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文档简介

1、2009 年秋季学期泛函分析课程试卷B 卷（开卷考试）（适用专业： 06 级数学与应用数学）卷面总分 100 分一、填空题（本题共10 分，每小题 2 分）1。如果度量空间X 有一个可数的（），则称 X 是可分空间。2。完备度量空间X 的子空间 M 是完备空间的充要条件为（）。3。（ X ， d1 ），（ Y， d2 ）是两个度量空间，如存在X 到 Y 上的映射 T，满足（），则称（ X ， d1 ）和（ Y ， d2 ）等距同构。4。线性赋范空间Lp a,b ，若 fLp a,b ，则 f 的范数f p =（）。5。 l p (1 p) 的共轭空间为（）。二、判断题（本题共 10 分，每小题

2、 2 分）1。任何线性赋范空间的共轭空间是Banach 空间。（）2。设 Y 是 Hilbert 空间 X 的闭子空间，则成立 YY。（）3。若 X 是非空的完备度量空间，则X 是第一纲集。（）4。算子的一致收敛可导出强收敛，强收敛可导出弱收敛。（）5。有界闭集一定是紧集。（）三、证明题（本题共60 分）1。若 x( xn )l p , y( yn )l q ，用 Holder2。设 T 是线性赋范空间X 到线性赋范空间Y 的线性算子，不等式证明Minkowski不等式成立。则 T 为有界算子的充要条件为T 是 X 上的连续算子。第1页共3页3。叙述并证明共鸣定理（一致有界性定理）。4。叙述并证明压缩映射定理。5。设 X 是 Hilbert 空间，f 是 X 上的连续线性泛函，那么6。设 X 是内积空间，M 是 X 中非空凸集，并且按X 中由存在唯一的zX ，使对每个xX ，有 f ( x)x, z，并且内积导出的距离完备，那么对于每个xX ，存在唯一的fz 。yM ，使得xyd ( x, M ) 。第2页共3页四、论述题（本题共20 分）

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