小学奥数系列――行程问题习题及详解

1、行程问题行程问题是小升初考试和小学四大杯赛四大题型之一(计算、数论、几何、行程。具体题型变化多样,形成10多种题型,都有各自相对独特的解题方法。现根据四大杯赛的真题研究和主流教材将小题型总结如下,希望各位看过之后给予更加明确的分类。一般行程问题相遇问题(重点与相离问题,两类问题的共同点是都用到了速度和行程问题几大题型追及问题与领先问题,两个问题的共同点是同向而行,一快一慢,有速度差“火车过桥问题”“流水行船问题”“钟表问题”行程问题是“行路时所产生的路程、时间、速度的一类应用题”,基本数量关系如下:速度×时间=路程;路程÷时间=速度;路程÷速度=时间。注意总行程的

2、平均速度的算法:平均速度=总路程÷总时间,而不是两个(或几个速度相加再除以2。行程问题涉及的变化较多,有的涉及一个物体的运动,有的涉及两个物体的运动,有的涉及多个物体的运动。涉及两个物体运动的,又有“相向运动”(相遇问题、“同向运动”(追及问题和领先问题和“相背运动”(相离问题三种情况。但归纳起来,不管是“一个物体的运动”还是“两个物体的运动”,不管是“相向运动”、“同向运动”,还是“相背运动”,他们的特点是一样的,具体地说,就是它们反映出来的数量关系是相同的,都可以归纳为:速度×时间=路程(路程÷时间=速度,路程÷速度=时间。在各类行程问题中进一步推演

3、的数量关系都依赖于这一基本思想,在学习时要多注意从“简单”到“复杂”的推导过程,重在理解,在理解的基础上形成对各类行程问题中所涉及到的关系式的记忆和正确应用;此类问题的题型非常多且富于变化,但是“万变不离其宗”,希望学习者能深入理解其中包含的数学思想的本源,从而做到“以不变应万变”!解行程问题时还要注意充分利用图示把题中的“情节”形象地表示出来,有助于分析数量关系,有助于迅速地找到解题思路。相向而行的公式:相遇时间=距离÷速度和。相背而行的公式:相背距离=速度和×时间。追及问题的公式:速度慢的在前,快的在后。追及时间=追及距离÷速度差。在环形跑道上,速度快的在前,

4、慢的在后。追及距离=速度差×时间(例如求环形跑道的长度。追及距离÷时间=速度差,追及距离÷速度差=时间。“火车过桥问题”、“流水行船问题”、用行程问题结合图形知识解答的“钟表问题”是几类较特殊的行程问题,在解题时更要注意具体问题具体分析。要正确的解答有关"行程问题”的应用题,必须弄清物体运动的具体情况。如运动的方向(相向,相背,同向,出发的时间(同时,不同时,出发的地点(同地,不同地,运动的路线(封闭,不封闭,运动的结果(相遇、相距多少、交错而过、追及。两个物体运动时,运动的方向与运动的速度有着很大关系,当两个物体“相向运动”或“相背运动”时,此时的运动

5、速度都是“两个物体运动速度的和”(简称速度和,当两个物体“同向运动”时,此时两个物体的追及的速度就变为了“两个物体运动速度的差”(简称速度差。当物体运动有外作用力时,速度也会发生变化。如人在赛跑时顺风跑和逆风跑;船在河中顺水而下和逆水而上。此时人在顺风跑时运动的速度就应该等于人本身运动的速度加上风的速度,人在逆风跑时运动的速度就应该等于人本身的速度减去风的速度;我们再比较一下人顺风的速度和逆风的速度会发现,顺风速度与逆风速度之间相差着两个风的速度;同样比较“顺水而下”与“逆流而上”,两个速度之间也相差着两个“水流的速度”。所谓“逆水行舟,不进则退”就是这个道理。1、相遇问题和相离问题:(1相遇

6、问题:“两物体分别从两地出发,相向而行”,注意关键词“相向”,如果两物体同时出发,相遇时所用时间一定相同,注意对速度和的理解图示:甲 乙甲从A 地出发 乙 从B 地出发关系式:相遇时间=总路程÷速度和 总路程=速度和×相遇时间典型例题:<1>两港相距168千米,一艘客轮和一艘货轮同时从两港相对开出,客轮每小时行24千米,货轮每小时行18千米,几小时后两艘轮船相距21千米?<2>甲乙两车同时从东西两地相向开出,甲车每小时行60千米,乙车每小时行52千米,两车在离中点16千米处相遇。东西两地相距多少千米?<3>A 、B 两地相距470千米,甲

7、车以每小时46千米,乙车以每小时40千米的速度先后从两地出发,相向而行。相遇时甲车行驶了230千米。问:乙车比甲车早出发几小时?<4>甲、乙两车的速度比是3:4,两车同时从两地相向而行,在离中点6千米处相遇,求两地相距多少千米?解法(一:由题意可知,甲乙两车同时开出后,路程比成正比例,总是等于速度比,设两地间路程的一半为X ,则66+-x x =43,解比例得X=42,42×2=84千米即为两地间的距离。 6千米解法(二:甲 乙中点从线段图上我们可以看出,相遇时,甲差6千米到达中点,乙已经过了中点6千米,甲和乙的路程差是6千米的两倍,如果将两地间距离成看成3+4=7“份”

