(完整word版)泛函分析知识总结汇总,推荐文档

1、泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容： 一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是 n 维欧氏空间Rn（有限维空间） 的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。1度量定义： 设 X 是一个集合， 若对于 X 中任意两个元素x，y, 都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1° d(x,y) 0 ， d(x,y)=

2、0x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x)（对称性）3°对z ，都有 d(x,y) d(x,z)+d(z,y)（三点不等式）则称 d(x,y)是 x、 y 之间的 度量或距离 （ matric或 distance），称为 (X,d)度量空间或距离空间( metric space) 。（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意 : 定义在 X 中任意两个元素x， y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、 2°、 3°都称为度量。这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述 X 中两个事物接近的程度，而条件1

3、6;、 2°、 3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数 d1 和 d2 ，则我们认为 (X,d1 ) 和 (X,d2 ) 是两个不同的度量空间。 集合 X 不一定是数集，也不一定是代数结构。为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点”，例如若 xX ，则称为“ X 中的点”。 在称呼度量空间(X,d) 时可以省略度量函数d，而称“度量空间X” 。1.1 举例11.11 离散的度量空间：设X 是任意的非空集合，对X 中任意两点x,y X，令1，当 xyd x，y =0，当

4、x=y，则称（ X，d）为离散度量空间。1.12序列空间 S：S 表示实数列（或复数列）的全体，d(x,y) 1ii；i 1 2i1 ii1.13有界函数空间B(A) ： A 是给定的集合， B(A) 表示 A 上有界实值（或复值）函数全体，对 B(A) 中任意两点 x,y ，定义 d(x,y) sup x(t )y(t )tA1.14可测函数空间 M(X)：M(X)为 X 上实值（或复值）的 L可测函数全体。f (t )g(t )d(f,g)=dtx1f (t )g (t)1.15 Ca,b空间（重要的度量空间） ：Ca,b 表示闭区间 a,b 上实值（或复值） 连续函数全体，对 Ca,b

5、中任意两点 x,y ，定义d(x,y) max x(t )y(t )a tb1.16l 2 ：无限维空间 （重要的度量空间） 例 1.15 、1.16 是考试中常考的度量空间。2度量空间中的极限，稠密集，可分空间2.1x0 的领域：设（X， d）为度量空间，d 是距离，定义U ( x0 ,) x X d(x,x 0）为 x0 的以为半径的开球， 亦称为 x0 的领域。注：通过这个定义我们可以从点集这一章学到的知识来定义距离空间中一个点集的内点，外点，边界点及聚点，导集，闭包，开集等概念。2.2 度量空间的收敛点列：设 (X ，d) 是一个度量空间，xn是（ X，d）中点列 , 如果存在 xX

6、，xn收敛于 x ，使 lim xnx ，即 d ( xn , x)0(n) ，称点n列 xn 是（ X， d）中的收敛点列，x 叫做点列xn 的极限，且收敛点列的极限是唯一的。注： 度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。22.3 有界集：设 M是度量空间（ X， d）中的点集，定义(M ) supd (x, y) 为点集 M的直x , y M径。若(M ) ，则称 M为（ X， d）中的有界集。（类似于 Rn ，我们可以证明一个度量空间中收敛点列是有界点集）2.4 闭集：A 是闭集A 中任意收敛点列的极限都在A 中，即若A ，xxx,nn=1,2.n则 xA 。（要会证明）2

7、.5 举例2.5.1n维欧氏空间 Rn 中，点列依距离收敛 d (xk , x)0依分量收敛 。2.5.2Ca,b 空间中， 点列依距离收敛 d( xk , x)0依分量一致收敛 。2.5.3序列空间 S 中，点列依坐标收敛。2.5.4可测函数空间 M(X) ：函数列依测度收敛于f ，即 d ( fn , f )0f nf 。2.6 稠密子集和可分度量空间有理数集在实数集中的稠密性，它属于实数集中，现把稠密性推广到一般的度量空间中。定义：设 X 是度量空间， E 和 M是 X 的两个子集，令M 表示 M的闭包，如果E? M ，则称集 M在集 E 中稠密 ，当 E=X时，称 M为 X 的一个稠密

