(完整版)四边形中“新定义”型试题探究

1、四边形中“新定义”型试题探究浙江省象山县丹城中学王赛英徐敏贤邮编315700所谓“新定义” 型试题，是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念，要求考生现学现用，主要考查考生阅读理解能力、应用新知识能力、逻辑推理能力和创新能力. 给“什么”，用“什么”，是 “新定义”型试题解题的基本思路. 以四边形为背景的几何“新定义”型试题，看似平淡无奇，仔细研读却发现试题韵味无穷，极具探究价值和选拔功能. 求解这类试题的关键是：正确理解新定义，并将此定义作为解题的依据，同时熟练掌握相关的基本概念、性质 , 把握图形的变化规律.一、以特殊点为契机进行“新定义”例 1 （ 2007 年宁波市中考数学试题）四边

2、形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等， 但到另一对角线的两个端点的距离相等， 则称这点为这个四边形的准等距点 如图 l ，点 P为四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点， PD=PB ，PAPC，则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点(1)如图 2，画出菱形 ABCD 的一个准等距点(2)如图 3，作出四边形 ABCD 的一个准等距点 (尺规作图 ,保留作图痕迹，不要求写作法 )(3)如图 4，在四边形 ABCD 中， P 是 AC 上的点， PA PC，延长BP 交 CD 于点 E，延长 DP 交 BC 于点 F，且 CDF= CBE ，CE=CF 求

3、图 1证：点 P 是四边形 ABCD 的准等距点(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明 )DPCDE图 2APCBFAB图 4图 3图4解 :（ 1）如图 2，连结 AC, 在 AC 上任取除AC 中点外的点P,点 P 即为所画点（ 2）如图 3，连结 BD, 作 BD 的中垂线交直线AC 于点 P,因点 P 不是 AC 的中点 ,故点 P即为所求作点（ 3）如图 4，连结 DB ，在 DCF 与 BCE 中， CDF= CBE ， DCF= BCE ，CF=CE. DCF BCE(AAS) ， CD=CB, CDB= CBD, PDB= PBD

4、 ， PD=PB ，PAPC,点 P 是四边形ABCD 的准等距点 .（ 4）当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时，准等距点的个数为 0 个；四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时，准等距点有无数个1当四边形的对角线不互相垂直，但互相平分时，准等距点的个数为0 个；当四边形的对角线不互相垂直，又不互相平分， 且有一条对角线的中垂线经过另一对角线的中点时，准等距点的个数为1 个；当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分，且任何一条对角线的中垂线都不经过另一条对角线的中点时，准等距点的个数为2 个 .评析：本道题以特殊点为契机，创设了一个全新的概念 四边形的

5、准等距点.第（ 1）小题是新定义的简单应用 .第（ 2）小题根据新定义的内涵作图，其实质作一对角线的中垂线与另一对角线的交点，且这一交点不在另一对角线的中点上；思维敏锐、镇定从容的同学，从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为0、 1、 2、无数个 .第（ 3）小题，常中见新、拙中藏巧，利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证.第（ 4）小题则难度极大，对分析问题能力、分类讨论能力、抽象思维能力、归纳能力及语言表达能力提出了极高的要求.好在（ 1）、（ 2）两小题解决后累积的经验，为第（4）小题解决铺设了平台，尤其是第（2）小题画图时产生的灵感，为第（4）小题的解决指引着思维的方向.于是，类比

6、、联想能力强 ,思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手，对四边形等距点个数进行分类研究；思维严密、深刻的同学，会根据对角线垂直与否及是否平分，分成五类，最后，经抽象、归纳成四类.二、以特殊边为契机边进行“新定义”例 2 （ 2007 年北京市中考数学试题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.（ 1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（ 2）如图，在 ABC 中，点 D，E 分别在 AB ，AC 上，设 CD、ABE 相交于点 O，若 A=60 ，DCB= EBC=1 A. 请你写出图FE2中一个与 A