8、的话,相遇时甲和乙的路程差是其中的“一份”。则有6×2÷4334+-=84千米。 多人相遇问题:<5>(解决此类问题同时要理解领先问题甲、乙、丙三人,每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙和乙相遇后,丙又过了2分钟与甲相遇。求:东西两镇相距多少千米。<6>(解决此类问题同时要理解与“封闭路程”有关的行程问题甲乙丙三人沿着湖边散步,同时从湖边的一个地点出发。甲按顺时针方向走,乙与丙按逆时针方向走。甲第一次遇到乙后141分钟遇到丙,再过343分钟第二次遇到乙。已知乙的速度是甲的32,湖的周长是600

9、米,求丙的速度。 多次相遇问题:<6>甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出,甲每小时行75千米,乙每小时行65千米。甲、乙两车第一次相遇后继续前进,分别到达B 、A 两地后,立即按原路返回,两车从出发到第二次相遇共行了6小时,A 、B 两地相距多少千米?<7>一个游泳池长90米。甲、乙二人分别从游泳池的两端同时出发,游到另一端立即返回。照这样往、返游,两人游10分钟,甲每秒游3米,乙每秒游2米,二人会相遇几次?(2相离问题:“两物体从同一地点出发,相背而行”, 注意对“速度和”的理解,注意时间的因素图示:甲 出发点 乙A B关系式:相离距离=速度和×相背而

10、行的时间典型例题,相遇和相离的综合问题举例:A 、B 两地相距420千米,甲车从A 地出发开往B 地,每小时行驶72千米,甲车行驶25分钟后,乙车从B 地开往A地,每小时行驶28千米。两车相距100千米时,甲车共行驶多长时间?(分析各种情况2、追及问题和领先问题(1追及问题:“两物体同向而行,一快一慢,慢者先行,快者追之”图示:慢者先走出一段距离就是需要追及的距离 在快者追时慢者继续往前走快者此时此地追起追到出发点 注意:追上时一共走出的路程不叫追及距离关系式:追及时间=需要追及的距离÷速度差;追及距离=速度差×追及时间速度差=追及距离÷所用时间,近而再根据其他已

11、知条件求出各自速度,从而解决问题。速度差=速度(快的-速度(慢的需要追及的距离也就是慢者先行的距离或者快者开始出发时距慢者的距离。典型例题:<1>晚饭后,小明和爸爸沿同一条公路去散步,小明走得慢,每分钟走60米,所以他先从家出发。5分钟后,爸爸以每分钟80米的速度去追小明,经过多少分钟可以追上?<2> A 、B 两地相距1800米,若甲乙两人分别从A 、B 两地同时出发,9分钟会相遇;如果两人同向而行,则甲30分钟可以追到乙,问:甲从A 地到B 地需要多少小时?<3>甲乙丙三辆车先后从A 地开往B 地。乙比丙晚出发5分钟,出发后45分钟追上丙;甲比乙晚出发1

12、5分钟,出发后1小时追上丙。甲出发后几小时追上乙?解法:设数法解题。<4>上午8时8分,小明骑自行车从家里出发。8分钟后,爸爸骑摩托车去追他。在离家4千米的地方追上了小明,然后爸爸立即回家。到家后,爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候,离家恰好是8千米,这时是几点几分?解法:下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线,虚线是同时间小明走的路线。从线段图中我们可以看出爸爸走了3个4千米的时间,小明只走了1个4千米,小明所行路程是爸爸所行路程的31,相同时间内,路程与速度成正比,则小明的速度是爸爸速度的31。 4千米 4千米爸爸小明家 第一次追上时离家4千米 第二次追

13、上时离家8千米我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况,由于小明的速度是爸爸速度的31,从爸爸第一次开始追小明到追上小明的这段时间内,爸爸行出4千米,小明行出4千米的31(同样是根据相同时间内,路程与速度成正比,小明必须先行出4千米的313 =32,也就是说,小明用8分钟的时间先行出4×32=38千米。小明先用8分钟时间 走出4千米的32 小 明爸 爸进而我们求出小明的速度是38÷8=31千米/分钟,小明8点8分从家里出发,到爸爸二次追上小明时,小明共行8千米,8÷31=24分钟,从而求得第二次追上的时间是8点32分。解题过程:4÷(4+8=31 4

14、5;(1-31= 38(千米 38÷8=31(千米/分钟8÷31=24(分钟 8+24=32(分 答:这时是8点32分。 (2领先问题:“两物体同向而行,在同一出发点同时出发,一快一慢,则快者必领先于慢者”图示:慢 者快 者 快者领先的距离 两者在同一出发点同时出发关系式:领先距离=速度差×所用时间,速度差=领先距离÷所用时间,所用时间=领先距离÷速度差典型例题:<1>甲乙两人练跑步,甲跑步的速度每分钟比乙快503千米,两人从某地同时出发,跑了一段时间后,甲领先乙200米,问此时甲跑了多少秒?<2>小李和老王同时从A 地