8、子集，如果 X 有一个可数的稠密子集，则称X为可分空间 。注： 可分空间与稠密集的关系：由可分空间定义知，在可分空间X 中一定有稠密的可数集。这时必有X 中的有限个或可数个点在X 中稠密。举例n 维欧式空间Rn 是可分空间：坐标为有理数的全体是Rn 的可数稠密子集。离散度量空间X 可分X 是可数集。（因为 X 中无稠密真子集，X 中唯一的稠密只有X 本身） l是不可分空间。数学知识间都有联系， 现根据直线上函数连续性的定义， 引进了度量空间中映射连续性的概念。3.连续映射3.1 定义 ：设 X=（ X，d） Y= （Y， d ）是两个度量空间，T 是 X 到 Y 中的映射 x0 ? X，如果3

9、对 >0， >0 ，使对 X 中一切满足 d（ x， x0 ）<的 x，有 d(Tx,Tx 0 )，则称 T 在 x0 连续。（度量空间之间的连续映射是数学分析中连续函数概念的推广，特别，当映射是值域空间Y R 时，映射就是度量空间上的函数。 ）注： 对于连续可以用定义证明，也可以用邻域的方法证明。下面用邻域描述：对T x0 的 -邻域 U，存在 x0 的某个邻域 V，使 TVU，其中 TV 表示 V 在映射 T 作用下的像。3.2定理 1：设 T 是度量空间（ X， d）到度量空间（ Y， d ）中映射，T 在 x0 X 连续 ? 当 xnx0 ( n) 时，必有 Txn

10、Tx0 (n) 。在映射中我们知道像与原像的概念，下面对原像给出定义。3.3原像的定义： 映射 T 在 X 的每一点都连续， 则称 T 是 X上的连续映射， 称集合 x x X，Tx? M? Y为集合 M在映射 T 下的原像，简记为 T 1M 。可见，对于度量空间中的连续映射可以用定理来证明，也可以用原像的定义来证明。3.4定理 2：度量空间 X 到 Y 中的映射 T 是 X 上连续映射 ? Y 中任意开集 M的原像 T 1M 是 X中的开集（除此之外，利用T 1 （ M 的补集） =（ T 1M ）的补集，可将定理中开集改成闭集，定理也成立。）注：像开原像开，像闭原像闭，映射连续。在数学分析

11、中有学过收敛点列，柯西点列， 但研究都在R 中。现在我们可类似的给出度量空间中柯西点列的概念。4. 柯西（ Cauchy ）点列和完备的度量空间。4.1 柯西点列的 定义：设 X=（ X，d）是度量空间， xn 是 X 中的点列，对 >0，正整数 N=N（），使当， >N时，必有（xn ， xm ）<，则称 xn 是 X 中的柯西 （ Cauchy）点列或基本点列。 【会判断： 柯西点列是有界点列】我们知道实数集的完备性，同时在学习数列收敛时，数列收敛的充要条件是数列是 Cauchy 列，这由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。但在度量空间中的确存在完备的度量空

12、间。44.2 完备的度量空间的定义：如果度量空间（ X，d）中每一个柯西点列都在（ X，d）中收敛，那么称（ X， d）是完备的度量空间但要注意，在定义中要求X 中存在一点，使该柯西点列收敛到这一点。4.3 举例（记住结论）有理数全体按绝对值距离构成的空间不完备，但 n 维欧式空间 Rn 是完备的度量空间。在一般度量空间中，柯西点列不一定收敛，但是度量空间中的每一个收敛点列都是柯西点列： C、 Ca,b 、 l也是完备的度量空间。4.4 定理完备度量空间X 的子空间M，是完备空间M是 X 中的闭子空间。P，（表示闭区间，上实系数多项式全体，作为C，的子空间）是不完备的度量空间5.度量空间的完备

13、化。5.1 等距映射：设（ X， d），T 是从 X 到 X 上的映射，即对（ X ,d ）是两个度量空间，x,y X , d (Tx,Ty)=d(x,y),则称 T 是等距映射。 5.2 定义：设（ X， d），X 到 X 上的等距映射T，（ X , d ）是两个度量空间，如果存在一个从 则称（ X， d）和称为 X 到 X 上的等距同构映射。 （像（ X , d ）等距同构 ，此时 T的距离等于原像的距离）注： 在泛函分析中往往把两个等距同构的度量空间不加区别而视为同一的。5.2 定理 1（度量空间的完备化定理）：设 X=（X， d）是度量空间，那么一定存在完备度量空间 X = （ X ,

