从Logistic模型走向混沌参考模板

1、从Logistic模型走向混沌为进一步了解混沌的意义，我们考虑离散动力系统这是一个差分方程. 微分方程通过差分化可化为差分方程. 种群(昆虫)模型中按代计算其种群数(虫口数)而两代之间不重迭时便可用差分方程表示，此时其模型又称为虫口模型.最简单的虫口模型是Logistic方程 （*）这是一个单参数离散动力系统，如图函数有两个不动点. 如有，称为不动点，当而互不相等时称为周期n点.易证明当时不 管初值如何方程的解即时的点均收敛于不动点. 而当时初值的方程(6.60)的解收敛于两个周期2点.因此为方程2 / 13(6.60)的分支点.随着的逐渐增大，方程(6.60)从两个周期2点变为四个周期4点，

2、再八个周期8点，等等. 这种逐步加倍的分支称为倍分支. 用计算机可绘出方程(6.60)的参数与周期点关系的倍分支图，如图(6.35).当时方程(6.60)出现混沌解. 可能不收敛于任何点，到处游荡，是一个奇异吸引子.且存在对初值的敏感性. 对线段上的连续映象，李天岩和York曾给出著名的“周期3蕴涵混沌”的定理（Li-York混沌定理） 设是一个区间, 连续. 如中有一点,使,满足或 (6.61) 则对每一个，在中有的一个周期的周期点. 且中有一个不含周期点的不可列集,满足(A) 对中的每两个有 .(B) 对中的每一个及中的周期点有Li-York定理给出了混沌的严格数学定义.后来人们就把满足L

3、i-York定理结论的集合称为Li-York混沌集. 后来发现,可以将相空间中Lorenz方程的轨线通过Pocincare映射映射为平面上的,而进一步可分解为. 而满足线段映射存在混沌的Li-York定理条件,如图(6.36)所示,从而说明Lorenz方程存在混沌. 图(6.36) Lorenz方程的Poincare映射李天岩和York首先给出了混沌的数学定义，但仅对线段映射而言. 后来又出现各种混沌的定义，而且发现了多种满足混沌性态的系统，如Henon映射、强迫Duffing方程等. 同时进一步探讨通向混沌的道路，研究判断混沌的各种方法，以及发现在物理、力学、化学、气象、股票市场等自然科学、

4、社会科学中的混沌. 由Lorenz方程引发的混沌的概念出现后，人们发现已在早期研究过的KAM定理、Smale马蹄、Melnikov定理中亦存在混沌，这是与Li-York混沌不同的另一类型的混沌. 后面将接着进行介绍(见§6.6). C. 典 故(8) Lorenz吸引子 E.N.Lorenz毕业于麻省理工学院(M.I.T.)气象系，1948年起在M.I.T.做博士后工作，主要兴趣在全球和大陆尺度的大气结构动力学.1955年得到了M.Thomas辞职而空缺的位置和科研项目.项目是用计算机统计天气预报，当时用的是线性统计方法.他接手后提出用不是线性类型的方程组进行检验.选择了大大简化被滤

5、波的数值天气预报方程式，并购买了内存为4k32bi字长的小型计算机，一次乘法约17ms,打印一行数字约10s.开始时选择14个变量的方程组，经压缩又压缩，最后变成12个.参数中包含驱动模式天气所需要的外热源的强度和分布，这样可以改变参数进行试验.但总是出现毫无用处的稳定状态.经多次试验后，最后发现了一个解，它明显地模拟出在用水模拟地球空气的转盘实验中所观察到的振荡.这时，他认识到需要一个解是非周期的方程组才可能否定线性预报.这是1959年，他准备将这碰巧找到的一个合适的方程组及其试验结果写成“动力方程组解的统计预报”报告参加在东京举行的数值天气预报会议.在进一步进行试验时，数值方法是以6小时为

6、增量计箅未来天气，4步即1天打印1次12-14个变量值，约1分钟模拟1天.为把打印出的数值排成1行，数值四舍五入到三位数字.有一次，为了更为详细地检查，决定重复某些计算.停机后重新输入再进行计算，他在走廊上喝了一杯咖啡，约1小时，计算机已模拟了1个月的天气.但打印出不同的数值，开始以为是真空管或其他计算机部件坏了.经检查才发现是输入时因舍入误差引起的.从而发现了方程组的解对初值敏感这个混沌现象.1961年到M.Thomas建立的旅行者天气中心访问时，B.Seltzmann告诉他用下面加热产生的对流流体运动的7个方程的方程组的数值解中有一个解稳定不下来，经查看其中4个变量很快变得非常小.他回到M

7、.I.T.，取仅有3个变量的方程组，得到了他长期寻找的系统.这便是Lorenz方程，它并不能非常好地描述实际对流运动，主要说明一个确定性的系统能以最简单的方式表现出非周期的形态.当时是湍流研究的热潮.他以“确定性的湍流”为题投稿气象科学杂志，编辑认为方程缺少湍流的性质，改以“确定性的非周期流”发表.由于Lorenz方程的解有界但是在两个不稳定状态中交替且不规则地振荡，与一般的吸引子不同，是一个奇异吸引子.1963-1964年Lorenz在气象科学杂志等杂志上发表了4篇有关论文.但仅在气象学家中流传.1972年Lorenz还为美国科学发展协会会议准备一份报告和新闻公报，其题目为“可预报性：在巴西

8、一只蝴蝶翅膀的拍打能够在美国得克萨斯州产生一个龙卷风吗?”. Lorenz被称为“蝴蝶效应”提出者，混沌理论之父. Lorenz于2008年4月16日逝世,享年90岁.虽然Lorenz已发现了混沌现象.但还需要靠数学家的努力才能得到科学界的公认，成为一门新学科，这是另一个故事了(见后).文39(9) Li-Yorke混沌的故事 混沌的定义是首先由李天岩和J.A.Yorke在论文“周期3蕴含混沌”中给出的，这篇开创混沌新学科的文章的发表经过后来由李天岩作了介绍.1972年左右李天岩是美国马里兰大学的研究生，他的博士导师J.A.Yorke在大学的“流体动力学与应用数学所”工作，所里有一个气象研究项

9、目，由A.Felle教授主持.1972年A.Felle教授将Lorenz所写的关于“气象预测”模式所的4篇文章介绍给Yorke教授，认为文章过于理论化、数学化，也许搞数学的会比较感兴趣.他们读了那些文章，觉得很有意思.1973年4月， Yorke在办公室中对李说“我给你一个好的思想”.这即是Li-Yorke定理，其原始出发点在Lorenz的文章中，李当时即说“这太适合数学月刊了!”两个星期后，李完全证明了这个定理.他们写好文章，真的投给数学月刊.但给退了回来，认为过于偏向研究性，不宜发表，或转寄或修改.因文章内容与李的博士论文无关.李把它压了下来.1974年是马里兰大学数学系的生物数学“特别年”，请了著名的普林斯顿大学R.May教授来校讲学，最后一次介绍Logistic离散模型，提及当参数较大时迭代值在整个区间中四处跑，他无法解释这现象，认为也许是计算误差所致.Yorke在送May上飞机时，把那篇在桌上躺了近一年的