15、出发去B 地,小李骑电动车,老王开汽车,2分钟后小李在老王的后方0.5千米, A 、B 两地相距90千米,老王用了3个小时到达B 地,问小李到达B 地时,老王已经到达B 地多长时间了?<3>两辆汽车同时从某地出发,运送一批货物到距离165千米的工地。甲车比乙车早到48分钟,当甲车到达时,乙车还距工地24千米。问:甲车行完全程用了多少小时?注意,此题虽然是“领先问题”的模式,但是却没有用到速度差,路程差的关系式,而是根据题意先求出了乙车的速度,然后直接利用到达目的地的时间差求出快车(题目中的甲车行完全程所用的时间,可见,分析问题重在思维灵活,不能僵化地利用公式。<4>两条

16、公路成十字交叉,甲从十字路口南1200米处向北直行,乙从十字路口处向东直行,甲、乙同时出发,10分钟时,两人与十字路口的距离相等,出发后100分钟,两人与十字路口的距离再次相等,此时他们距离十字路口多少米?与“封闭路程”有关的行程问题:注意以下两点:一是两人同地背向运动,从一次相遇到下次相遇共行一个全程;二是同地同向运动时,甲追上乙时,甲比多行一个全程。典型例题:<1>在300米的椭圆形跑道上,小田和小刘同时同地起跑,如果同向而跑2分30秒相遇,如果背向而跑则半分钟相遇,小齐和小强的速度分别是多少?<2>如图,A、B是圆形跑道的两端,小张在A点,小陈在B点同时出发,反向

17、行走,他们在C点第一次相遇,C点离A点的跑道长80米;在D点第二次相遇, D点离B点跑道长60米,求这个圆形跑道的长度。DABc3、“流水行船”问题:解答这类问题的要素有下列几点:船行使时本身的速度(简称船速、水流速度(简称水速、顺流速度、逆流速度;航程(船行驶的路程、顺流行驶时间和逆流行驶时间,平均速度的算法。基本关系式如下:顺流速度= 船速 + 水速逆流速度= 船速 - 水速(记住这个原理下面的四个关系式也就都理解了顺流速度=逆流速度+ 2×水速逆流速度=顺流速度-2×水速船速(没有水流的情况下船本身的行使速度= (顺流速度+逆流速度÷2水速=(顺流速度 -

18、逆流速度÷2典型例题:<1>一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟,在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟。问:在无风的情况下,他跑100米用多长时间?<2>一艘轮船顺流航行105千米,再逆流航行120千米,共用12小时;若顺流航行60千米,再逆流航行132千米,共用15小时。如果先顺流航行120千米,再逆流航行120千米回到始点,最短需要多少小时?4、“火车过桥”问题解答火车过桥问题的关键是要明确火车“完全”通过大桥所经过的路程:从火车头接触桥的一端开始,到火车尾离开桥的另一端。如下图,我们可以这样理解此一问题:火车“完全”通过大桥所经过的路程也就

19、是火车尾在车头上桥开始到车尾离开桥结束所要经过的路程,也就是“火车的长度+桥的长度”,然后利用路程(桥的长度+火车的长度= 速度(也就是火车的速度×过桥时间。图示:火车上桥时车尾还在距离车头火车下桥是指一个车长的位置 车尾离开桥桥 长由此可见,火车过桥所经过的路程也就是图中车尾经过的路程即火车的长度+桥的长度!典型例题:<1>一座大桥长3400米,一列火车通过大桥时每分钟行800米,从车头上桥到车尾下桥共需4.5分。这列火车长多少米?<2>一列火车车身长200米,用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲,而用12秒开过骑自行车的人乙,那么乙每小时行多少千

20、米?<3>某特训纵队以7千米/时的速度行进,队尾的通讯员以11千米/时的速度赶到队首送一封信,送到后又立即返回队尾,共用0.22小时,求这支队伍的长度。5、“钟表问题”首先需要说明的是,研究钟表时间的数学问题钟表问题不一定都能用行程问题的思想来解答,但是其中相当一部分问题应用到了行程问题中的追及或领先模式。同学们都有这样一个基本常识,钟表的时针、分针和秒针都是做同一方向运动的(当然是顺时针方向,而且显然秒针走的最快,而时针走的最慢。钟表问题常常是围绕时针、分针或秒针的重合、垂直、成直线或夹角的度数等问题来进行研究的。钟面上有12个数字(1到12对应1点到12点,每个数字间都有5个小

21、格,这样,12×5=60个小格,对应分针走60分钟是一个小时。以小格来计算,时针每小时走5小格,分针每小时走60小格(刚好走一个圆周,时针的速度是分针的121,分针每分钟比时针多走1-121=1211小格,在计算分针与时针夹角时,我们更可以根据圆周角=360度,分针每小时走完一个圆周,每份钟走360÷60=6(度对应上面提到的一小格,时针每小时走30度,所以时针每分钟走了30÷60=0.5(度,分针每分钟比时针多走6-0.5=5.5(度,这个度数差也就是我们解决钟表问题经常用到的“速度差”典型例题:<1>6时整时,时针与分针反方向成一条直线,下一次时针

22、与分针反向成一条直线时是几时几分?图示: <2>小明晚上6点钟开始做作业,一直到时针与分针第二次成直角时,作业正好做完,小明做作业花了多少时间?<3>一个旧时钟,时针和分针每隔66分钟重合一次,如早上7点将时钟对准,到第二天早晨时钟的时针再次指向7点时,实际是几点几分?(答案:7点12分钟表问题中不需要应用行程思想的题型举例:有一块表,每小时比标准时间慢一分钟,中午12时调准,下午慢钟指到6时时,标准时间是下午几时几分?这个问题,可以根据“问题表”的指针速度不变,看作钟表与标准时间成正比例来解答6、一般行程问题升学考试中即便考到“一般”行程问题,也不会很直接地给出已知条