14、 d），使 X 与 X 的某个稠密子空间W等距同构，并且X 在等距同构下是唯一的?,即若（ X， d ）也是一个完备的度量空间，且X与 X的某个稠 ?不需要掌握证明但是密子空间等距同构，则 （ X , d ）与（ X， d ）等距同构。 (要记住结论 )定理1 的改述：设 X=（ X，d）是度量空间，那么存在唯一的完备度量空间X =（ X ,d ），使 X 为 X 的稠密子空间。56. 压缩映射原理及其应用（重点内容，要求掌握并会证明）学习完备度量空间概念，就需要应用，而压缩映像原理是求解代数方程、微分方程、积分方程，以及数值分析中迭代算法收敛性很好的工具，另外要学会如何求不动点。6.1 压缩

15、映射定义：X 是度量空间， T 是 X 到 X 的映射，如果存在一个数，（0,1），使对x ， yX ， d（ Tx， Ty） d（ x， y） 则称 T 为压缩映射。6.2 （压缩映射定理）设X 是完备的度量空间，T 是 X 上的压缩映射，那么T 有且仅有一个不动点（即方程Tx=x ，有且只有一个解） 。（ x 是 T 的不动点x 是方程 Tx=x 的解）这个定理对代数方程、微分方程、积分方程、数值分析的解的存在性和唯一性的证明中起重要作用。6.3 压缩映射原理的应用：在众多情况下， 求解各种方程的问题可以转化为求其某一映射的不动点，现在以大家熟悉的一阶常微分方程dy（ 1）f ( x, y

16、)dx为例来说明这一点。求微分方程（1）满足初始条件 y( x0 )y0 的解与求积分方程xy( x)y0f ( x, y(t )dt（ 2）x0等价。我们做映射xTy(x)y0f (x, y(t)dtx0则方程（ 2）的解就转化为求y ，使之满足 Ty y 。也就是求这样的 y ，它经映射作用后仍变为 y 。因此，求解方程（1）就变为求映射 T 的不动点，这种求解方程变为求解映射的不动点的做法在数学中是常用的。那么如何求解映射的不动点呢？在R 中求方程解的逐次逼近法给了我们启示。这种迭代原理是解决映射不动点问题最基本的方法。在解决上述问题中，看到实数完备性的重要作用。代数方程、微分方程、积分

17、方程及其他方程求解的逐次逼近法在泛函分析中成了一个一般原理， 即压缩映射原理，压缩映射原理就是某一类映射不动点存在性和惟一性问题，不6动点可以通过迭代序列求出。注：（ 1）从定理的证明过程中发现，迭代序列的初始值可任意选取，最终都能收敛到惟一不动点。（ 2）该定理提供了近似计算不动点的误差估计公式，即( x , xn )a n(Tx 0 , x 0 )1a因为完备度量空间的任何子集在原有度量下仍然是完备的，所以定理中的压缩映射不需要在整个空间X 上有定义，只要在某个闭集上有定义，且像也在该闭集内，定理的结论依然成立。在实际应用过程中，有时T 本身未必是压缩映射，但T 的若干次复合 T n 是压

18、缩映射，这时 T 仍然有惟一不动点，下面是压缩映射原理的应用及相关证明。例 1 线性代数方程 Ax b 均可写成如下形式x Cx D （ 3）其中 C(cij )n n , D(d1 , d2 , dn ) T 。如果矩阵 C 满足条件ncij1(i1,2, n)j1则式（ 3）存在惟一解，且此解可由迭代求得。证明：取XRn ，定义度量为( ,)max aibi1i n(a1 , a2 ,an )T ,(b1,b2 , , bn )T构造映射 T:XX 为 TxCxD ，那么方程（ 3）的解等价于映射T 的不动点。对于 x( x1 , x2 , , xn )T , y( y1 , y2 , y

19、n )T ，由于(Tx,Ty)maxn(cijx jd j )n(cijy jd j)1i nj1j1nnmaxcij ( x jy j )maxcij( x, y)1inj 11i nj1n记a maxcij，由条件a1，因此T是压缩映像， 于是T3有惟一不动点， 所以方程（ ）1 i nj17有惟一解，且此解可由如下迭代序列x (k )Cx ( k 1) D近似计算求得。例 2考察如下常微分方程的初值问题dyf ( x, y)dxy(x0 ) y0如果 f ( x, y) 在 R2 上连续，且关于第二元y 满足 Lipschitz 条件，即f (x, y1 )f ( x, y2 )K y1

