(完整版)必修四平面几何中的向量方法(附答案)

1、平面几何中的向量方法 学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一向量方法在几何中的应用(1)证明线段平行问题， 包括相似问题， 常用向量平行 (共线 )的等价条件： ab(b 0)? a b ? x1y2 x2y1 0.(2)证明垂直问题， 如证明四边形是矩形、 正方形等， 常用向量垂直的等价条件： 非零向量 a，b， a b? a·b0? x1x2y1y2 0.a·b(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos |a|b|x1x2 y1y22

2、222.x1y1x2 y2(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|x2 y2.思考 ABC 中， M、 N 分别为 AB、 AC 的中点求证： MN BC.证明设 AB a， AC b，则 BC AC AB b a，又 M、 N 分别为 AB、 AC 的中点11 AM 2a， AN 2b. 111(b a)， AMN 中， MN AN AMb a2221 MN 2BC，即 MN与 BC共线， MNBC .知识点二直线的方向向量(1)直线 Ax By C 0 的方向向量为 (B， A)；直线 y kxb 的方向向量为 (1， k)(2)应用直线的方向向量求两

3、直线的夹角已知直线 l1 ：y k1x b1 与直线 l2：y k2x b2，它们的方向向量依次为v 1 (1，k1)，v2(1 ，k2)当 v1 v ，即 v ·v 1 k k 0 时， l l，夹角为直角；当 kk 1时， v ·v 0，直线 l121 21 212121 2与 l 2 的夹角为 (0 °<<90 °)不难推导利用k1、 k2 表示 cos 的夹角公式：|v1·v2|1 k k |12cos 22 .|v1 |v2|1 k1·1k2思考 1已知直线 l ： 2x y 10，在下列向量： v1 (1,2)

4、； v2 (2,1)； v31， 1 ； v4 ( 2， 4)其中能作为直线 l方向向2量的有：_.答案思考2直线x 2y 1 0 与直线2x y 3 0 的夹角为_；直线2x y1 0 与直线3x y1 0 的夹角为_答案90°45°知识点三直线的法向量(1)直线 Ax By C 0 的法向量为 (A， B)；直线 y kx b 的法向量为 (k， 1)(2)直线法向量的简单应用：利用直线的法向量判断两直线的位置关系：对于直线l 1：A1xB1y C1 0， l2： A2x B2yC2 0，它们的法向量分别为n1 (A1， B1)， n 2 (A2 ，B2)当 n 1n时

5、， l l或 l与 l重合即 A BA B 0?l l或 l与 l重合；212121 22 11212当 n 1n2 时， l1 l2 .即 A1A2 B1 B2 0? l1 l 2.思考直线 l1：(a 2)x (1 a)y 302垂直，则 a 的值与直线 l ：(a 1)x (2a3)y 2 0为 _答案 ±1解析n 1 (a 2,1a)，n 2 (a 1,2a 3)， l1 l2 ， n 1·n2 (a 2)(a 1) (1a)(2a3) (a 1)( a1) 0， a ±1.题型一向量在平面几何中的应用例 1求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余

6、弦值解如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系设 A(2a,0)， B(0,2a)，则 D(a,0)， C(0，a) ，从而可求： AC ( 2a， a)， BD (a， 2a) ， AC·BD不妨设 AC、 BD 的夹角为 ，则 cos |AC|BD | 2a，a ·a， 2a 4a24.2 5a· 5a5a54故所求钝角的余弦值为5.跟踪训练1已知正方形ABCD 中， E、 F 分别是 CD、 AD 的中点， BE、 CF 交于点 P.求证：(1)BE CF ； (2)AP AB.证明 建立如图所示的平面直角坐标系， 设 AB 2，则

7、 A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)， F(0,1)(1)BE (1,2)， CF ( 2， 1) BE·CF ( 1)× ( 2) 2× (1)0， BE CF，即 BECF .(2)设点 P 坐标为 (x， y)，则 FP (x，y 1)， FC (2,1)， FP FC， x 2(y1)，即 x 2y2，同理，由 ，得 y 2x 4，BP BEx 2y 2，6，由得x 5y 2x 48y，5点 P 的坐标为 (6， 855)628 2|AP| 2 |AB55|，即 AP AB.题型二向量在解析几何中的应用例 2 已知 ABC 的三个顶点

8、A(0， 4)，B(4,0)，C( 6,2)，点 D、E、F 分别为边 BC、CA 、AB 的中点(1)求直线 DE 、EF 、FD 的方程；(2)求 AB 边上的高线CH 所在直线方程解 (1) 由已知得点 D ( 1,1)， E( 3， 1)， F(2， 2) ，设 M(x， y)是直线 DE 上任意一点，则DMDE.DM (x 1， y 1)，DE ( 2， 2) ( 2)× (x 1) ( 2)(y 1) 0，即 x y 2 0 为直线 DE 的方程同理可求，直线 EF ， FD 的方程分别为x 5y8 0， xy 0.(2)设点 N(x，y) 是 CH 所在直线上任意一点，