23、件,也就是说最终能利用基本关系式解决问题的“时间”、“速度”、“路程”是需要你利用已知条件去推算的。而且考题中很可能涉及到比例的数学思想,应用设数法解题,综合分析法等技巧。另外行程中间有“停留”或速度变化的问题也需要注意,具体问题具体分析。典型例题:<1>小王骑摩托车往返A、B两地。平均速度为每小时48千米,如果他去时每小时行42千米,那么他返回时的平均速度是每小时行多少千米?<2>一辆火车的速度为121千米每小时,现有一块每4小时慢2分钟的表。若用这块表计时,这辆火车的速度是多少?7、注意行程问题中的综合题,举例如下:<1>既涉及相遇又涉及到追及的综合A、

24、B两地相距1800米,若甲乙两人分别从A、B两地同时出发,9分钟会相遇;如果两人同向而行,则甲30分钟可以追到乙,问:甲从A地到B地需要多少小时?<2>相遇问题和领先问题 甲、乙、丙三人,每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从东镇去西镇,丙从西镇去东镇,三人同时出发,丙和乙相遇后,丙又过了2分钟与甲相遇。求:东西两镇相距多少千米。<3>火车过桥问题中有追及和相离的问题一列火车车身长200米,用15秒开过每小时4千米的同方向行走的步行人甲,而用12秒开过骑自行车的人乙,那么乙每小时行多少千米?<4>行程中有停留的,要具体问题具体分析:绕湖一周是24

25、千米,小张和小陈从湖边某一地点同时出发反向而行。小张以每小时4千米的速度走1小时休息5分钟,小陈以每小时6千米的速度每走50分钟休息10分钟。两人出发多长时间第一次相遇?<5>行程问题结合比的应用,重点题型甲乙分别从A、C两地同时出发,匀速相向而行,它们的速度比是5:4,相遇于B地后,甲继续以原来的速度1,向C地的方向前进,而乙则立即调头返回C,且乙的速度比相遇前降低了5这样,当乙回到C地时,甲刚好到达离C地18千米处的D地,那么A、C 之间的距离是多少千米?之所以将此题列为重点题型,原因如下:小学六年级分数、比、百分数、比例是数学知识的重点,而结合分数(分率、百分数、比和比例的行

26、程问题较为复杂、抽象,可以很好地考查同学们综合运用所学知识的思维能力行程问题结合分数、百分数、比和比例的综合问题典型例题解析典型例题一:一辆汽车和一辆摩托同时从A、B两地相对开出。汽车每4,相遇后汽车继续行3.2小小时行50千米,摩托车的速度是汽车速度的5时到达B地。A、B两地相距多少千米?线段图分析:从相遇点开始,到B地汽车从A点出发汽车共用3.2小时相遇时汽车走出“5份”相遇时摩托车走出“4份”A B两车此时相遇摩托车从B点出发解法(一相遇问题中,同时两地出发,相向而行的两车相遇,相遇时行驶的时间相同,路程比等于速度比(正比例关系,则我们算出速度比也就算出了路程比。4 =5 :4,50&#

27、215;3.2÷4×(5+4=360(千米1 :5答:A、B两地相距360千米。解法(二直接利用“相遇时行驶的时间相同”的原理:50×3.2=160(千米两车相遇地点到B点的路程4= 4(小时相遇时摩托车所用时间,也就是相遇时汽车所160÷(50×5用时间(50+40×4 = 360(千米典型例题二:甲乙两人同时从从A、B两地出发,相向而行,出发时他们的速度比是3 :2,相遇后,甲继续向B地走,但是速度提高了20%,乙继续向A地走,速度比相遇前提高了30%。这样,当甲到达B地时,乙离A地还有14千米。那么A、B两地间的距离是多少千米?

28、线段图分析:甲A B乙此时相遇14千米解法(一设数法解题,设甲、乙两人相遇时间是1小时,那么也就是甲在相遇前,走完全程的53,用了1小时,则甲的速度就是每小时行全程的53,甲提速后每小时可以行完全程的53×(1+20%= 2518,那么提速后行完剩下的52用掉的时间是52÷2518=95(小时;同理,乙在相遇前,走完全程的52,用了1小时,52×(1+30%= 2513(乙提速后的“速度”,在甲从相遇至到达B 地这段时间内,乙走了全程的2513×95=4513,这时离A 地还差14千米,那么14千米相当与全程的(53-4513。 设甲、乙两人相遇时间是1

29、小时 53×(1+20%= 2518 52÷2518=95(小时 52×(1+30%×95=4513 14÷(53-4513=45(千米 答:A 、B 两地间的距离是45千米。解法(二相遇时,甲走了“3份”路程,乙走了“2份”路程,相遇后甲乙的速度比为3×(1+20%:2×(1+30%=18:13,从相遇开始,甲到达B 点还要走“2份”路程,这是乙行了2÷18×13=913“份”路程。 3×(1+20%:2×(1+30%=18:13 2÷18×13=913 (3+2