20、y2这里 K 0 是常数，则方程（4）在 x0, x0 上有惟一解 (1 ) 。K证明： 方程（ 4）的解等价于如下方程y( x)y0xf (t, y(t)dtx0的解。取连续函数空间 C x0, x0 ，定义其上的映射T : C x0, x0C x0, x0为(Ty )( x) y 0xf (t , y ( t ) dtx0则积分方程（5）的解等价于T 的不动点。对任意两个连续函数y2 (x)C x0, x0 ，由于(Ty1,Ty2 )maxxf (t, y2 (t ) dt f (t, y1 (t )x x0 , x0x0maxxf (t , y2 (t) dtf (t , y1 (t )

21、x x0, x0 x0xmaxKy1 (t)y2 (t) dtK ( y1 , y2 )x x0, x0x0令 aK，则 a1，故 T 是压缩映射，从而T 有惟一不动点，即积分方程（一解，从而微分方程（4）在 x0, x0 上有惟一解。例 3设 K (s,t ) 是定义在 a, b a,b 上的二元连续函数，则对于任何常数给定的连续函数f (t)C a, b ，如下 Volterra 型积分方程（ 4）（ 5）y1 ( x) ，5）有唯及任何8x (t )tK ( s, t ) x( s) ds f ( t )(6)a存在唯一解。证明： 取连续函数空间C a, b ，其上定义映射T ： C a

22、,bCa, b 为tK ( s, t ) x( s)ds f (t)(Tx)(t )a则方程（ 6）的解等价于 T 的不动点。由于K (s,.t ) 在 a, b a,b 上连续，于是K (s,t ) 在 a,b a, b 有最大值，记为M，即Mmax K ( s, t ) ：(s, t ) a , b a, b 对任何两个连续函数x1( ),x2( )，由于tt(Tx 1 )( t )(Tx 2 )( t )tx 2 ( s) dsK ( s, t ) x1 ( s)aM ( ta ) maxx 1 ( s ) x 2( s )as bM (ta) ( x1 , x 2 )(T 2 x1 )

23、( t )(T 2 x 2 )( t )22tK ( s, t )( Tx1 )( s) (Tx 2 )( s)dsaM 2( x1 , x 2t) (s a ) dsaM 2 (ta) 2(x1 , x2 )2一般地，对自然数n ，归纳可得n(T n x1 )(t )(T n x2 )(t )M n (ta)n( x1 , x2 )n!因此(T n x1,T n x2 ) max (T n x1 )(t )(T n x2 )(t )a tbnM n (ba) n( x1 , x2 )n!nM n (b a) n0 ，因此存在自然数n0 ，满足注意到 limn!n9n0 Mn 0 (ba) n

24、0a1n0!这说明 T n0 是压缩映射， 由压缩映射原理可知， 有惟一不动点， 亦即 Volterra 型积分方程（ 6）有惟一解。例 4（隐函数存在定理）设函数 f (x, y) 在带状域axb ,y中处处连续，且处处有关于 y 的偏导数 f y' (x, y) 。如果存在常数m 和 M ，满足0mf y' (x, y)M , mM则方程 f ( x, y) 0在区间 a,b 上必有惟一的连续函数y( x) 作为解，即f (x,( x)0, x a,b证明： 在完备空间 Ca,b 中作映射 T ，使对于任意的函数Ca, b ，有(T )( x)( x)1 f ( x,( x

25、)M按定理条件， f (x, y) 是连续的，所以 (T )( x) 也是连续的， 即 TC a,b ，故 T 是 Ca,b到Ca,b的映射。 现证T是压缩映射，1,2 , 由微分中值定理存在01使C a b(T 2 )( x) (T 1 )( x)2 ( x)1 f ( x,2 (x )1 ( x)1 f ( x,1 ( x)MM2 ( x)1 ( x)1f y' x,1 ( x)(2 ( x)1 (x) ? (2 ( x)1 (x)M2 ( x)1 ( x) (1m)M又0 m M所以 0m1 令1m，则01MM, 且(T2 )( x)(T 1 )( x)2 ( x)1 ( x)按

26、 C a,b 中距离的定义，有(T2 ,T1 )2 ( x)1 ( x) ，所以 T 是压缩映像，存在Ca,b 使 T，即( x)(x)1f ( x,(x) ，即 1f ( x,(x) 0 ，所以MMf ( x,(x)0(a xb)10可见，压缩映射原理在处理迭代数列的收敛、微分方程定解等问题上有着重要的应用，其观点与方法已经渗透到数学的各个分支如常微分方程、数值计算， 加深了各分支间的相互联系，应用压缩映射原理解决问题也十分简洁、灵活和方便。（二）赋范线性空间1. 线性空间设 X 是非空集合，F 是实数域或复数域，称X 为 F 上的线性空间，如果满足以下条件：对两个元素x, yX ，X 中惟