7、 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；DGO（ 3）在 ABC 中，如果 A 是不等于 60的锐角，点 D ，E 分BC别在 AB ，AC 上，且 DCB= EBC=1 A. 探究： 满足上述条件的图 52图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论.解：（ 1）平行四边形、等腰梯形等.（ 2）答：与 A 相等的角是 BOD （或 COE） .四边形 DBCE 是等对边四边形 .（ 3）答：此时存在等对边四边形，是四边形DBCE.证明：如图5，作 CG BE 于 G 点，作 BF CD 交 CD 延长线于 F 点， F=900= EGC. DCB EBC 1 A ， BC 为公共边，

8、BCF CBG . BF=CG. 2 BDF= ABE+ EBC+ DCB ， BEC= ABE+ A ， BDF= BEC ，又 F= EGC ， BDF CEG ， BD=CE ，四边形 DBCE 是等对边四边形 .评析：此题以一组对边相等关系为契机，创设了一个全新的概念 等对边四边形.语言精练 ,设问流畅，层次感强.解决此题，需较强的分析问题能力、推理论证能力. 第（ 1）小题是新定义的简单应用.第（ 2）小题的第一问，利用三角形的内外角的数量关系即可解决；而第二问，易得猜想：BD=CE ，四边形DBCE 为等对边四边形，但凭直角得到的猜想不一定2可靠，为此大多数考生会设法证明自己的猜想

9、.由公共边 BC, DCB= EBC=1 A=30,2BOD= COE=60 这些条件及要证的猜想BD=CE ，不难想到添辅助线的方法：分别过点B、 C 作 CD 、 BE 的垂线 ,从而证明自己的猜想.第（ 3）小题完全可类比第（ 2）小题的第二问进行， 先证 BCF CBG ，再证得 BDF CEG ，继而使问题获得解决；当然，第（ 3）小题，也可作 HCB= DBC 交 BE 于点 H，构造全等三角形 BDC 与 CHB，得BD=CH ，再证 CH=CE ，也可使问题获得解决 .三、以特殊角为契机进行“新定义”例 3（ 2006 年安徽省中考数学试题） 如图 6，凸四边形ABCD 中，如

10、果点 P 满足 APD APB = .且 BPC CPD ，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点( l）在图 7 正方形 ABCD内画一个半等角点P，且满足 .( 2）在图 8 四边形 ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法）.( 3 ）若四边形 ABCD有两个半等角点P、P （如图9 ) ，证明线段 P P 上任一点也1212是它的半等角点 .DDCPIABPCABB图 6图 7图 8图 9解：（ 1）所画的点P 在 AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点，即可 .（ 2）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 D B交 AC于点 P，点 P 即为所求的点 .（

11、3）连 P1A、P1D、P1B、P1C 和 P2D、P2B，根据题意 , A P1D= A P1B， D P1C= B P1C， A P 1B+ B P 1C=180012在D P1212中, P 在 AC上，同理， P 也在 AC上 .P和BP PD P1 P2= B P1 P2， D P2P1=B P2P1， P1 P2= P1 P2， D P1P2 B P1P2， P1D=P1B，P2D=P2B， B、 D 关于 AC 对称 .设 P 是 P1P 上任一点，连结 PD 、PB，由对称性，得 DPA=BPA ， DPC= BPC，点 P 是四边形的半等角点 .评析：此题以顶点相同的四个角满

12、足特殊的数量、位置关系为契机,创设了一个全新的概念 四边形半等角点.第（ 1）小题是新定义的直接应用.第（ 2）小题，语言简洁、精练，看似平淡，实则蕴涵丰富的思维内涵, 突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的能力.通过分析，发现所求作的点在对角线AC上，且 DPA = BPA，但要画出点P 仍不容易；继续分析，发现DPB 关于直线AC 对称，点B 关于 AC 的对称点B在 DP 上，至此，才峰回路转，柳暗花明. 第（ 3）小题要证明线段P1 P2 上任一点也是它的半等角点，需先证A 、P1 、P2、 B 四点在一直线上，再证线段P1 P2 上任一点满足条件DPA =BPA ， DPC=BPC

