(完整版)勾股定理(知识点+题型分类练习),推荐文档

1、勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 a 2 b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。B弦 ca 勾AC常用关系式b 股由三角形面积公式可得：AB· CD=AC· BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c 有下面关系： a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中 c 为斜边。3. 勾股数 ：满足 a2 b2 c2 的三个 正整数 叫做勾股数（注意： 若 a，b， c、为勾股数，那么 ka， kb， kc 同样也是勾股数组。 ）记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3

2、,4,5；6,8,10；7,24,25；8,15,17等5,12,13用含字母的代数式表示n 组勾股数：n21,2n,n 21 （ n2, n为正整数）；2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 为正整数）m2n 2 ,2mn, m2n 2 （ mn, m ， n 为正整数）4. 判断直角三角形 ：（ 1）有一个角为 90°的三角形是直角三角形。（ 2）有两个角互余的三角形是直角三角形。（ 3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。（ 4）如果三角形的三边长 a、 b、 c 满足 a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股

3、四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（ 1）确定最大边（不妨设为 c）；（ 2）若 c2 a2 b2，则 ABC是以 C 为直角的三角形；若 a2 b2 c2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若 a2 b2 c2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）5. 直角三角形的性质（ 1）直角三角形的两个锐角互余。可表示如下：C=90° A+ B=90°1/11（ 2）在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半。 A=30°可表示如下：BC=1 AB2 C=90°（ 3）直角三角形斜边上的中线等于

4、斜边的一半。 ACB=90°可表示如下：CD=1AB=BD=AD2D为 AB的中点6. 数轴上表示无理数第一步：分析所有表示二次根式中被开方数可以写成哪两个有理数的和第二步：在数轴上画出其中一个有理数，以该有理数为垂足做垂线，在垂线上标出第二个有理数的长度。连接端点和原点，以原点为圆心，端点为半径画圆，于数轴交点即为所有无理数。2/11勾股定理专项练习一、基本应用考点 1：勾股定理1. 下列是勾股数的一组是（ D ）A.4,5,6B.5,7,12C.12,13,15D.21,28,352.ABC中，A： B： C=2：1：1，a，b，c 分别是 A、 B、 C的对边，则下列各等式中成

5、立的是（）A.a 2+b2=c2B.a2=2b2C.c2=2a2D.b2=2a23. 矩形 ABCD,AB=5 cm,AC=13 cm,则这个矩形的面积为60 cm2.4.如图，在 ABC中， BAC=90o， AB=15，AC=20，ADBC，垂足为 D，则 ABC斜边上的高 AD=125. 已知等腰三角形底边长为 10cm，腰长为 13cm，则腰上的高 为( C )A.12cmB.60cmC.120cmD.10 cm1313136.一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为6 ， 8，107.（易错题）已知直角三角形的两边x， y 的长满足 x4+y3 =0，则第三边的长为5或

6、7.8.若直角三角形的三边长分别为2，4， x，则 x 的可能值有（）A.1 个B.2个C.3个D.4个9.已知直角三角形两边长分别为3、4，则第三边长为10. 已知直角三角形的两直角边之比为3：4，斜边为 10，则直角三角形的两直角边的长分别为11. 如图，分别以 Rt ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S 、S 、S 表示，容易得出S 、S、12312S 之间有的关系式 S1+S =S32312. （易错题）如图，已知在 Rt ABC中 ACB=90°， AB=4，分别以 AC，BC为直径作半圆，面积分别记为S1， S2，则 S1+S2 的值等于2 13. 如图，所有的

7、四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为7cm，则正方形 A， B， C，D 的面积之和为49 cm2。第 4 题第11题第12题第13题3/1114. 在 RtABC， C=90°（ 1）已知 c=17， b=8, 求 a。（ a=15）（ 2）已知 a b=1 2， c=5, 求 a。（ a=5 ）（ 3）已知 b=15， A=30°，求 a，c。（ a=5 3， c=103）15. 若直角三角形的三边长分别是n+1， n+2， n+3，求 n。（ n=2）16. 若直角三角形两直角边的比是3： 4，斜边长是 20，求此直角三角形的面积。 （