27、一个元素u 与之对应，u 称为 x 与 y 的和，记为u x y ，且满足：（ 1）交换律 xyyx( x, yX ) ；（ 2）结合律 x( yz)( xy)z(x, y, zX ) ；（ 3）在 X 中存在一个元素，称为零元，使xx(x X ) ；（ 4）对每个 xX ，存在x X ，使 x (x)， x 称为 x 的负元。对任意数F 及 xX ，存在 X 中惟一元素 v 与之对应，记为vx ，称为与 x的数乘，且满足：（ 1）结合律( x)() x(, )F , xX ：（ 2） 1xx ；（ 3）数乘对加法分配律()xxx ；（ 4）加法对数乘分配律( xy)xy 。如果 FR ，称

28、X 为实线性空间；如果FC （复数域），称 X 为复线性空间。对于线性空间：X 是线性空间（满足加法和数乘运算）， Y是 X 的非空子集，任意x,yY 及任意 ?R ，都有 x+yY 及 axY ，那么 Y 按 X 中加法和数乘运算也成为线性空间，称为X 的子空间， X 和 0 是平凡子空间。若XY，则称 Y 是 X 的真子空间。2. 赋范线性空间和巴拿赫（ Banach）空间（重点内容）2.1 定义：设X 为实（或复）的线性空间，如果对每一个向量xX ，有一个确定的实数，11记为 x 与之对应，并且满足：（ 1） x 0且 x=0x=0（ 2） x = x 其中为任意实（复）数（ 3） x+

29、y x +yx,yX则称 x为向量 x 的范数，称 X 按范数 x成为 赋范线性空间扩展：x 是 x 的连续函数。（要会证明）设 xn 是 X 中的点列，如果xX ，使 xnx 0 （ n）则称 xn 依范数收敛于 x ，记为 xnx （n）或 lim xnxn如果令 d（ x， y）= x-y （ x,yX ）， xn 依范数收敛于 x xn 按距离d（ x， y）收敛于 x ，称 d（ x， y）为是由范数x 导出的距离。注意：线性贱范空间一定是度量空间，反过来不一定成立。2.2完备的线性赋范空间称为巴拿赫 （ Banach）空间2.2.1巴拿赫空间的举例 n 维欧式空间R Ca ， b

30、l L a ， b （p1） l p2.2.2其他：霍尔德Horder( 不等式 ) ：bf (t)g(t ) dtf p g p；a闵可夫斯基不等式：fg pf pg p。（记住结论并会应用）二、有界线性算子和连续线性泛函1. 算子定义：赋范线性空间 X 到另一个赋范线性空间 Y 的映射，被称为 算子 ，如果 Y 是数域，则被称为 泛函。2. 线性算子和线性泛函2.1 定义： 设 X 和 Y 是两个同为实 （或复） 的线性空间， D ( ?) 是 X 的线性子空间， T 为 D 到Y 中的映射，如果对任何x，y D及数 ，都有T（x+y ） =Tx+Ty（ 1）T （ x） = Tx（ 2）

31、则称 T 为 D 到 Y 中的线性算子 ，其中 D 称为 T 的定义域 ，记为 D （T），TD 称为T 的值域记为 R (T) ，当 T 取值于实（或复）数域时，称T 为实（或复）线性泛12函。2.2 几种常见的线性算子和线性泛函的例子： 相似算子Tx=x当 =1 时为恒等算子；当=0 时为零算子； P0 ， 1 是 0 ， 1 上的多项式全体，定义微分算子：（Tx）（t)= d x(t ) ，dt若 t 0 0 ，1 ，对 x?P0 ，1 ，定义 f （ x）=x（t 0）则 f 是 P0 ，1 上的线性泛函。积分算子： x Ca ，b Tx （ t ）= x ( ) d由积分线性性质知 T 为线性算子，若令 f (x) = x ( ) d 则 f 是 Ca ，b 中的线性泛函乘法算子： x Ca ， b Tx （t ） =tx （t ） R中的线性变换是线性算子3. 有界线性算子3.1定义：设 X 和 Y 是两个线性赋范空间， T 是 X 的线性子空间 D （ T）到 Y 中线性算子，如果存在常数 c，使对所有 x