n1项nN*，且奇数项的和为，偶数项的和为，4433则项数为（）A. 5B. 7C. 9D. 117、

10、设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 S3 9， S636 ，则 a7a8 a98、 若两个等差数列an和 bn 的前 n 项和分别是 Sn， Tn ，已知 Sn7n，则 a5Tnn 3b5等于（） 7 2 27 21384题型四、等差数列综合题精选1、等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn. 已知 a1030, a2050.（）求通项an ；n=242，求 n.（）若 S2、已知数列 an 是一个等差数列，且 a21， a55 。（1）求 an 的通项an；（ ）求 an前n项和Sn的最大值。243、设 an为等差数列， Sn 为数列 an 的前 n 项和，已知 S77 ，S15

11、75， Tn 为数列 Sn的前 n 项和，求 Tn 。n4、已知 an 是等差数列， a12 ， a318 ； bn 也是等差数列， a2 b24 ，b1 b2 b3 b4 a1 a2 a3 。（ 1）求数列 bn 的通项公式及前 n 项和 Sn 的公式；（ 2）数列 an 与 bn 是否有相同的项？ 若有，在 100 以内有几个相同项？若没有，请说明理由。5、设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数，前 n 项和为 Sn.( ) 若 a11=0, S14=98, 求数列 an的通项公式；( ) 若 a1 6，a110，S1477，求所有可能的数列 an的通项公式 .56、已知二次

12、函数 yf ( x) 的图像经过坐标原点，其导函数为f ' ( x) 6x2，数列 an 的前 n 项和为 Sn ，点 ( n, Sn )( n N ) 均在函数 y f (x) 的图像上。 ( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 设 b n3, Tn 是数列 bn 的前 n 项和，求使得 Tnm 对所有 nN都成an an 120立的最小正整数m；【课后练习】1、等差数列 an 的前三项依次为 x ， 2x1 ， 4 x2 ，则它的第5 项为（）A、 5x 5B 、 2x1C、 5D、42、设等差数列 an 中， a45, a917 , 则 a14的值等于（）A、11B、 22C、

13、29D、 123 、 设an是公差为正数的等差数列，若 1231 2 3a a a15 ， a a a 80 ，则a11 a12a13()A120B105C90D754、若等差数列 an 的公差 d0 ，则（）（ A） a2 a6a3a5（B） a2 a6a3a5（ C） a2 a6a3a5（D） a2 a6与 a3a5 的大小不确定5、 已知 an满足，对一切自然数 n 均有 an 1an ，且 ann2n 恒成立，则实数 的取值范围是（）00036、等差数列an 中， a11, 公差 d0, 若 a1 , a2 , a5成等比数列，则 d 为 （）(A) 3(B)2(C)2(D)2或 27

14、、在等差数列an中， a pq, aqp( pq) ，则 apq（）A、 p qB、 ( pq)C、 0D、 pq68、设数列 an是单调递增的等差数列，前三项和为12，前三项的积为48，则它的首项是（）A、1B、2C、4D、 89、已知为等差数列， a1a3a5105, a2a4a699 ，则 a20 等于（）A. -1B. 1C. 3D.710、已知 an为等差数列，且 a7 2 a4 1,a3 0, 则公差 d（）A.2B. 1C.1D.222、在等差数列 a中，a2a84,则 其前9项的和9 等于（）11nSA18B 27C 36D 912、设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn ，

15、若 S39 ，S636，则 a7a8 a9（）A63B45C 36D2713、数列 an是等差数列，它的前n 项和可以表示为（）A. SnAn2BnCB.SnAn 2BnC. SnAn2BnC a0D.SnAn 2Bna014、在等差数列 an中， a1a2a315, anan1an 278 ， Sn 155 ，则 n。15、在等差数列 a n 中， an=m，an+m=0，则 am= _ _ 。16、 在等差数列 a 中， a +a +a +a =20，则 S = _。n4710131617、 在等差数列 a n 中， a1+a2+a3+a4=68，a6+a7+a8 +a9+a10=30，则

16、从 a15 到a30 的和是 _ 。18、 已知等差数列110 ， 116 ， 122 ， ，则大于 450 而不大于 602 的各项之和为 _ 。19、 已知等差数列 a n 的公差 d=，前 100 项的和 S100=145求： a 1+a3+a5+ +a99 的值。720、 已知等差数列 a n 的首项为 a，记(1) 求证： b n 是等差数列(2) 已知 a n 的前 13 项的和与 b n 的前 13 的和之比为 3 ：2，求b n的公差。21、在等差数列 a n 中， a1=25， S 17=S9(1) 求 a n 的通项公式(2) 这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。22、等差数列 a n 的前 n 项的和为 Sn，且已知 Sn 的最大值为 S99，且 |a 99| |a 100|求使 Sn 0 的 n 的最大值。8【思考题】例 1已知两