8、 S=96）考点 2. 勾股定理逆定理1. 以下列各组线段为边长，能构成三角形的是_，能构成直角三角形的是 _ （填序号）3， 4，5 1 ，3， 4 4 ，4，6 6 ，8，10 5 ，7，2 13 ，5，12 7 ，25，242. 在下列以线段a、 b、 c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（D）A.a=9 ， b=41， c=40B.a=b=5， c= 5 2C.a b c=3 45D.a=11，b=12， c=153. 若一个三角形三边长的平方分别为：32， 42， x2，则此三角形是直角三角形的x2 的值是（ D ）A42B52C7D52或 74. 下列 说法不正确的是（

9、 B ）A. 三个角的度数之比为134的三角形是直角三角形B. 三个角的度数之比为345的三角形是直角三角形C. 三边长度之比为345 的三角形是直角三角形D.三边长度之比为51213的三角形是直角三角形5. 若 ABC的三边 a、 b、c，满足（ a b）（a2 b2 c2） =0，则 ABC是（C）A. 等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形6. 有下列说法： 若两直角边的平方和等于斜边的平方，则此三角形是直角三角形；在 ABC中，a、b、c 分别是 A、B、 C 的对边， 若 a2+b2 c2，则 ABC是钝角三角形； 在 ABC中，a、b、c 分别是 A、

10、 B、 C 的对边，若 b2+c 2=a2，则 C=900；在 ABC中， a、b、 c 分别是 A、 B、 C 的对边， C4/11900，则 a2 +b2 c2。其中正确的是（D）A. B.C.D.7. 下列说法中正确的有（）如果 A+ B+ C=3： 4： 5，则 ABC 是直角三角形；如果A+ B= C，那么 ABC 是直角三角形；如果三角形三边之比为6：8：10，则 ABC是直角三角形；如果三边长分别是n2-1 ，2n，n2+1（ n 1），则 ABC是直角三角形。A.1 个B.2个C.3个D.4个8. 若 c13 +|a-12|+(b-5)2直角三角形 .=0, 则以 a、 b、

11、c 为三边的三角形是9. 如果 ABC的三边 a,b,c满足关系式a 2b18 + （ b-18 ） 2+ c30 =0 则 ABC是三角形。10. 已知 :a 、 b、c 为 ABC的三边 , 且满足 a2c2-b 2c2=a4-b 4, 试判断 ABC的形状 .解 : a2 c2-b 2c2 =a4-b 4, c2(a 2-b 2)=(a 2+b2)(a 2-b 2). 2 2 c =a +b . 2 ABC是直角三角形.问 :(1) 在上述解题过程中, 从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:(2) 错误的原因为除数可能为零;11. 已知 ABC的三边为a、b、c，且 a : b : c

12、1 : 1 :2 ，求三角形三个内角度数的比 （ A：B：C=1:1：: 2）12. ABC的三边 a、b、c 满足 | a b 50 | a b 32 (c 40)20 试判断 ABC的形状（直角三角形）13. 已知 ABC的三边为a、 b、 c，且 a+b=4，ab=1， c=14 ，试判定 ABC的形状。（直角三角形）5/1114. 若 ABC的三边 a， b， c 满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c ，试判定 ABC的形状（直角三角形）15. 一根 24 米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为多少米？此三角形的形状为？（ 6； 8； 10；直角三角

13、形）16. 若 ABC的三边长为 a, b, c，根据下列条件判断 ABC的形状 .（ 1） a2+b2+c2+200=12a+16b+20c(2)a3 a2b+ab2ac2+bc2 b3=0考点 3. 数轴表示无理数（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）1. 用圆规与尺子在数轴上作出表示13 的点，并补充完整作图方法2. 在数轴上画出表示17 的点？3. 在数轴上作出表示3-2 的点6/11考点 4: 勾股定理几何应用1. 如图在矩形 ABCD中 ,M 是 CD中点， AB=8，AD=3（1）求 AM的长；（ 2）MAB是直角三角形吗？为什么？（ AM=5；不是直角三角形）2. 如图所示，在R

14、t ABC中， ACB=90°， CD是 AB 边上高，若AD=8， BD=2，求 CD（ CD=4）3. 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE= 3 m，斜面坡角为30°，求木箱端点E 距地面 AC的高度 EF。（ EF=3）4. 有一块土地形状如图所示, B= D=90° ,AB=20 米 ,BC=15 米 ,CD=7 米 , 请计算这块地的面积. （ S=234）5. 四边形 ABCD中， B=90°， AB=3，BC=4， CD=12，AD=13，求四边形 ABCD的面积。（ S=36）CBAD6. 如图，在

