(完整word版)异面直线所成的角求法-总结加分析,推荐文档

1、异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点） ：补形平移法： “补形法 ”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用 “补形法 ”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法1在空间四边形ABCD 中，AD BC 2， E，F 分别为 AB 、CD 的中点， EF3 ，求 AD 、BC 所成角的大小解：设 BD 的中点 G，连接 FG， EG。在 EFG 中EF 3FGEG1 EGF120°AD 与 BC 成 60°的角。2正ABC 的边长为 a，S 为ABC 所在平面外的一点， SA

2、 SB SC a，E，F 分别是 SC和 AB 的中点求异面直线 SA 和 EF 所成角答案： 45°3 S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图SA SB SC，且ASB BSC CSA，M 、N 分别是 AB 和 SC 的中点求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值2证明： 连结 CM ，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QNSMS QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角N连结 BQ，设 SCa，在 BQN 中51SM214CBN 2a NQ 24 a BQ 4aBCOSQNB BN2NQ2BQ210MA2BNNQ54如图，在直三棱柱ABC A 1B1C1

3、 中， BCA 90°， M 、N 分别是 A 1B1 和 A 1C1 的中点，若 BCCACC1，求 BM 与 AN 所成的角解：连接 MN ，作 NGBM 交 BC 于 G，连接 AG，易证 GNA 就是 BM 与 AN 所成的角设：BCCACC12，则 AGAN 5 ，GNBM6 ，cos GNA 65530 。265105如图，在正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， E、F 分别是 BB1、CD 的中点求 AE 与 D1 F 所成的角。D1C1证明：取 AB 中点 G，连结 A 1，FG，A1B1G因为 F 是 CD 的中点，所以 GF AD ，又 A 1D1AD，所以

4、1D1，EGF AF故四边形 GFD1 1 是平行四边形，1 1。DCAA GD F设 A 1G与AE相交于H，则1是AE与1所成的角。ABA HAD F从而因为 E 是 BB 1 的中点，所以Rt1AGABE,1GAH,1°AGA A=A HA=90 ,即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。D6如图 1 28 的正方体中， E 是 A D的中点ECAF(1)图中哪些棱所在的直线与直线BA成异面直线 ?(2)求直线 BA和 CC所成的角的大小；(3)求直线 AE 和 CC所成的角的正切值；(4)求直线 AE 和 BA所成的角的余弦值解：(1)BDCAB(图 128) A平面 BC

5、，又点 B 和直线 CC都在平面 BC内，且 BCC, 直线 BA与 CC是异面直线同理，正方体12 条棱中的 C D、DD、 DC、 AD 、B C所在的直线都和直线BA成异面直线(2) CC BB， BA和 BB所成的锐角就是 BA和 CC所成的角 ABB=45° BA和 CC所成的角是 45°(3) AABBCC，故 AE 和 AA所成的锐角 A AE是 AE 和 CC 所成的角在 RtAAE中， tanAAE A E 1 ，所以 AE 和 CC所成角的正切值是1AA22(4)取 B C的中点 F，连 EF、 BF，则有 EFA B AB, ABFE 是平行四边形，从

6、而BFAE, 即 BFAE 且 BF=AE. BF 与 BA所成的锐角 A BF就是 AE 和 BA所成的角设正方体各棱长为2，连 AF，利用勾股定理求出ABF的各边长分别为FAB22 ，AFBF5 ，由余弦定理得：55cos A BF (2 2 )2( 5)2( 5)21022255AMB(图 129)7. 长方体 ABCD A 1B1C1 D1 中，若 AB=BC=3 ，AA 1=4，求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。解法一： 如图，过 B1 点作 B1E BC1 交 CB 的延长线于 E 点。则DB1或其补角就是异面直线DB1 与BC1 所成角，连结DE交AB于M，5，EDE

7、=2DM=3cos17 341arc cos 734 。DBE= DB E=170170解法二： 如图，在平面 D1DBB1 中过B点作BEDB1 交1B1 的延长线于，则1就是异面直线 DB 1 与DEC BE1 所成的角，连结1，在1 1中，BCC EB C EC1 1°，15，cos 1BE=734， C1BE=arc cos 7 34 。B E=135C E=3C170170练习：8. 如图， PA矩形 ABCD ，已知 PA=AB=8 ， BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值为。9.在长方体 ABCD- A 1B1C1D1 中，若棱 B B 1=BC=1 ， AB

