(完整版)现代控制理论试卷答案与解析

1、现代控制理论现代控制理论试卷作业一 图 为R-L-C 电路 ，设 u 为 控制量 ，电 感 L 上的 支路电 流Y101x10U 和电容 C 上的电压 x2 为状态变R1 R2R1R2Y2x2R1R2R1 R2R1R2量，电容 C上的电压 x2 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。以电感 L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：i Lx1 ,ucx2 ，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：?R2C x2x2L x10?R1 ( x1C x2 )L x1u0?从上述两式可解出x1 ， x2

2、，即可得到状态空间表达式如下：?R1R2R1R2x1( R1R2 )L(R1R2) Lx1(R1R2 )L?R1x2u11x2( R1R2 )C(R1R2 )C(R1R2 )Cy1 =01x1 +0R1 R2R1R2uy2R1R2 R1R2x2R1R2二、考虑下列系统：- -现代控制理论（ a）给出这个系统状态变量的实现；（ b）可以选出参数 K （或 a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。解：（ a）模拟结构图如下：?x1ukx33x1?x2ukx3?21x3x1x2ax333y2 x1 x3132则可得系统的状态空间表达式：?x130kx11?x200k

3、x21 u?2 31 3ax30x3x1y2 31 30x2x3- -现代控制理论30k1（ b）因为A00kb12 31 3a030k13Ab00k102 31 3a0130k39kA2b 00k0k2 31 3a12a13 9k10kM bAb A2 b1 0k0 130 12a001 a所以：当 a1时，该系统不能控；当 a1 时，该系统能控。又因为： C2 31 3 030kCA 2313000k2 0k2 31 3a30kCA220k 00k6 2k 3k 3 2k ak2 31 3aC2 31 302 300NCA20k210CA26 2k 3k 3 2k ak6 0 （ a 1）

4、 k所以：当 k0 或 a1 时，该系统不能观；当 k0 且 a1 时，该系统能观。综上可知：当 a1 时或 k0 且 a1 时，该系统既不能控也不能观。.?Ax 的状态转移矩阵为：三、已知系统 xe t00eAt0(1 2t) e 2t4te 2t0te 2 t(12t )e2t（ 1）试确定矩阵 A ，并验证 eAt 确为上式。（ 2）已知 A 求 eAt ，以下采用三种方法计算 eAt ，并对计算结果进行讨论。- -现代控制理论解：（ 1）利用书上 P53 状态转移矩阵的性质四：对于状态转移矩阵，有?即 d eAtAeAte At A(t)A(t )(t) Adt当 t=0 时(0)I1

5、(0)I?e t00100e 2t ( 4e 2t (4A (0)(t ) t 004t )8t )0440e 2 t ( 2t1)4te 2t010t 0验证 eAt ：（利用 P59 的公式（ 2-24）来验证）100I A044(1)(2)201解得： 122 ， 31，有一对复根，重根部分按公式（2-24）处理，非重根部分的ai 仍按公式（2-23）计算。a001 2 110141234tete 1tte2ta112e 1t124e2t344e11a212e 3t111et111e33且 e Ata0 I a1 A a2 A 2所以：(t )eAt2t2tt100100(2te 2t3

6、e 2t4e t ) 010( 3te 2t4e 2 t4e t )044001010100e t00(te 2 te 2 te t ) 012160(12t)e 2t4te 2 t0440te 2 t(12t )e 2t四、有两个能控能观的单输入单输出系统：?010S1 ： x134 x11 u1y121 x1?S2 ： x22x2 U 2y2 x2（1）按图把S1 、 S2 串联，针对 xx1x2推导状态方程。- -现代控制理论（ 2）判断以上系统的能控性和能观性。（ 3）把串联系统的连接顺序颠倒过来，再推算系统的状态方程及能控、能观性。（ 4）求 S1 、 S2 及串联系统的传递函数矩阵

