(完整word版)极化恒等式

1、学习数学，领悟数学，秒杀数学。极化恒等式秒杀秘籍： 极化恒等式：122a ?ba ba b .4AM1 ACAB ,在ABC 中，若 AM 是ABC 的 BC 边中线，有以下两个重要的向量关系：2BM1ACAB .2定理 1 平行四边形两条对角线的平分和等于两条邻边平分和的两倍.以此类推到三角形，若AM 是ABC 的中线，则 AB 2AC 22AM2BM2.定 理2（极化恒等式的三角形模式）在ABC中，若M是 BC的中点，则有AB?ACAM21 BC222AMBM .4例 1：（2014年高考全国新课标 II卷文（理） 科第 4（ 3）题）设向量 a, b 满足 ab10, ab6 ，则 a

2、?b等于 （）A.1B. 2C. 3D. 5a226解：由极化恒等式，即得a ? bba b101.44例 2: （ 2014 江苏）在平行四边形ABCD 中，已知 AB8, AD5,CP3PD, AP? BP 2, 则 AB ? AD 的值是.解: PA?PB22PE 218CP3PD, CD8PE AE22222AFAE2PE40PD2, AE4, 故DP为FAE中位线AP222AF ?AE AB?AD22APPE例 3： .设点 P 是边长为2 的 ABC三边上的一动点，则PA ? (PB ? PC) 的取值范围是解：如图，设BC 的中点为 D，则 PBPC2PD ,设 AD 的中点为

3、M ，则 PA? (PB PC)2(PM 21AD 2 ) ,显然，当 P 在 B 点时， PM 的值最大，此时49 .PA?(PBPC )2；当 PMAB 时， PM 的值最小， 此时 PA ? (PB PC)98所以 PA ? (PBPC) 的取值范围是 ,2 .8例 4：正方形 ABCD-A1B 1C1D1 的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦）， p 为正方形表面上的动点，当弦MN 最长时， PM ? PN 的最大值为解：设球心为 O，球半径为 R，则 R=2, 根据极化恒等式： 4PM ? PN2R24 PO24 PO4又因为 P 为正方形表面

4、上的动点，所以PO 的最大值为正方体体对角线长的一半，即3，所以PM ? PN 的最大值为 2例 5：. ABC 中， C= 90 ,AC=4,BC=3,D 是 AB 的中点，E,F 分别是边 BC ，AC 上的动点，且 EF=1，则 DE ? DF的最小值等EF2151解： DE ?DFDH2（ H 为 EF 的中点）。又因为 CH DHCD,所以 DH CD CH24所以 DE ?DFDH4415 。22211444一、求数量积的值1.（2016年高考江苏卷第13 题）如图，在ABC中， D是 BC的中点， E,F 是 AD的两个三等分点， BA? CA4,BF ?CF1，则 BE ?CE

5、.2.（2012年高考浙江卷理科第15 题）在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM3, BC 10,则AB?AC.3.（2011年高考上海卷理科第11 题）在正ABC 中， D 是 BC 上的点， AB3, BD1,则AB?AD.4.（2015年全国高中数学联赛四川赛区预赛第11 题）在矩形 ABCD 中， AB3, AD4, P 为矩形 ABCD 所在平面上一点，满足PA2, PC21,则 PB ? PD.二、界定数量积的取值范围5.（2015年郑州市高三第一次质量预测理科第11 题）在 Rt ABC 中， CA CB3, M , N 是斜边 AB上的两个动点，且 MN2, 则 CM

6、 ?CN 的取值范围为（）A.2, 5B.2,4C.3,6D.4,62三、探求数量积的最值6.（2017年高考全国 II卷理科第 12 题）已知 ABC 是边长为2 的等边三角形， P 为平面内一点，则PA? PBPC 的最小值是（）A.2B.3C.4D.1237. （ 2018?天津）如图，在平面四边形ABCD 中， AB BC ，AD CD， BAD=120° ，AB=AD=1 若点 E 为边 CD 上的动点，则的最小值为（）A B CD 38. （ 2016 年高考浙江卷理科第15 题）已知向量 a, b, a1, b2, 若对任意单位向量e，均有 a ? eb ? e6, 则

7、 a ?b 的最大值是.四、处理长度问题9. （ 2008 年高考浙江卷理科第9 题）已知 a, b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足ac ? b c0, 则 c 的最大值是（）A.1B. 2C.2D.22110.（2013 年高考重庆卷理科第10 题）在平面内， AB1AB2 , OB1 OB21, AP AB1AB2. 若 OP,则OA2的取值范围是（）A.0,5B.5 ,7C.5 , 2D.7 ,22222211. （ 2017年高考浙江卷理科第15 题）已知向量 a,b 满足： a1, b 2, 则 abab 的最小值是，最大值是.12. （ 2013 年高考天津卷文（理