9、则 CNAB. CN·AB 0.又 CN (x 6， y 2)， AB (4,4) 4(x 6) 4(y2) 0，即 x y 4 0 为所求直线CH 的方程跟踪训练2已知点 A(4,0)， B(4,4)， C(2,6) ，试用向量方法求直线AC 和 OB(O 为坐标原点 )的交点 P 的坐标解 设 P(x， y)，则 OP( x，y)， AP (x4， y)，因为 P是AC与OB的交点，所以 P 在直线 AC 上，也在直线OB 上， 即得 OP OB， AP AC，由点 A(4,0)， B(4,4) ， C(2,6) 得，AC (2,6)，OB (4,4) ，得方程组6 x 4 2y

10、 0，4x4y 0x 3，故直线 AC 与 OB 的交点 P 的坐标为 (3,3)解得y 3题型三平面向量的综合应用例 3 如图所示， 在平行四边形ABCD 中，BC 2BA ， ABC 60°，作 AEBD 交 BC 于 E，求 BEEC的值解方法一(基向量法 )设 BA a，BC b， |a| 1， |b| 2.a·b|a|b|cos 60 °1， BD a b.设 BE BC b，则 AE BE BA ba.由 AE BD ，得 AE·BD 0.即 (b a) ·(a b) 0.22 BE52解得 5， EC 3 3.5方法二以 B 为坐

11、标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐标系， 根据条件，设 B(0,0)，C(2,0)，1353A 2，2，D 2，2.又设 E(m,0)，53则BD2，2，13AE m2，2 . 0.由 AE BD ，得 AE·BD5133即 2 m 2 2×2 0，44 BE52得 m 5，所以 EC 6 3. 5跟踪训练3已知P 是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形求证：PA EF且PAEF .证明以 D 为坐标原点，DC所在直线为x 轴， DA所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy(如图所示 ) ，设正方形边长为1，|OP| ，则 A(0,1)，P22， E1

12、，22，22，2 22F2，0 ，于是 PA2， 12 ，22EF2 1， 2 .2 222|PA|1 2 2 22 1，2 2 1，同理 |EF|PA| |EF |， PA EF. 2222PA·EF2 2 1 1 2 2 0， PA EF. PA EF.转化条件证“三心”例 4 (1) 已知 O 是平面上的一个定点， A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OPABAC)OA ()，其中 (0， )，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的(|AB|cos B |AC|cos CA 重心B 垂心C外心D 内心(2)已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线

13、的三个点，动点P 满足 OP OAABAC( )，其中 (0， )，则动点 P 的轨迹一定通过ABC 的()|AB|sin B|AC|sin CA 重心B 垂心C外心D 内心OB OC(3)已知 O 是平面上的一个定点，A，B，C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足 OP2 (A B AC)，其中 (0， )，则动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的 ()|AB|cos B|AC|cos CA 重心B 垂心C外心D 内心 ABAC解析(1) 由已知得AP ( ) ，两边同向量BC 取数量积，得AP ·BC |AB|cos B|AC|cos C AB·BCAC·B

14、C( ) ( |BC| |BC|) 0，故动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的垂心，故选|AB|cos B|AC|cos CB. (ABAC)，其中 (0， )进行移项转化， 设 ABC 的 BC 边(2)对 OP OA|AB|sin B |A C |sin C2上的高为 h，BC 边上的中点为D，则由已知得 AP h(AB AC)，即 APh AD ， 向量 AP 与的轨迹一定通过 ABC 的重心，故选 A.向量 AD 共线，故动点 PABAC(3)设 BC 的中点为 D ，则由已知得 DP ( )，两边同时与向量 BC取数量积，|AB|cos B|AC|cos C AB·BCAC

15、·BC得 DP ·BC () ( |BC| |B C |) 0，故动点 P 的轨迹一定通过 ABC 的|AB|cos B|AC|cos C外心，故选C.答案(1)B(2)A(3)C1已知 ABC，AB a， AC b，且 a·b<0，则 ABC 的形状为 ()A 钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D不能确定2已知 A(1,2)， B( 2,1)，以 AB 为直径的圆的方程是_3在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点 B( 3,4)，若点C 在 AOB 的平分线上且 |OC| 2，则 OC _.4正方形 OABC 的边长为1，点 D ，E 分别为 AB

16、， BC 的中点，试求cosDOE 的值5已知直线l1： 3x y2 0 与直线 l2：mx y 1 0 的夹角为45°，求实数 m 的值一、选择题1在 ABC 中，已知 A(4,1)、B(7,5)、 C( 4,7)，则 BC 边的中线AD 的长是 ()57A2 5B.25C3 5D.2 52点 O 是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足 OA·OB OB·OC OC·OA ，则点 O 是 ABC的 ()A 三个内角的角平分线的交点B 三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点)3在四边形 ABCD 中， AC (1,2)， BD ( 4,