13、 ，从而使问题获证，此小题对思维的严密性提出了较高的要求.四、以特殊对角线为契机进行“新定义”例 4 (2006 年北京市中考数学试题 )我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形请解答下列问题：（ 1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；（ 2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时，这对600 角所对的两边3之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论解：（ 1）矩形、等腰梯形.（ 2）结论：等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为600 时 ,这对 600 角所对的两边之和大于或等于一条对角线的长已知：四边形ABC

14、D 中，对角线 AC ， BD 交于点 O ， ACBD ，且AOD60o 求证： BCAD ACADAD证明：过点 D 作 DF AC ，在 DF 上截取DE，使 DEAC 连结 CE ， BE OBOEEDOAOD60o ，四边形 ACED 是平行BECCFF四边形， CEAD ；又 AC BD ， DE图 1图 11图 10= AC =BD ， EDO=60 0, BDE 是等边三角形， BE DEAC 当 BC与CE在同一条直线上时（如图 10），则BC CEBE ， BCAD AC 当 BC 与 CE 不在同一条直线上时（如图11），在 BCE 中，有 BCCEBE ， BC ADA

15、C 综合、，得 BCAD AC即等对角线四边形中两条对角线所夹角为 600 时，这对 600 角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长评析：此题以对角线之间满足相等关系为契机，创设了一个全新的概念 等对角线四边形 .第（ 1）小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况.第（ 2）小题，语言精练 , 构思精巧， 涉及的知识点不多，但思维含量及高.着重考查学生观察力、分析能力、逻辑推理能力.好多考生面对此题，犹如“昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路”.解决此题， 可就其特殊情形入手，即当此等对角线四边形为梯形时先研究，不难想到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点

16、，从而使特殊情形时问题获证；对于一般情形，则可类比特殊情形的方法，使问题得到解决.五、以特殊位置关系为契机进行“新定义”例 5 （ 2005 年资阳市中考数学试题）阅读以下短文，然后解决下列问题：如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合， 且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形 ” 如.图 12 所示，矩形 ABEF 即为 ABC 的“友好矩形 ”.显然，当 ABC 是钝角三角形时，其“友好矩形 ”只有一个.(1) 仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；(2) 如图 13，若 ABC 为直角三角形，且 C=90 ，

17、在图 13 中画出 ABC 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；图 12图13图144(3) 若 ABC 是锐角三角形， 且 BCACAB，在图 14 中画出 ABC 的所有“友好矩形” ，指出其中周长最小的矩形并加以证明.解：(1) 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合， 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”.(2) 此时共有2 个友好矩形，如图的矩形BCAD 、ABEF .易知，矩形BCAD 、ABEF 的面积都等于ABC 面积的 2 倍， ABC 的“友好矩形”的面积相等 .(3)

18、此时共有 3 个友好矩形，如图的矩形BCDE 、 CAFG 及 ABHK ，其中的矩形 ABHK的周长最小.证明：易知，这三个矩形的面积相等，令其为S. 设矩形 BCDE 、CAFG 及 ABHK 的周长分别为 l1，l2，l3 ， ABC 的边长 BC=a，CA=b，AB=c，则 l 1=2S2S2S+2 c，+2a，l2=+2b，l 3=abcl 1- l2=( 2S +2a)- ( 2S +2b)=2( a- b)abS ，而 abS， ab， l 1- l20 ，即 l1 l2 .abab同理可得， l 2 l 3 .l 3 最小，即矩形ABHK 的周长最小 .评析：此题以图形的特殊位置关系为契机，创设了一个全新的概念 等对角线四边形 .试题平和清新、 一题多问， 层层平缓递进， 为不同程度的学生展示自己的数学才华创设了平台.第（ 1）小题是新定义的直接应用.第（ 2）小题是新定义的简单应用.前两小题为第（3）小题的解决作了铺垫.第（ 3）小题的解决，要抓住“变”中的“不变量”：矩形面积相等；然后，把三个矩形的