30、-(2+913=914 14÷914×(3+2=45(千米典型例题三:从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段,路程全长是20千米。各段路程之比是1:2:3,某人走这三段路所用时间比是4:5:6。已知他上坡时的速度是每小时2.5千米,则此人从甲地到乙地共需多长时间?线段图分析:2份1份 3份解法:20×3211+=310(千米 310÷2.5÷4×(4+5+6=5(小时 答:此人从甲地到乙地共需5小时。典型例题四:一辆汽车从甲地开往乙地,如果把车速提高20%,可以比原定时间提前1小时到达;如果按原速行驶120千米后,再将速度提高25

31、%,则可提前40分钟到达。那么甲、乙两地相距多少千米?线段图分析及解法: 第一种情况 速度提高20%,则速度提高到原来的56则所用时间将是按原速行驶所用时间的65 因为路程一定,速度与时间成反比,据此我们建立反比例模型,设速度为x ,时间为y ,路程为k(路程k 一定,则有xy=k, 1+20%=56 ,(56x × (65y=k,时间缩短为按原速行驶所需时间y 的65,则1-65也就是1小时的时间所对应的分率。 解题时书写1+20%=56 56×65=1 1÷(1-65=6小时 (即按原速行驶需6小时第二种情况 120千米速度提高25%,则速度提高到原来的45

32、则所用时间将是按原速行驶所用时间的54 与第一种情况同理,可以算出按原速行完除去120千米的剩余部分用310小时,则按原速行驶120千米所用的时间是6-310=38(小时,由此可以求出原速度,在根据第一种情况的结论用速度乘以时间求出全程。解题时书写:1+25%=45 45×54=1 40分钟=32小时,32÷(1-54=310(小时 120÷(6-310×6=270(千米答:甲、乙两地相距270千米。典型例题五:如图,甲、乙分别从A 、C 两地同时出发,匀速相向而行,它们的速度比是5:4,相遇于B 地后,甲继续以原来的速度向C 地的方向前进,而乙则立即调

33、头返回C ,且乙的速度比相遇前降低了51,这样,当乙回到C 地时,甲刚好到达离C 地18千米处的D 地,那么A 、C 之间的距离是多少千米? A B C D线段图分析及解法:甲A B C D 乙如图,甲、乙相遇于B 点时,所行路程AB 与AC 之间的比等于他们的速度比5:4,而当“乙的速度比相遇前降低了51”后,甲、乙所行的路程比应是5:4×(1-51=25:16,如果我们设BC 之间的路程为X 千米,则有BD:BC=25:16,而BD=BC+CD=BC+18,建立比例式后,问题迎刃而解。解题时书写: 解:设BC 之间的路程为X 千米。 4×(1-51=516 5:516=

34、25:16 (x+18:x=25:16,解比例得x=32 32÷4×(5+4=72(千米答:A 、C 之间的距离是72千米较复杂的行程问题 【名师导航】行程问题是根据速度、时间、路程之间的关系,研究物体运动情况的问题。解决行程问题常用方法有:1、分解。将综合性的题先分解成若干个基本题,再按其所属类型,直接利用基本数量关系解题。2、图示。把题中复杂的情节,通过线段图清楚地表示出来,帮助分析思考。3、简化。对于一些较复杂的问题,解答时可以先退一步,考虑最基本的情况,使复杂的问题简单化,从而找到解题途径。4、挖掘。把题目中隐藏的条件给挖掘出来,特别是对一些关键字眼的仔细推敲,对解

35、题起至关重要的作用。 【例题精讲】例题1、甲、乙两车分别从A ,B 两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C 点.如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A ,B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距C 点12千米;如果乙车速度不变,甲车每小时多行5千米,且两车还从A ,B 两地同时出发相向而行,则相遇地点距C 点16千米.甲车原来每小时行多少千米?解: 方法一:(12+16÷5=5.6小时,51 5.628÷=515420286AB =÷-= (千米,420÷6=70(千米.甲车原来每小时走1270301216=+ (千米.方法二:设甲、乙两人原

36、来的速度分别为x 千米/时,y 千米/时,那么AC=6x ,BC=6y ,在第二、三次相遇中利用甲、乙两人所用时间相等,可得方程组:即甲原来的速度是每小时30千米.方法三:设第一次改变速度,甲、乙相遇在D 点,第二次改变速度,甲、乙相遇在E 点.在第二次相遇中,假设走满6小时,甲走到了C 点,乙则走到了F 点,FC 长:5×6=30(千米,FD 长:30-12=18(千米.所以乙提速5千米/时后,甲、乙速度比为DC :DF=12:18=2:3. 同样的,在第三次相遇中,假设走满6小时,乙走到了C 点,甲则走到了G 点,CG 长:5×6=30(千米,EG 长:30-16=14

37、(千米,所以甲提速5千米/时后,甲、乙速度比为EG :CE=14:16=7:8.设甲原来速度为x 千米/小时,乙原来速度为y 千米/小时,则253578x y x y=+=解得 3040x y = .即甲原来的速度为每小时30千米.例题2、甲、乙两人同时从山脚开始爬山,到达山顶后就立即下山,他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍,而且甲比乙速度快.两人出发后1小时,甲与乙在离山顶600米处相遇,当乙到达山顶时,甲恰好下到半山腰.那么甲回到出发点共用多少小时?解:将上山甲、乙速度分别记为a 、b ;则下山时甲、乙速度为1.5a 、1.5b . 用h 表示山顶到山脚的距离,a a b+=,即