8、=3 ，求 D B 和 AC 所成角的余弦值.中位线平移法： 构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。于 ，过点作1，则为所求的异面直线解法一：如图连结 B1 交BC10OEDBBOEDB1C0与 BC1 所成的角。连结，由已知有1，1，3 5，cosBOE= 734EBB D=34BC =5 BE=21707 34 BOE= arc cos解法二：如图，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OEDB1，过 E 点作 EFC1B，则 OEF或其补角就是两异面直线所成的角，过O 点作 OM DC，连结 MF 、OF。则 OF=73 ，2co

9、s OEF=7 34 ，异面直线 B1D 与 BC1 所成的角为 arc cos 734 。170170解法三： 如图，连结 D1交DB1 于O，连结1A，则四边形1D1 为平行四边形。在平B1 交DABC或其补角就是异行四边形 ABC 1 1 中过点O作EFBCAB、11于 、 ，则DOFDD CEF面直线 DB1与 BC1所成的角。在ADF中 DF=3 5 ，cos DOF= 734 ，21707 34 DOF= arc cos。课堂练习10. 在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。ADBEC补形平移法： 在已知图形外补作一个相

10、同的几何体，以例于找出平行线。解法一： 如图，以四边形ABCD 为上底补接一个高为4 的长方体 ABCD-A 2B2 C2D2，连结DB，则 DB DB， C BD或其补角就是异面直线 DB1与 BC所成的角，连 C D ，21212112则 C12 2 为Rt，cos12734，异面直线DB1与BC1 所成的角是D CCBD =170arc cos 734 。170课堂练习：11. 求异面直线 A 1C1 与 BD 1 所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 的面 BC1 上补上一个同样大小的长方体，将 A 1C1 平移到 BE，则 D1BE 或其补角就是异面直线 A1C1

11、 与 BD1所成的角，在BD1E 中，BD1=3，二、利用模型求异面直线所成的角模型 1 引理：已知平面 的一条斜线 a 与平面 所成的角为 1，平面 内的一条直线 b 与斜线 a 所成的角为 ，与它的射影 a所成的角为 2。求证： cos= cos1·cos2。在平面 的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、 B 连接 OB，则 OBb.在直角 AOP 中， cos在直角 ABC 中， cos12AOP.aAPAB.A1cAO2O在直角 ABP 中， cosABB b.AP所以 cos1 cosAOABABcos2AOAPAP所以 c

12、os1 cos 2cos证明：设 PA 是 的斜线， OA 是 PA 在 上的射影，OB/b，如图所示。则 PAO=1， PAB=， OAB= 2，过点 O 在平面 内作 OBAB ，垂足为 B，连结 PB。OAAB，cos2AB。可知 PB AB 。所以 cos1， cos=PA=OAPA所以 cos= cos1· 2。cosAbPOB利用这个模型来求两条异面直线a 和 b 所成的角，即引理中的角。需：过 a 的一个平面 ，以及该平面的一条斜线b 以及 b 在 内的射影。12. 如图， MA 平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，试求异面直线 MB 与

13、 AC 所成的角。M解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB ，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45°，直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45°，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为 ，满足DC1ABcos =cos45 °· cos45，所°=以直线 AC 与 MB 所成的角为 60°。213. 已知三棱柱 ABCA1 B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（D ）C1（A ）3（ B）5734

14、（C）4(D)44A 11BCDAB解：设 BC 的中点为 D，连结A1 D，AD ，易知A1 AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角 ,由三角余弦定理，易知 coscos A1 AD cosDABADAD3.故选 DA1 AAB414. 如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形， BAD=90°， AD/BC ，AB=BC=a ， AD=2a，且 PA底面 ABCD ，PD 与底面成 30°角， AE PD 于 D。求异面直线AE 与 CD 所成的角的大小。P解：过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA底面 ABCD

15、可知，E直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF，直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 DAE ，其大小为 60°，D射影 AF 与直线 CD 所成的角为 CDA ，其大小为 45°，所以直线与直AF线所成的角 满足 cos=cos60°· cos452°=，所以其大小为 arccos2 。 BC44模型 2定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC 、BD 间的夹角为，则有证明：BD ? ACBD BD COS而BD BA ADBD?ACBAAD ?ACBA?ACAD?ACAB2AC2BC2AD2AC2CD 2AD 2BC2AB2CD

16、 2222所以有：15. 长方体 ABCD A 1B1C1D1 中， AB=AA 1=2cm， AD=1cm，求异面直线 A 1C1 与 BD 1 所成的角。解：连结 BC1 、A 1B 在四面体为，易求得由定理得：所以二、向量法求异面直线所成的角16. 如图，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A1B1 中点 H，连结 GH，有 GH/A 1E。过

