(完整word版)相似五大模型总结老师,推荐文档

1、学科教师辅导讲义学员编号：学员姓名：授课类型授课日期及时段年级：初三课时数：3辅导科目：数学学科教师：吴猛T( 同步知识主题 )C （专题方法主题）T （学法与能力主题）2016-07-27相似三角形模型总结模型一： A 型或反 A 型1（2011?河北模拟）将三角形纸片ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边 AC 上，记为点B，折痕为 EF已知 AB=AC=6 ， BC=8 ，若以点B， F， C 为顶点的三角形与 ABC 相似，那么BF 的长度是（）AB4C 或2 D4或考点 ： 相似三角形的性质；解一元一次方程；翻折变换（折叠问题）专题 ： 计算题；压轴题分析：= ，设 BF=x

2、，则 CF=8 x，即可求出 x 的长，得根据折叠得到 BF=B F，根据相似三角形的性质得到到 BF 的长，即可选出答案解答： 解： ABC 沿 EF 折叠 B 和 B重合， BF=B F，设 BF=x ，则 CF=8x， 当 BFC ABC ， = ， AB=6 ， BC=8 ，=，解得： x=，即： BF=，当FBCABC ，解得： x=4，当 ABC CB F 时，同法可求BF=4，故BF=4或 ，故选： D点评： 本题主要考查了相似三角形的性质，折叠问题，解一元一次方程等知识点，解此题的关键是设BF=x ，能正确列出方程1、如图： ABC 中， D 是 AB 上一点， AD =AC，

3、BC 边上的中线AE 交 CD 于 F。2、求证：3、BDAECF答案： 证明：（方法一）如图延长AE 到 M 使得 EM=AE，连接 CMBE =CE， AEB= MEC BEA CEM CM =AB， 1= B ABCM M= MAD ， MCF =ADF MCF ADFCM =AB， AD =AC（方法二）过D 作 DGBC 交 AE 于 G则 ABE ADG， CEF DGF ，AD =AC，BE=CE模型二： X 型和反 X 型1（ 2012?朝阳）如图，在正方形ABCD 内有一折线段，其中AE EF， EF FC，并且 AE=4 ，EF=8 ，FC=12 ，则正方形与其外接圆形成的

4、阴影部分的面积为80 160考点 ： 相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；正多边形和圆专题 ： 压轴题分析： 首先连接AC ，则可证得 AEM CFM ，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得 EM 与 FM 的长，然后由勾股定理求得 AM 与 CM 的长， 则可求得正方形与圆的面积，则问题得解解答： 解：连接AC ， AE 丄 EF， EF 丄 FC， E= F=90°， AME= CMF （对顶角相等） ， AEM CFM ， AE=4 ， FC=12 ， EM=2 ，FM=6 ，在 Rt AEM 中， AM=2 ，在 Rt FCM 中， CM=6， AC=8，在 R

5、t ABC 中， AB=AC ?sin45°=8×=4， S 正方形 ABCD =AB 2=160 ，圆的面积为： ?（）2=80， 正方形与其外接圆之间形成的阴影部分的面积为80 160故答案为： 80 160点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，正方形与圆的面积的求解方法，以及勾股定理的应用此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用2、如图，弦和弦相交于内一点，求证：. 同时圆当中同弧或等思路点拨： 题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明： 连接，.在.3如图， ABC ADE且 ABC= AD

6、E， ACB= AED，BCDE交于点 O则下列四个结论中，1= 2； BC=DE； ABD ACE； A O、 CE 四点在同一个圆上，一定成立的有（）A1 个B2个C3个D4 个【答案】 D模型三：字母型1如图，点A， B， C， D 为O上的四个点，AC平分 BAD， AC交 BD于点 E， CE=2， CD=3，则 AE的长为（）A2B2.5C3D 3.5【答案】 B.2（ 2015?南通）如图，AE 的长为（）AB 为O的直径，C 为 O 上一点，弦AD平分 BAC ，交BC于点E，AB=6 ， AD=5 ，则A 2.5 B 2.8 C 3D 3.2考点 ： 相似三角形的判定与性质；