17、2)，则该四边形的面积为 (A. 5B2 5C 5D104若 O 是 ABC 所在平面内一点，且满足 |OB OC| |OB OC 2OA|，则 ABC 的形状是()A 等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形5已知点 A( 3，1)， B(0,0)，C(3， 0)，设 BAC 的平分线 AE 与 BC 相交于 E，那么有 BC CE，其中 等于 ()11A 2B. 2C 3D3 ()6若四边形 ABCD 满足 AB CD 0， (AB AD ) ·AC 0，则该四边形一定是A 正方形B矩形C菱形D直角梯形7已知直线 ax by c 0 与圆 x2 y2 1 相交于 A，B

18、 两点，则 |AB| 3，则OA·OB_.8已知平面上三点 A、B、 C 满足 |AB| 3， |BC| 4， |CA| 5.则 AB·BC BC·CACA ·AB_.9.如图所示，在 ABC 中，点 O 是 BC 的中点过点O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点M、N，若 AB mAM，AC nAN，则 m n 的值为 _111110已知 P、Q 为 ABC 内的两点，且AQ 4AC 2AB ，AP2AC 4AB，则 APQ 的面积与 ABC 的面积之比为_三、解答题11过点 A( 2,1)，求：(1)与向量 a(3,1)平行的直线方程；(2)与

19、向量 b( 1,2)垂直的直线方程12三角形 ABC 是等腰直角三角形， B 90°， D 是 BC 边的中点， BE AD，延长 BE 交 AC 于 F，连接 DF .求证： ADB FDC .13.如图所示， 正三角形 ABC 中，D 、E 分别是 AB、BC 上的一个三等分点，且分别靠近点 A、点 B，且 AE、 CD 交于点 P.求证： BP DC.当堂检测答案1答案A2 答案x2 y2 x 3y 0解析设 P(x， y)为圆上任一点，则AP (x 1， y2) ，BP (x2， y 1)， 由 AP·BP( x 1)(x 2) (y2)(y1) 0，化简得 x2

20、y2 x 3y 0.10 3 103答案5， 5解析已知 A(0,1) ，B( 3,4)，设 E(0,5) ，D ( 3,9)， 四边形 OBDE 为菱形 AOB 的角平分线是菱形 OBDE 的对角线 OD.设 C( x1110，y )， |OD | 32OCOD .310 (x1， y1) 2( 3,9)3 10 10，3 10 ，5510，3 10.即OC 554 解以 OA， OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：11， 1，OD 1，2，OE 2故 cosDOE OD ·OE|OD| ·|OE1×1 1× 1224 .5

21、15;5522即 cosDOE 的值为 45.5 解设直线 l ， l的法向量为n，n，1212则 n 1 (3,1)， n2 (m， 1)由题意：cos 45 °12|3m 1|2.|n·n|10· 1 m|n | · |n2212整理得： 2m2 3m2 0，1解得： m2 或 m 2.课时精练答案一、选择题1答案B3，65，5解析BC 中点为 D2，AD，2 5 |AD | 2 5.2答案D解析 OA·OB OB·OC， (OA OC) ·OB 0. OB·CA 0. OBAC.同理 OA BC， OCAB

22、， O 为三条高的交点3 答案C解析 AC·BD (1,2) ·(4,2) 4 40，1 155. AC BD， S四边形 ABCD |AC| ·|BD × 5× 2224 答案B解析 |OB OC| |CB| |AB AC|，|OB OC 2OA| |AB AC|， |AB AC| |AB AC|， 四边形 ABDC 是矩形，且 BAC 90°. ABC 是直角三角形5答案C解析如图所示，由题知 ABC 30°， AEC 60°， CE3，3|BC| 3， BC 3CE.|CE|6答案 C解析 AB CD 0，

23、AB DC，四边形 ABCD 是平行四边形， 由 (AB AD ) ·AC 0，得 DB·AC 0， DB AC，即此四边形对角线互相垂直，故为菱形17答案2如图，作 OD AB 于 D ，则在 RtAOD 中， OA 1，AD 3解析2 ，所以 AOD 60°， AOB 120°， 所 以 OA ·OB |OA | ·|OB|cos 120 °1 1 1× 1×( 2) 2.8答案 25解析 ABC 中， B 90°，cos A3，cos C4，55 4 16， AB·BC 0， B

24、C·CA 4× 5× 5 3 9.CA·AB5× 3× 5 AB·BC BC·CA CA ·AB 25.9.答案2解析 O 是 BC 的中点， 1 AO 2( AB AC) 又 AB mAM，AC nAN， m n AO 2 AM 2AN. M， O， N 三点共线， m2 n2 1.则 m n 2.10 答案316解析 如图，根据题意，P、 Q 为 ABC 中位线 DE 、 DF 的中点， PQ11BC，而 A 到EF 24PQ 的距离是到 BC 距离的3，根据三角形的面积公式可知，S APQ 3 416S ABC.三、解答题11 解设所求直线上任意一点P(x， y)， A(2,1)， AP (x 2， y 1)(1)由题意知 APa， (