7、，并对（ 2）和（ 3）讨论。解：（ 1）?x1A1 x1B1u1y1C1 x1?x 2A2 x2B2 u2A2 x2B2Y1A2 x2B2C1 x1?所以x 2B2 C1 x1A2 x2y2C 2 x2?A10 x1B1 u因而x1?B2 C1A2x20x2?0100得状态方程 :0 x1 ux3421200100（ 2）A=340b=121200100101014Ab34 014A2b34 04192120121214014014所以M bAbA2 b11 1914 19014000rank ( M )23所以该系统不能控。C001- -现代控制理论010CA001340212212010

8、CA2212340144212C001所以 NCA212C A2144rank (N )3所以 该系统是能观的。（ 3）?x 2A2 x2B2 uy2C 2 x2?x1A1 x1B1u1A1 x1 B1C 2 x2y1C1x1所以 xA1B1C2x0 u010034 1 x0 u?0A2B2002101000Ab341010021201001A2b3411600224001所以 MbAbA2b016124rank (M )3所以此时该系统能控。C2 10- -现代控制理论010CA210341321002010CA23213416114002C210210而 NCA321072CA 26114

9、000rank ( N )23所以此时该系统不能观。s11（ 4） w1 (s)Y1 (s)C ( sI A) 1 B d2 103 s41U 1 (s)2 1 s21s410= s21s 4104s 3 3s 14s 3 2 13s 1s2s24s3w2 (s)Y2 ( s)1U 2 (s)s2当 S1 、 S2 按照（ 2）的连接方式串联时，w(s)w1(s)w2(s)1s24s3当 S1 、 S2 按照（ 2）的连接方式串联时，w(s)w2(s)w1(s)1s24s3由上边的传递函数结果可知， 当子系统串联时， 颠倒其先后次序， 虽然传递函数相同，但系统的能控性、能观性则不一定相同。五、

10、试求下列系统的能控性分解及能观性分解：?1210x010x0u Ax bu1431y111 xcx解：（ a）能控性分解：1210A 010， b01431- -现代控制理论12101Ab010001431312114A2b0100014338014所以 MbAbA2 b000138rank (M )2 ，故该系统不能控。构造非奇异矩阵010301RC001 ，所以 RC11 001300101ARC1xRCRC bu3011210103010100011 0 0 0 u0 0 0 1 x01014313001010421140 u2 x0010010y 11 1 0 0 1 x 11 1 x

11、130（ b）能观性分解：C111121CA111010232143084CA 21110104744148- -现代控制理论C111所以NCA232C A2474rank (N ) 23所以该系统不能观。构造非奇异矩阵：1117 31 31RC1474，所以 RC4 31 300010011ARC1x RCRCbu1111217 31 311110474 0 10 4 374 0 u1 3 0 x 400114300100112 31 3014 37 304 ux31217 31 31y 11 1431 3 0 x 1 0 0 x001六、试用李雅普诺夫第二法，判断下列系统的稳定性。?01（

12、1） xx1 1（ 2）系统结构图如下，对结果进行讨论，采取什么措施可使系统稳定？解：?x1x2?x2x1x2原点 xe =0 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函- -现代控制理论数，即( )220v xx1x2?2x2 2v( x) 2x1 x1 2x2 x22x1 x22x2 ( x1x2 )0 ， x2?当 x10 时， v( x)0 ；当 x10 ， x20 时， v( x)0 ，因此 v( x) 为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。另选一个李雅普诺夫函数，例如：v( x)1 ( x1x2 )22x12x2 22= x1x23 21 2x11

13、21x2为正定，而?x22 )v( x) (x1 x2 )( x1x 2 ) 2x1 x1x2 x2( x12为负定的，且当 x，有 V ( x)。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。（ 2） 闭（ 3） 环系统的状态方程为.010x1xu01.其齐次方程为x1x2.x 2x1显然，原点为系统的唯一的平衡状态，选李雅普夫函数v( x)x12x220.v( x) 2 x1 x12x2 x 2 2( x1 x2 x1 x2 ) 0.可见， v( x) 在任意 x0 的值均保持为 0，而 v(x) 保持为常数v( x)x12x2 2c这表示系统运动的相轨迹是一系列以原点为圆心，c 为半径的圆。这时系统