7、勾股定理；圆周角定理专题 ： 压轴题分析：BD 的长，再利用 ABD BED ，得出= ，可解得 DE 的长，由 AE=AD连接 BD 、CD，由勾股定理先求出 DE 求解即可得出答案解答： 解：如图1，连接 BD 、 CD ， AB为 O的直径， ADB=90°， BD=，弦 AD 在ABD平分 BAC ， CD=BD=和BED 中，CBD= DAB ， ABD BED， =，即=，解得DE=， AE=AD DE=5 =2.8故选：B点评： 此题主要考查了三角形相似的判定和性质及圆周角定理，解答此题的关键是得出 ABDBED3、已知如图， CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高

8、， E 为 BC 的中点， ED 的延长线交CA 于 F。求证： ACgCFBCgDF证明： CD 是 Rt ABC 斜边 AB 上的高， E 为 BC 的中点CE =EB=DE B= BDE = FDA B+ CAB=90°， ACD+ CAB=90° B= ACD F= F FDA FCD FDADFCCD ADC =CDB =90°， B= ACD ACD CBD FDAC即 ACgCF BCgDFFCBC模型四： 一线三等角1已知：如图，ABC 中， BAC 90°， AB AC 1，点45°(1) 求证： ABD DCE ；(2) 设

9、 BD x，AE y，求 y 关于 x 的函数关系式；(3) 当 ADE 是等腰三角形时，求AE 的长答案：（ 1）AA 判定（一线三等角） FDA =ACDADACCDBCD 是 BC 边上的一个动点(不与 B，C 点重合 )， ADE（2） yx22x1（3）三种情况舍去一种，AE=2-2 ，或 AE=1/23已知点 A、B 分别在反比例函数y28（ x0）的图象上， 且 OA OB，则 OB（x 0）， yxxOA的值为（）A 2B2C 3D 3yAOxB【答案】 B模型五： 旋转相似和八字模型1如图， O为矩形 ABCD的中心，将直角三角板的直角顶点与O点重合，转动三角板使两直角边始终

10、与BC， AB 相交，交点分别为M， N如果 AB=4，AD=6， OM=x， ON=y则 y 与 x 的关系是（）A y2 x B y6C y=x D y3 x3x2【答案】 D2. 点 A,B,C 都在半径为r 的圆上，直线AD 直线 BC，垂足为D，直线 BE直线 AC，垂足为E，直线 AD 与 BE 相交于点 H，若 BH3AC ,则 ABC 所对的弧长等于（长度单位） .1 56. 或（弦所对的劣弧与优弧长）333、如图 1， ABC和 GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形(不包括全等 )共 A有()A1对B 2对BECC 3对D 4对DGF（图 1）答案： C4如图，在

11、 PAB中，点 C、D 在边 AB上， PCPD CD， APB 120°(1) 试说明 APC与 PBD相似(2) 若 CD 1， AC x，BD y，请你求出 y 与 x 之间的函数关系式(3) 小明猜想：若 PC PD1， CPD， APB，只要 与 之间满足某种关系式，问题 (2) 中的函数关系式仍然成立你同意小明的观点吗？如果你同意，请求出 与 所满足的关系式；若不同意，请说明理曲5、（ 2015?浙江宁波，第17 题4 分）如图，在矩形ABCD中， AB=8， AD =12，过点A，D两点的 O 与BC边相切于点 E，则 O的半径为【课堂练习】1、（ 2015 年浙江杭州

12、12 分）如图，在ABC中 (BC>AC)， ACB=90°，点 D 在 AB边上， DE AC于点 EAD1（1）若DB3 ， AE=2，求EC的长（2）设点F 在线段EC上，点G在射线CB上，以F， C， G为顶点的三角形与EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P，问：线段CP可能是CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由CE2 、如图所示， M为线段 AB的中点， AE与 BD交于点 C， DME= A=B=a，且 DM交 AC于 F， ME交 BD于 G。（ 1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（ 2）连结 FG，如果 a=45°， AB=4，

13、 AF=3，求 FG的长3、如图 ABC中， AD为中线， CF为任一直线，CF交 AD于 E，交 AB于 F，求证： AE：ED=2AF： FB。4、如图，在三角形ABC中， AB=AC，点 E、F 分别在 AB 和 AC上， CE与 BF相交于点D，若 AE=CF，D 为 BF 的中点，则AE： AF 为能力提升训练：例 1、如图，在平行四边形 ABCD中， AB=4， AD=6， ABC=60°；点 P 是射线 AD上的一个动点（与点 A 不重合）， BP与 AC相交于点 E，设 AP= x （1）求 AC的长；（2）如果 ABP和 BCE相似，请求出 x 的值；（3）当 AB