38、有4b=3a . 由左图知:6006001.5h h a a b -+=即600600h h -+=;得h=3600米即山顶到山脚的距离为3600米.再变回到“甲下山速度是上山速度的1.5倍”.由1小时后,甲距山脚还有3600-600=3000米知,甲到山脚还需3000÷(40001.5=O.5小时.所以甲自出发到回到山脚共用1+0.5=1.5小时.做一做1、男、女两名田径运动员在长110米的斜坡上练习跑步(坡顶为A,坡底为B.两人同时从A点出发,在A,B之间不停地往返奔跑.已知男运动员上坡速度是每秒3米,下坡速度是每秒5米,女运动员上坡速度是每秒2米,下坡速度是每秒3米.那么两人第

39、二次迎面相遇的地点离A点多少米?解:开始下山时,男运动员的速度大于女运动员的速度,有男运动员到达坡底B 所需时间为110÷5=22秒,此时女运动员才跑了22×3=66米.现在女运动员的速度不变,还是每秒3米,而男运动员将从B上坡到A,速度变为每秒3米.男、女运动员的距离为110-66=44米,所以当男运动员再跑44÷(3+3×3=22米后男女运动员第一次迎面相遇,相遇点距B地22米,如下图所示.(本题4图所标注数字均是距坡底B的距离数 所以当女运动员到达坡底B时,男运动员又跑了22米,即到达距B地44米的地方,如下图所示. 此后,女运动员从坡底B上坡到A

40、,速度变为每秒2米,男运动员的速度还是每秒3米,所以当男运动员再跑110-44=66米到达坡顶A时,女运动员才跑了66÷3×2=44米,即距离坡底B地44米的地方,如下图所示. 这时,女运动员的速度不变还是每秒2米,而男运动员的速度变为每秒5米,男、女运动员相距110-44=66米,所以当男、女运动员第二次相遇时,男运动员又跑了166(525477÷+=米,如下图所示. 点1477米. 即第二次相遇的地点距以例题3、某人沿电车线路行走,每12分钟有一辆电车从后面追上,每4分钟有一辆电车迎面开来.假设两个起点站的发车间隔是相同的,求这个发车间隔. 解:设电车的速度为

41、a ,行人的速度为b ,因为每辆电车之间的距离为定值,设为l .由电车能在12分钟追上行人l 的距离知,112a b =-; 由电车能在4分钟能与行人共同走过l 的距离知,4l a b=+ ,所以有l=12(a-b=4(a+b,有a=2b ,即电车的速度是行人步行速度的2倍.那么l=4(a+b=6a ,则发车间隔上:66l a a a=. 即发车间隔为6分钟.例题4、A ,B 两地相距105千米,甲、乙两人分别骑车从A ,B 两地同时相向出发,甲速度为每小时40千米,出发后1小时45分钟相遇,然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑.在他们相遇3分钟后,甲与迎面骑车而来的丙相遇,而丙在C 地追上乙.

42、若甲以每小时20千米的速度,乙以每小时比原速度快2千米的车速,两人同时分别从A ,B 出发相向而行,则甲、乙二人在C 点相遇,问丙的车速是多少?解: 甲以40千米/小时的速度行驶l 小时45分钟,行驶了454017060+= 千米,那么剩下的105-70=35千米为乙在1小时45分钟内行驶的,所以乙的速度为3351204÷=千米/小时,如下图所示. 又甲、乙再行驶3分钟,那么甲又行驶了340260=千米,乙又行驶了320160=千米.即在甲、乙相遇3分钟后,乙行驶至距B地35+1=36千米的地方,甲行驶至距A地70+2=72千米的地方,此地距B地10572=33千米,如下图所示. 而

43、如果甲以20千米/小时的速度,乙的速度增加2千米/小时至22千米/小时,那么相遇点C距B地为:10522552022=+千米,如下图所示. 那么,当丙与甲相遇在距B地33千米的地方时,乙在距B地36千米的地方,而后丙行驶至C地(距B地55千米时,乙也在C地,即相遇.在这段时间内,乙行驶了55-36=19千米,而丙行驶了55-33=22千米,所以丙的速度为22320231919=千米/小时,如下图所示.例题5、从甲市到乙市有一条公路,它分成三段.在第一段上,汽车速度是每小时40千米;在第二段上,汽车速度是每小时90千米;在第三段上,汽车速度是每小时50千米.己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍,

44、现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发,相向而行,1小时20分后,在第二段从甲到乙方向的13处相遇.那么,甲、乙两市相距多少千米?解:设第一、二、三段公路的长度依次为a 、b 、c ,有a=2c ,如下图所示: 易知当另一汽车到达第二、三段交接点处,即行驶的路程为c 时,一汽车行驶的路程为4050c ,而第一段长度为第三段长度的2倍,所以甲行驶至第一段的4022505a ÷=处,如下图所示. 所以当另一汽车行驶23b 路程的时间内,一汽车行驶了3153a b +的距离,同时减去13b 的里程,则另一汽车行驶了13b 的路程,一汽车行驶了35a 的路程.由两汽车行驶的时间相等知315340