14、为李雅普诺夫的稳定， 但在经典控制理论中， 这种情况属于不稳定， 这的自由解是一个等幅的正弦振荡，要想使这个系统不稳定，必须改变系统的结构。七、图示的控制系统，试设计状态反馈矩阵，使闭环系统输出超调量5% 和峰值时间 t p5s 。-现代控制理论Y( s)1111解：传递函数 W (s)(s6) ( s2) ss38s212sU (s)又因为二阶系统单位阶跃响应中：M exp()100%p1 2t p12n根据题意要求5% 和 t p5s通过上式解答：0.684n0.861因此设计后的极点分别为：s1 0s2(j 12 )ns3(j 12 )n0.6j 0.630.6j 0.63因为传递函数

15、w( s) 没有零极点对消现象， 所以原系统能控而且能观。 可直接写出它的能控标准 I 型实现。.0100x001x0u08121y100 x其闭环系统结构图如下：-现代控制理论加入状态反馈阵Kk0k1k2 ，其系统结构如下图：而闭环系统特征多项式为f ( ) det I ( A bK )3(12 k 2 ) 2(8 k1 )( k0 )根据极点值，得期望特征多项式：f * ()(0.6j 0.63)(0.6 j0.63)31.2 20.757比较 f ( ) 和 f * () 各对应项系数，可得：k 00k17.243k 210.8即K07.24310.8-现代控制理论八、系统的状态方程.x

16、 u ， x(0)10 ，性能指标泛函如下： x1122)dt 分两种情况求最优控制：*(t ) 。J (u)( xuu20（ 1）对 u 没有约束（ 2） u(t ) 0.3解：（ 1） 原问题为自由终端状态，因而(1)0 。由哈密尔顿函数HL1(x2u2 )()fx u2又因为 Hg T=0uu所以 u * (t)(t)又沿最优轨迹线满足正则方程：.Hxxux.HgTHxxxx边界条件x(0)10,(1)0通过上式联合解答：x* (t)0.1e 2t9.9e2t(t )0.1(21)e 2 t9.9( 2 1)e2 t（ 2） 由极小值原理， u* (t ) 与 (t ) 符号有关，取 u

17、 *(t )0.3sgn (t )sgn (t ) 表示 (t ) 的符号，t1,0, 取 u * (t )0在0,1 区间，(t)0 ，取 u* (t )0.3 。下图表示求解结果。-现代控制理论九、试综述最有控制理论的内容及方法，分析比较二次型性能指标泛函与经典控制理论的性能指标。1 内容：现代控制理论研究的对象不再局限于单变量的，线性的，常定的，连续的系统，而扩展为多变量的，非线性的，时变的，离散的系统。现代控制理论以线性代数和微分方程为主要数学工具， 以状态空间法为基础， 分析和设计控制系统。所谓状态空间法， 本质上是一种时域分析方法， 它不仅描述了系统的外部特性，而且揭示了系统的内部

18、状态和性能。 现代控制理论分析和综合系统的目标是在揭示其内在规律的基础上， 实现系统在某种意义上的最优化， 同时使控制系统的结构不再限于单纯的闭环形式， 现代控制理论的主要内容包括如下五个分支：线性系统理论、建模和系统辨识、最忧滤波理论、最优控制、自适应控制。2方法：现代控制理论的方法本质是一种时域方法， 它是建立在状态变量描述方法基础上的，它着眼于系统的状态， 能更完全的表达系统的动力学性质， 在解决最优控制问题中，极大值原理和贝尔曼动态规划是最重要的两种方法。3分析比较指标泛函与经典控制理论的性能指标：性能指标在数学上成为泛函，经典控制理论中的性能指标一般为最大超调量、阻尼比、幅值裕度和相位裕度等。现代控制理论的二次型指标泛函的意义： 花费尽量少的控制能量， 使系统的输出尽可能地跟随期望输出变化。 常见的二次型性能指标分两类： 线性调节器和线性伺服器。-现代控制理论gg假定状态方程： x(t )A(t) x(t) B(t )u(t ) ， x(t0 ) x0寻求最优控制u(t) ，使性能指标达到极小值1T(t f )Sx(t f)t fT(t)Q(t)