14、E是等腰三角形时，求x 的值。PDAEBC解：（ 1）过点 A 作 AFBC于F在 RtAFB 中，AFB90 ，ABF60 AFAB sinABF4 sin 60432 32BFAB cosABF4 cos60124在 Rt AFC 中，AFC902 ACAF 2FC 2(2 3)24227（2）过点 P 作 PGBC于G在 Rt BPG 中， PGB 90 BPBG 2PG 2(23)2(2x) 2x24x16如果ABP 和BCE 相似APBEBC又BAPBCDECB67ABEC4x2即6BPBCx24x 166 ABPECB解得 x1 8, x24（不合题意，舍去）3 x 8（3）1当

15、AEAB4时 APBC APAEBCEC即 x4解得 x4 7862742当 BEAB4时 APBC PEAPBEBC即x24x16 4 x解得 x112 , x2 04653在 Rt AFC 中，AFC90 FC42 3AF在线段FC 上截取FHAFFAEFAHBAE45304560ABCABE AE BE综上所述，当ABE 是等腰三角形时， x4 7 8或12EFGDEFABCBC5DABAC2的边在的边上，顶点、 G 分别在边、例 、如图，矩形上已知 ABAC5， BC6，设 BEx ， S矩形 EFGDy （1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围； 1（2）联结

16、 EG ，当GEC 为等腰三角形时，求y 的值解：（ 1）过点 A 作 AH BC，垂足为H AB AC ， BH HC 3.在 Rt ABH 中， AHAB 2AH 24 .四边形 EFGD 是矩形， EF 在 BC 上， DE BC DEtan BAHBEBH DE4， DE4xx33 ABAC ，BC ,又DEBGFC90 ，DEGF DBE GFC ， FC BEx, EF 6 2x y4x(6 2x)8x28x （ 0 x3)3316（2）当 GEGC 时，可证 BEDG EF , 得： x6 2x ，解得 x2 ，此时，y3当 CGCE 时，可求： GC5 x ，得：5 x6x ，

17、解得： x9，此时， y93342当 EGEC时，过 E作 EFAC于F ，则 CF1 CG5 x ，可证 CFcosC326CE5即： CF3CE ，得：5 x3 (6 x) ，解得 :x108此时， y6048565431849综上述， y 的值是 16 或 9 或 6048 。321849练习：1.如图，已知一个三角形纸片ABC ， BC 边的长为8， BC 边上的高为6， B和C 都为锐角， M 为 AB 一动点（点 M 与点 A、B 不重合），过点 M 作 MN BC ，交 AC 于点 N ，在 AMN 中，设 MN 的长为 x， MN 上的高为 h （1）请你用含x 的代数式表示

18、h （ 2）将 AMN 沿 MN 折叠，使 AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为A1 ， A1MN 与四边形 BCNM 重叠部分的面积为y ，当 x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】解：（ 1）Q MN BC AMN ABChx68h3x4（ 2） Q AMN A1MN A1MN 的边 MN 上的高为 h ， 当点 A1 落在四边形 BCNM 内或 BC 边上时，y S A1 MN = 1 MN·h1 x·3 x3 x2 （ 0x 4 ）2248 当 A1 落在四边形 BCNM 外时，如下图(4x 8) ，设EF上的高为 h1 ，A EF的

19、边1则 h1 2h63 x62QEFMN A1EF A1MNQ A1MN ABC A1 EF ABCS A1EF2h1SABC63 x2163Q S ABC24224x212 x 246 8S A1 EF622Q y S A1MN S A1EF3 x23 x2 12 x 249 x212 x 24828所以y9 x212x24 (4x 8)83综上所述：当 0x 4 时， yx2 ，取 x4 ， y最大 68当 4x 8 时， y9 x2 12 x24 ，8取 x16y最大8，3Q 8616时， y 最大， y最大8当 x3AMNBEFCA12如图， 已知直线 l1 : y2x8 与直线 l2

20、 : y2x 16 相交于点 C， l1、 l2 分别交 x 轴于 A、B 两点矩形 DEFG33的顶点 D、E 分别在直线 l1、 l2 上，顶点 F、G 都在 x 轴上，且点 G 与点 B 重合（ 1）求 ABC 的面积；（ 2）求矩形 DEFG 的边 DE 与 EF 的长；（3）若矩形 DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1 个单位长度的速度平移，设移动时间为t(0 t 12) 秒，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分的面积为S ，求 S 关于 t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围yl 2l1 yE DCA OF（ G）B x【答案】（ 1）解：由280x4 A4，0 x

