(完整word版)同济上册高数(一些重要公式及知识点)

1、同济上册高数总结微分公式与积分公式2(arcsin x)1(tgx)sec x1x2(ctgx)csc2 x(arccos x)1(secx)secx tgx1x2(cscx)cscx ctgx( arctgx )1(a x )a x ln a1 x21( arcctgx )1(log a x)1x2x ln atgxdxln cosxCdx2tgx Csec xdxctgxdxln sin xCcos2 xdxcsc2 xdxctgxCsecxdxln secxtgxCsin 2 xcscxdxln cscxctgxCsecx tgxdxsecxCdx1xcscxctgxdxcscxCa2x

2、2a arctg aCaxdxa xCdx1xaln aCx2a22alnashxdxchxCxdx1axCa2x22alnxchxdxshxCadxarcsin xCdxln( xx2a 2 )Ca2x2ax 2a22sin n xdx2cosnn1 I nI nxdx200nx2a2 dxxx2a2a 2ln( xx2a2 )C22x2a 2 dxxx2a2a 2 ln xx 2a2C22a 2x2 dxxa2x2a2arcsin xC22a三角函数的有理式积分：2u1u 2x， dx2dusin x2， cos xu2，u tg1 u21 u12两个重要极限：公式 1 lim sin x

3、1公式 2 lim (1 x)1 / xex 0xx 0有关三角函数的常用公式和差角公式：和差化积公式：sin()sincoscossinsinsin2 sincoscos()coscossinsin22tg ()tgtgsinsin2 cossin1 tgtg22coscos2coscosctgctg1ctg ()22ctgctgcoscos2sinsin22三倍角公式 :半角公式：sin(3 )=3sin-4sin3( )sin( /2)=±(1- cos )/2cos(3 )=4cos3( -)3cos Cos( /2)=±(1+cos )/2降幂公式 :万能公式：s

4、in2( )=(1-cos(2 )/2=versin(2 )/2 sin =2tan( /2)/1+tan2( /2)cos2( )=(1+cos(2 )/2=covers(2cos)/2 =1-tan2( /2)/1+tan2( /2)tan2( )=(1-cos(2 )/(1+cos(2 )tan =2tan( /2)/1-tan2( /2)推导公式tan +cot =2/sin2 tan -cot =-2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2 =2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2正弦定理：余弦定理：abcsin Asin B2Rsin Cc2a2b22

5、ab cosC反三角函数性质 ： arcsin xarccos xarctgxarcctgx22( 特别要注意这两个恒等式，证明的话，只需做出左边的函数的导数为0 即可）高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：n(uv) ( n)Cnku (nk ) v(k)k 0u( n)vnu ( n 1) vn( n 1) u( n 2 ) vn(n 1) ( n k 1) u (n k ) v(k)uv (n)2!k!中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：柯西中值定理： f (b)F (b)f (b)f (a)F (a)f ( a)f ( )F ( )f ()(ba)当 F( x)x时，柯西中值

6、定理就是拉格朗日中值定理。曲率：弧微分公式：ds1y 2 dx, 其中 ytg平均曲率：K.: 从 M 点到 M 点，切线斜率的倾角变化量；s： MM 弧长。sM 点的曲率：Klimdy.sdss0(1 y2 3)直线： K 0;半径为 a的圆： K1 .a定积分的近似计算：bb a ( y0f ( x)y1Lyn 1 )anbba1f ( x)yn )y1Lyn 1 n ( y0a2定积分应用相关公式：功： W F s水压力： FpA引力： Fk m1 m22 , k为引力系数rb函数的平均值： y1f ( x)dxb a ab均方根：1f 2 (t )dtba a微分方程的相关概念：一阶微

7、分方程： yf (x, y)或P( x, y)dx Q(x, y)dy0可分离变量的微分方程 ：一阶微分方程可以化 为g ( y)dy的形式，解法：f (x)dxg ( y)dyf (x)dx得： G( y)F (x) C称为隐式通解。齐次方程：一阶微分方 程可以写成 dyf ( x, y)，即写成 y 的函数，解法：dx(x, y)x设y ，则 dydu，du(u)， dxdu分离变量，积分后将y 代替 ，uuxux(u) uuxdxdxdxx即得齐次方程通解。一阶线性微分方程：1、一阶线性微分方程： dyP(x) yQ ( x)dx当 Q( x)0时 ,为齐次方程， yCeP( x)dx当

8、 Q( x)0时，为非齐次方程，yP( x )dxP ( x )dx( Q (x)edxC ) e、贝努力方程： dyQ (x) yn，2P(x) y(n 0,1)dx全微分方程：如果 P(x, y) dx Q ( x, y) dy 0中左端是某函数的全微分方程，即：du (x, y)P( x, y) dx Q( x, y) dy 0，其中： uP( x, y)， uQ ( x, y)xyu( x, y)C应该是该全微分方程的 通解。二阶微分方程：2ydy， f ( x)时为齐次d0dx2P(x)dxQ( x) yf (x)时为非齐次f ( x)0二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：(*) y py qy 0，其中 p, q为常数；求解步骤：、写出特征方程：)r2pr q，其中r2，的系数及常数项恰好是(*)式中y , y , y的系数；1(0r2、求出 ( )式的两个根 r1 ,r23、根据 r1 ,r2的不同情况，按下表写出(*) 式的通解：r1， r2的形式(*) 式的通解两个不相等实根 (p240)yr1 xr2 xqc1ec2 e两个相等实根 ( p 24q0)y(c1c2 x) er1 x一对共轭复根 ( p