45、90a b =,即a:b=20:81,如下图所示· 设第一段路程为20k ,则第二段路程为81k ,第三段路程为lOk ;k k ÷+÷=,解得53k =而甲乙全程为20k+81k+10k=111k ,有51111853=. 所以甲、乙两市相距185千米.解: 先求出当第一次甲追上乙时的详细情况,因为甲乙同向,所以为追击问题. 甲、乙速度差为8-6=2米/秒,当甲第一次追上乙时,甲应比乙多跑了一圈400米,即甲跑了400÷2×8=1600米,乙跑了400÷2×6=1200米.相遇后,甲的速度变为8-2=6米/秒,乙的速度变为

46、6-0.5=5.5米/秒·显然,甲的速度大于乙,所以仍是甲超过乙.当甲第二次追上乙前,甲、乙速度差为6-5.5=0.5米/秒,追上乙时,甲应在原基础上再比乙多跑一圈400米,于是甲又跑了400÷0.5×6=4800米,乙又跑了400÷0.5×5.5=4400米.甲第二次追上乙后,甲的速度变为6-2=4米/秒,乙的速度变为5.5-0.5= 5米/秒.显然,现在乙的速度大于甲,所以变为乙超过甲.当乙追上甲时,甲、乙速度差为5-4=1米/秒,乙追上甲时,乙应比甲多跑一圈400米,于是甲又跑了400÷1×4=1600米,乙又跑了40

47、0÷1×5=2000米.。 这时甲的速度变为4+0.5=4.5米/秒,乙的速度变为5+0.5=5.5米/秒并以这样的速度跑完剩下的全程.在这过程中甲共跑了1600+4800+1600=8000米,乙共跑了1200+4400+2000=7600米.甲还剩下10000-8000=2000米的路程,乙还剩下10000-7600=2400米的路程.显然乙先跑完全程,此时甲还剩下240040042000 4.5365.51111-=米的路程.即当领先者到达终点时,另一人距终点43611米.评注:此题考察了我们的分析问题的能力,也考察了我们对追击这一基本行程问题的熟练程度.做一做2、龟

48、兔赛跑,全程5.2千米,兔子每小时跑20千米,乌龟每小时跑3千米.乌龟不停地跑;但兔子却边跑边玩,它先跑了1分钟然后玩15分钟,又跑2分钟然后玩15分钟,再跑3分钟然后玩15分钟,.那么先到达终点的比后到达终点的快多少分钟? 解:乌龟到达终点所需时间为5.2÷3×60=104分钟.兔子如果不休息,则需要时间5.2÷20×60=15.6分钟.而兔子休息的规律是跑1、2、3、分钟后,休息15分钟.因为15.6=1+2+3+4+5+0.6,所以兔子休息了5×15=75分钟,即兔子跑到终点所需时间为15.6+75=90.6分钟.显然,兔子先到达,先乌龟

49、104-90.6=13.4分钟达到终点.例题7、A,B两地相距125千米,甲、乙二人骑自行车分别从A,B两地同时出发,相向而行.丙骑摩托车以每小时63千米的速度,与甲同时从A出发,在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回,与甲相遇也立即返回.若甲车速度为每小时9千米,且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第零次回到甲处,甲、乙二人相距45千米.问:当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距多少千米?解:我们设乙的速度为9x ,即甲的x 倍.当乙、丙第一次相遇的时候,设甲走了“1”,则乙走了“x ”,丙走了“7”,所以有“7”+“x ”=125,于是“1”1257x=+,此时甲、丙相距“

50、7”-“1”=“6”. 这样丙第一次回到甲时,甲又向前行639+“6”×9=34“”,丙又行了“6”-32144=“”“”,乙又行了3344x x =“”“” 所以,甲、乙此时相距2133312537(7(71254444747x x x x x x-=-=-=+“”“”“”千米.有丙第二次回到甲处的时,125千米的路程相当于百3712547x x-+千米,即甲、乙相距2371254547x x -= +,所以2716725x x -= +,7475x x -=+,解得79x =所以乙的速度为79979x =千米/小时. 当第三次甲、丙相遇时,甲、乙相距373434545452747

51、455x x -=+千米.当第四次甲、丙相遇时,甲、乙相距3812755=千米,而题中甲、乙相距20千米,此时应在甲、丙第三次和第四次相遇的某个时刻.有81192055-=千米,而甲、乙的速度比为9:7,所以甲从甲、丙第四次相遇处倒退199*=+千米即可. 又因为丙的速度是甲的7倍,所以丙倒退的路程应为甲的7倍,于是甲、丙相距171171(7117.18010+=千米当甲、乙二人相距20千米时,甲与丙相距17.1千米.评注:甲从A地往B地出发,乙从B地往C出发,丙从A地开始在甲乙之间来回往返跑动.当甲丙第1次相遇时所需的时间为t,(甲、丙同时出发时,算第0次相遇则甲丙第2次相遇时还所需的时间为

52、v v v vt v v v v-+乙丙甲丙乙丙甲丙则甲丙第3次相遇时还所需的时间为2v v v vt v v v v- +乙丙甲丙乙丙甲丙则甲丙第n次相遇时还所需的时间为1nv v v vt v v v v- +乙丙甲丙乙丙甲丙由此可知,丙在相邻的2次相遇之间所走路程为等比数列.例题8、一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇,必须倒车,才能继续通行.已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍,两车倒车的速度是各自速度的15,小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍.如果小汽车的速度是每小时50千米,那么要通过这段狭路最少用多少小时?解:如果一辆车在倒车,另一辆的速度一定大于其倒军速度,