21、点坐标为，得3 3由 2x 16 0，得 x 8 B 点坐标为 8，0 AB8412y2x8，x，33556， 由解得 C点的坐标为y2xy616S ABC1·12AB yC12 6362（ 2）解：点 D 在 l1 上且 xDxB8， yD2 88833 D 点坐标为8，8又点 E 在 l 2 上且 yEyD8，2xE16 8 xE4 E 点坐标为 4，8 OE 8 4 4，EF 8（ 3）解法一： 当 0 t3 时，如图1，矩形 DEFG 与 ABC 重叠部分为五边形CHFGR （ t0 时，为四边形 CHFG ）过 C 作 CMAB 于 M ，则 Rt RGB RtCMByyy

22、l2l1l2l1l 2l1EEEDDDCCCRRRA O F M G B xA F O G M B xFAGO MB x（图 1）（图 2）（图 3） BGRG，即 tRG ， RG2tBMCM36Q Rt AFH Rt AMC， SS ABCSBRGSAFH361t2t1 8 t2 8t 41644223即 St 2t333G（ 8 t,0） GR=282t ,当 3t8时，如图2，为梯形面积，(8t)83331282t880( 4t )s2483t3333当 8 t 12 时，如图 3,为三角形面积，s1(82t)(12 t)t2238t 4833已知：把 Rt ABC 和 Rt DEF

23、按如图甲摆放（点C 与点 E 重合），点 B、 C（ E）、 F 在同一条直线上 BAC=DEF=90 °， ABC=45 °，BC=9cm ，DE=6cm ，EF=8cm 如图乙， DEF 从图甲的位置出发，以1cm/s 的速度沿 CB向 ABC 匀速移动， 在 DEF 移动的同时， 点 P 从 DEF 的顶点 F 出发，以 3cm/s 的速度沿 FD 向点 D 匀速移动 当点 P 移动到点 D 时， P 点停止移动， DEF 也随之停止移动 DE 与 AC 相交于点 Q，连接 BQ 、PQ，设移动时间为t（ s）解答下列问题：2（2）当 t 为何值时，三角形DPQ 为等

24、腰三角形？（3）是否存在某一时刻t，使 P、Q、B 三点在同一条直线上？若存在，求出此时t 的取值范围；t 的值；若不存在，说明理由【考点】 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；平行线分线段成比例【专题】 压轴题；分类讨论【分析】（ 1）在 Rt DEF 中由勾股定理可以得到DF=10 同理，在Rt ABC直角三角形；由DE BC ， ACB=45 °，知 QEC 也是等腰直角三角形，所以，中， ABC=45 °，所以 ABC 为等腰QE=CE=t ，则 BE=BC CE=9 t ；则 BQE的面积y=BE ?QE（ 0 t）；（2）在 RtDEF 中， DE=6 ，

25、 DF=10 ，所以， cosD=， sin D=；在 Rt PDG 中，通过sin D 求得 PG、cosD 解得 DG，那么 GQ=DQ DG ；在 Rt PGQ 中，利用勾股定理， 求得 PQ2若 DPQ 为等腰三角形时， 分三种情况： 若 DP=DQ ； 若 DP=PQ ； 当 DQ=PQ 时；（3） 当 t=0 时，点 B、 P、 Q 在同一条直线上； 当 B 、 Q、 P 在同一直线上时，过点 P 作 DE 的垂线，垂足为形的对应边成比例求得 PG、 DG 的值，而 DQ=6 t，所以求得G，则 PG BE ， DPG DFE；然后由相似三角GQ=DQ DG 的值，根据平行线的判定

26、定理知GPBE ，可证 GPQ QBE，所以，GP： BE=GQ ： EQ，从而解得t=，点 B 、Q、P 在同一直线上【解答】 解：（ 1） ACB=45 °， DEF=90 °， EQC=45 ° EC=EQ=t ， BE=9 t ，（2 分）即：（）（1 分）（ 2） 当 DQ=DP 时， 6 t=10 3t，解得： t=2s（ 2 分） 当 PQ=PD 时，过 P 作 PHDQ，交 DE 于点 H，则 DH=HQ=，由 HP EF，则，解得s（ 2 分） 当 QP=QD 时，过 Q 作 QG DP，交 DP 于点 G，则 GD=GP=，可得： DQG DF