8、）科第12 题）在平行四边形ABCD 中， AD1,BAD60 ,E为CD的中点 .若 AC ?BE1，则 AB.13. （ 2012 年全国高中数学联赛湖南赛区预赛第11 题）若边长为 4 的正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成平面角大小为 60 的二面角，则边 BC 的中点与点 A 的距离为.14. （ 2012 年全国高中数学联赛黑龙江预赛题）设x2y2F1,F2 分P 是椭圆1上异于长轴端点的任意一点，169学习数学，领悟数学，秒杀数学。O为中心，则PF1 ? PF22.别是其左右焦点，PO五、解决综合性问题15. （2012年高考江西卷理科第7 题）在 Rt ABC 中，点 D 是

9、斜边 AB的中点，点 P 为线段 CD的中点，则PA22PBPC2等于（）A. 2B. 4C. 5D. 1016.（2013年高考浙江卷理科第7 题）已知在ABC中，P0是边AB上一定点， 满足P B1AB，且对于边AB04上任一点 P，恒有 PB ? PCP0B? P0C ，则（）A.ABC90B.BAC90C.ABACD.ACBC17.（ 2013 年浙江省高中数学竞赛试题第5 题）已知直线AB与抛物线 y 2x 交于点 A, B ，点 M为 AB 的中点，C为抛物线上一个动点，若点 C0 满足 C0 A ? C0B min CA ?CB ，则下列一定成立的是 （其中 l 是抛物线过点 C

10、0的切线）（）A. C0M ABB.C0 M lC. C0MC 0BD.C0M1 ABx, xy,y, xy,218.（ 2014 年高考浙江卷理科第8 题）记 max x, ymin x, y设 a, b为平面向量，则y, xy,x, xy,（）A.min ab , abmin a , bB.min ab, abmin a , bC.max a2222D.max a2222b , a babb , abab19.（浙江省鲁迅中学等六校2016 届高三下学期联考理科第8 题）如图 5，在等腰梯形ABCD 中， AB2, CD4, BC5 ,点 E, F 分别为 AD , BC 的中点 . 如果

11、对于常数，在等腰梯形 ABCD 的四条边上， 有且只有8 个不同的点 P，使得 PE ? PF成立，那么的取值范围是（）A.5 ,9B.9 ,11C.9 ,1D.5 ,114202042044420. （ 2005 年高考湖北卷理科第18 题）在 ABC 中，已知 AB466AC 边上的中线 BD5 ，3cos B，6，求 sin A 的值 .1. 7；BA CAADBD4, BF CF12BD21;解得： AD245, BD213,AD2283882故BE CE2 AD27.BD382.-16；AB AC2BM225 16.AM93.15 ；法一： ABADAB1 AC2 AB1AB AC2

12、215AB.2333324.0； 定理：在矩形 ABCD中 ， P为矩形平面内任意一点，设 AC与 BD交点为 O,一定有PA PCPB PD2222AC2PB PD0 .POAO ；故此题由于PAPC,PA PC5.D；取 MN 中点 P， CM22CP21，故当 P 位于 AB 中点时， CP 取得最小值3 2 ，CN CPMP22当 M 位于 A（ B）点时， CP 取得最大值， 根据余弦定理，2222213CAAPCPCA AP cos45 ，CP，选 D 。2226.B；取 AB 中点 E，AC 中点 F，连接 EF，PAPB PCPA PBPA PC2AB2ABPE2PF22PE

13、PF 2，当 PEPF 时等号成立，当P 位于 EF 中点时， 2 PE PF2 111取得最小，答案3222为。217.A ；取 AB 中点 F，连接 EF， AE BE2AF22，根据几何条件， 当 EFCD时，EF最EFEF4小，过B作BG CD交CD于G， C60,BC3，BGBC cos603，此时EFAD BG522，4选 A 。8.设= ， =， =，则=+ ，= ，由绝对值不等式得|? |+| ?|?+ ? |=|；（ + ）? |，于是对任意的单位向量，均有 |（ +） ?| ，由题设当且仅当与同向时，等号成立，此时（+ ）2 取得最大值6，由于 | +|2+| ）2（|22） =10，于是（ ）2|=2|+| |取得最小值4，则 ?=， ? 的最大值是9. C；a cb c2a c b c2a b 2c 2a b 2ac bc0 ab2ca b224，由于 abab2 ，而 c 与ab反向时，取得最大值， 此时c2。210.如图在三角形 OPA 中 M 为 AP 中点，及 2(OM 2MP2) OP2OA2 ，又因为 OMB1B2 , MB 2PM，OM 2MB 22OB221，即 OP 2OA22 ，即7OP22 ，即7OP24211.425； 12.113. 22