15、四边形 ABCD中,AB=12 cm,BC=3 cm,CD=4 cm, C=90°(1) 求 BD的长 ; （ BD=5） (2) 当 AD为多少时 , ABD=90° ?（ AD=13）7/117. 农民牛伯伯承包了一块四边形水稻田ABCD，他量得边长AB=90m，BC=120m，CD=130m，DA=140m，且边 AB、BC正好位于两条相互垂直的公路的拐角处，请你帮牛伯伯计算一下这块水稻田的面积。（ S=13800）8. 如图所示的一块地，AD=12m， CD=9m， ADC=90°， AB=39m，BC=36m，求这块地的面积（二）、实际应用：1. 梯子滑

16、动问题：1.一架长2.5 m 的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7 m （如图），如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4m ，那么梯子底端将向左滑动0.8米2.如图，一个长为 10 米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 米，如果梯子的顶端下滑 1 米，那么，梯子底端的滑动距离51-1米3.小明想知道学校旗杆的高度， 他发现旗杆上的绳子垂到地面上还多1 m，当他把绳子的下端拉开5 米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为12米4.如图，一根 12 米高的电线杆两侧各用15 米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是18。86第1题第2题第4题5. 如图，一个 3 米长的

17、梯子 AB，斜着靠在竖直的墙 AO上，这时 AO的距离为 2.5 米求梯子的底端B 距墙角 O多少米？（ 1.66 ）如果梯的顶端A 沿墙下滑 0.5 米至 C算一算，底端滑动的距离近似值（结果保留两位小数）（ 0.58 ）8/116. 如图所示，梯子 AB靠在墙上，梯子的底端A 到墙根 O 的距离为2m，梯子的顶端B 到地面的距离为7m现将梯子的底端 A 向外移动到 A, 使梯子的底端 A到墙根 O的距离为 3m，同时梯子的顶端 B 下降到 B，那么 BB也等于 1m吗 ?（不等于 1，小于 1）2. 爬行距离最短问题：1.如图，正方体盒子的棱长为2，AB 中点为 M，一只蚂蚁从点M沿正方体

18、的表面爬到点C ，蚂蚁爬行的最短距离是（B）A.13B.17C.5D.252.如图，一块砖宽AN=5 ，长 ND=10， CD上的点 F 距地面的高FD=8，地面上A 处的一只蚂蚁到 F处吃食，要爬行的最短路线是17cm3.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A 和 B 是这个台阶两相对的端点， A 点有一只昆虫想到B 点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B 点的最短路程是 25分米？4. 一只蚂蚁从长、宽都是3，高是 8 的长方体纸箱的A 点沿纸箱爬到B 点，那么它所爬行的最短路线的长是10.5. 在一个长为2 米，宽为1 米的矩形草地上，如图堆放着一

19、根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且 >AD，木块的正视图是边长为0.2 米的正方形， 求一只蚂蚁从点A 处，到达 C 处需要走的最短路2.6第1题第2题第3题第4题第5题3. 方向问题：1. 一座垂直于两岸的桥长 15 米 , 一艘小船自桥北头出发 , 向正南方向驶去 , 因水流原因 , 到达南岸后 , 发现已偏离桥南头9 米 , 则小船实际行驶了_334 _米.2. 一职工下班后以50 米 / 分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6 分 , 又沿南北马路向南走了19.2 分到家 , 则他的家离公司距离为（D）A.100mB.500mC.1 240mD.1 000m3. 有一次，小明坐着轮船由A 点出发沿正东方向AN航行，在A 点望湖中小岛M，测得 MAN 30°，当他9/11到 B 点时，测得 MBN 45°， AB 100 米，你能算出AM的长吗？（ x=50+503）MABN4. “远航” 号、“海天” 号轮船同时离开港口， 各自沿一固定方向航行， “远航” 号每小时航行 16 海里，“海天”号每小时航行12 海里，它们离开港口一个半小时后相距30 海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？（西北方向）5. 一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15 千