53、即一车倒出狭路另一车也驶离狭路,倒车的车可立即通过.小汽车倒车的路程为947.241=+千米,大卡车倒车的路程为91 1.841=+千米.小汽车倒车的路程为1 50105 =千米/小时,大卡车倒车的速度为111050353=千米/小时当小汽车倒车时,倒车需7.2÷10=O.72小时,而行驶过狭路需9÷50=0.18小时,共需0.72 +0.18=0.9小时;当大卡车倒车时,倒车需103÷=小时,而行驶过狭路需5090.543÷=小时,共0.54+0.54=1.08/小时.显然当小轿车倒车时所需时间最少,需0.9小时.做一做3、在一个沙漠地带,汽车每天行驶

54、200千米,每辆汽车载运可行驶24天的汽油.现有甲、乙两辆汽车同时从某地出发,并在完成任务后,沿原路返回.为了让甲车尽可能开出更远的距离,乙车在行驶一段路程后,仅留下自己返回出发地的汽油,将其他的油给甲车.求甲车所能开行的最远距离.解: 甲车尽可能行驶更远,则乙车离开甲车时,应保证甲车还有可行驶24天的汽油.设此时乙车已行驶了x天,有甲也行驶了x天,乙返程也需要x天,有x+x+x+24=48,所以x=8,即乙车行驶8天后返程.留下还可行驶8天的汽油,将剩下的24-8-8=8天的汽车给甲车.所以加上开始的24天的汽油,甲车共得到24+8=32天的汽油.那么甲车单程最多可行驶32÷2=1

55、6天.即甲车所能开行的最远距离为16×200=3200千米.【重点练习】1、有甲、乙、丙三辆汽车,各以一定的速度从A地开往B地,乙比丙晚出发10分钟,出发后40分钟追上丙;甲比乙又晚出发20分钟,出发后1小时40分钟追上丙,那么甲出发后需分钟才能追上乙.解:根据已知条件得知,乙用40分钟所走的距离与丙用50分钟所走的距离相等;甲用100分钟所走的距离与丙用130分钟所走的距离相等.故丙用130分钟所走的距离,乙用了1045040130=(分钟,即甲用100分钟走的距离,乙用104分钟走完.由于甲比乙晚出发20分钟,当甲追上乙时,设甲用了x 分钟,则乙用了(x +20分钟.依题意得20

56、解:两人一共跑的路程为(2.8+2.23060=9000(米,去掉二人第一次相遇时跑的100米,二人每跑200米,就相遇一次,共相遇的次数为(9000-100÷200=44.5,取整得44次.加上第一次相遇,共44+1=45(次.解:设乙骑自行车走一圈要x 分钟,环行公路长为S 米,则有S x S S = +7045,解得x =126(分钟.4、有人沿公路前进,对面来了一辆汽车,他问司机:“后面有自行车吗?”司机回答:“十分钟前我超过一辆自行车”,这人继续走了10分钟,遇到自行车.已知自行车速度是人步行速度的三倍,汽车的速度是步行速度的 倍.解:设人行速度为每分钟1单位,则自行车速度

57、为每分钟3单位,再设汽车速度为每分钟x 单位,依题意有(x -310=(3+110,故有x =7.5、某校和某工厂之间有一条公路,该校下午2点钟派车去该厂接某劳模来校作报告,往返需用1小时.这位劳模在下午1点钟便离厂步行向学校走来,途中遇到接他的汽车,便立刻上车驶向学校,在下午2点40分到达.汽车速度是劳模步行速度的 倍.解:如下图,A 是学校,C 是工厂,B 是相遇地点. A B C汽车从A 到C 往返需要1小时,从A 到B 往返要40分钟即32小时,这说明AC AB 32=,即也说明汽车从A 到B 要用40÷2=20(分钟.而劳模由C 到B 要用1小时20分,即80分钟.是汽车的

58、4倍,又易知AB =2BC ,即汽车的路程是劳模的2倍,于是汽车的速度是劳模步行速度的42=8(倍.6、游船顺流而下,每小时前进7公里,逆流而上,每小时前进5公里.两条游船同时从同一个地方出发,一条顺水而下,然后返回;一条逆流而上,然后返回.结果,1小时以后它们同时回到出发点.在这1小时内有 分钟这两条船的前进方向相同?解:设1小时顺流时间为x 分钟,则逆流时间为(60-x 分钟,由于路程一定,行驶时间与速度成反比例,故x :(60-x =5:7.解得x =25,60-x =35.当两条船同时从同一地方出发,一条顺流走25分钟后,开始返回(逆流行走,这时另一条还在逆流前进,这其间的35-20=10(分钟.两船同时向上游前进.解: 小刚走3公里用的时间是4343=÷(小时;小华骑自行车的速度为(2043939=÷+-(公里/小时;小明到火车站所用时间为(2.14912209=÷-+÷(小时;小刚到火车站用的时间为(2.12031243=÷-+÷(小时;小明、小刚开车前到达火车站的时间为2-1.2=0.8(小时=48(分.即他俩在开车前48分钟到达车站.解:本题要求每天从甲、乙两地同时相对开出一辆客车,每辆客车运行5天再休整 2 天,需 7 天后再往回开,这样为保证每天在线路上有两辆客车在