27、E ，则，解得s（ 2 分）（3）假设存在某一时刻t，使点 P、 Q、 B 三点在同一条直线上则，过 P 作 PI BF，交 BF 于点 I， PI DE，于是：，则，解得：s答：当s，点 P、 Q、 B 三点在同一条直线上 （ 3 分）【点评】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线分线段成比例解答（2）题时，需注意分类讨论，全面考虑等腰三角形的腰与底的各种情况4如图，已知 ABC 是边长为 6cm 的等边三角形，动点 P、 Q 同时从 A、B 两点出发，分别沿 AB、 BC 匀速运动，其中点 P 运动的速度是 1cm/s，点 Q 运动的速度是 2cm/s，当点 Q

28、到达点 C 时， P、 Q 两点都停止运动，设运动时间为 t（ s），解答下列问题：（ 1）当 t 2 时，判断 BPQ 的形状，并说明理由；（ 2）设 BPQ 的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数关系式；（ 3）作 QR/BA 交 AC 于点 R，连结 PR，当 t 为何值时， APR PRQ？【答案】解： (1) BPQ是等边三角形, 当 t=2 时 ,AP=2× 1=2,BQ=2×2=4, 所以 BP=AB-AP=6-2=4,所以 BQ=BP又.因为 B=600, 所以 BPQ是等边三角形 .(2) 过 Q作 QE AB, 垂足为 E, 由 QB=2y, 得

29、 QE=2t·sin60 0=3 t, 由 AP=t, 得 PB=6-t,所以 SBPQ=1 × BP× QE=1 (6-t)×3 t= 3 t 2+3 3 t ；222000(3) 因为 QR BA,所以 QRC= A=60 ， RQC= B=60 ，又因为 C=60 ,所以 QRC是等边三角形 , 所以 QR=RC=QC=6-2t因.为 BE=BQ· cos60 0= 1 × 2t=t,2所以 EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以 EP QR,EP=QR,所以四边形 EPRQ是平行四边形 ,00所以 PR=EQ= 3

30、 t, 又因为 PEQ=90,所以 APR=PRQ=90. 因为 APR PRQ,00 QR6 2t3 , 所以 t=6所以 QPR= A=60 , 所以 tan60=, 即,PR3t5所以当 t=6 时 , APR PRQ55、如图，已知过A （ 2，4）分别作x 轴、 y 轴的垂线，垂足分别为M 、N，若点 P 从 O 点出发，沿OM 作匀速运动，1 分钟可到达M 点，点 Q 从 M 点出发，沿MA 作匀速运动，1 分钟可到达A 点（1）经过多少时间，线段PQ 的长度为 2？（2）写出线段PQ 长度的平方y 与时间 t 之间的函数关系式和t 的取值范围；（3）在 P、 Q 运动过程中，是否

31、可能出现PQ MN ？若有可能，求出此时间t；若不可能，请说明理由；（4）是否存在时间t，使 P、 Q、 M 构成的三角形与MON 相似？若存在，求出此时间t；若不可能，请说明理由【考点】 相似形综合题【分析】（ 1）在直角 PQM 中利用勾股定理，PM2+MQ 2=PQ2，即可列方程求得t 的值；（ 2）根据（ 1）中的式子即可直接求解；（ 3）首先求得直线 MN 的解析式， PQ MN 则两直线的一次项系数乘积是 1，据此即可求解；（ 4）分当 PMQ MON 和 QMP MON ，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解【解答】 解：（ 1） A （ 2， 4）， OM=AN=2 ， AM=ON=4 ，点 P1 分钟可到达 M 点，点 Q1 分钟可到达 A 点，点 P 的运动速度是2 个单位每分钟，点Q 的运动速度是4 个单位每分钟设经过 t 分钟，则PM=2 2t， MQ=4t ，在直角 PQM 中， PM 2+MQ 2=PQ2，即（ 22t） 2+16t2=4，解得： t=或 0（舍去），即经过分钟，线段PQ 的长度为 2；（ 2） y= （ 22t） 2+16t2，即 y=20t2 8t+4；（ 3） M 的坐标是（ 2，0）， N 的坐标是（ 0， 4），设直线 MN 的解析式是y=kx +b，则，解