17、F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、DD 1 于点 R、S，连结 SH，连结 GS。由 B1H/C1D1/FS，B1H=FS，可得 B1F/SH。在 GHS 中，设正方体边长为 a。6GH=a（作直线 GQ/BC 交 BB 1 于点 Q，A 1D 1HB 1C1SQGFEARDBCP连 QH，可知 GQH 为直角三角形），HS= 6 a（连 A 1S，可知 HA 1S 为直角三角形）， GS=26 a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连24PD，可知四边形 GPDS 为直角梯形）。 CosGHS= 1。6所以直线 A 1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 1 。A 1D16解法

18、二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体，B1C1所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用EF点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用向量的方法来求出两条直线间的夹角。AD以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1 为z轴，设BC长度为 。BC则点 A 1 的坐标为（ ， ， ），点2E 的坐标为（ 1， 0， 1），022点 B1 的坐标为（ ，），点F的坐标为（ 2，1，1）；002所以向量 EA1 的坐标为（ -1，2，1），向量 B1 F 的坐标为（ 2， 1， -1），所以这两个向量的夹角 满足cos =EA1 B1F=(1)2211(1)1。=-

19、| EA1 | |B1F |( 1)2(2)2(1)2(2)2(1)2(1) 26所以直线 A 1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为1617. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 ，求 cos的值。（平移法也可）A解：由已知得，空间向量 AB ， AC ， AD 不共面，且两两之间的夹角均为 60°。由向量的加法可以得到11NAM =（AB+AC），NC=AD+AC22D所以向量 AM 与向量NC 的夹角 （即角 或者 的补角）满足 cos= AMNC，其中|AM | |

20、NC|·1（AB+AC）·（1）AM NC=2AD+AC2=1 （1AB ·AD + AB ·AC +（1AD ）·AC + AC ·AC ）222BMC= 1 a2 （ 1 + 11 +1）= 1 a2；2424221（11232；|AM |=2AB+AC ）· （AB+AC）=4（1+1+1）a =4a2211112322|NC | =（2AD + AC ）·（AD+AC ）= +12a =4a。所以 cos=| cos |=。24318. 已知空间四边形ABCD 中，AB=CD=3 ，E、F 分别是 BC、A

21、DFD=1：2，EF= 7 ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上点 G，使 AG ：GC=1： 2。连结 EG、 FG，可知 EG/AB ，FG/CD， 3EG=2AB， 3FG=CD。由向量的知识可知EF =EG +GF =2 BA+1CD ，33设向量 BA 和 CD 的夹角为 。则由|EF |2=（ 2 BA+1CD ）·（2BA+13CD ） =4+1+4cos=7，3331得 cos= ，所以 AB 和 CD 所成的角为 60°。2上的点，且 BE：EC=AF：AFGDBEC19. （思考题）如图，已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，底

22、面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120°.求： (1)AC1 的长；(2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值 .技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.解:(1)|AC1|2AC1AC1( AA1AC )( AA1AC )( AA1ABAD )( AA1ABAD )| AA1 |2| AB|2|AD|22 AA1 AB 2 AA1AD2 ABAD由已知得 :| AA1 |2b2 ,| AB |2|AD|2a2AA1 , ABAA1 , AD120 ,AB, AD90AA1ABb a cos1201

23、 ab, AA1ADb a cos1201 ab, AB AD 0,22| AC1 |22a2b22ab,|AC1 |2a 2b22ab.依题意得,|AC|2a, ACABAD(2)BD1ADBAAA1ADABACBD1 ( ABAD)( AA1ADAB )AB AAADAAAB ADAD 2AB 2AB ADab11|BD1 |2BD 1BD1( AA1ADAB)( AA1ADAB)| AA1 |2|AD|2|AB|22 AA1AD2 ABAD2 AA1AB 2a2b2| BD1 | 2a2b2cos BD1, ACBD1 AC|BD1|AC|BD1 与 AC 所成角的余弦值为b4a 2.2

24、b2b4a 22b 2判断是非： (1)(3)(8)(10) 正确，其余错；选择： 1(C) ；2(D) ；3(D) ；4(D) 5(2) 相交， (5) 平行，其余异面；（ 6）：(D) ，取 AB 中点 M ，CC1 中点 N，连 B1E 和 B1F；（7）答案： (A) ，延长 B1A1 至 M，使 A1MA1D1，连 MA，取 AB中点 N8(D) ；9(E) ；10(D) ；11(C) ；三4，取 AD 中点 E，则 MEN 90°；3四7 ，取 AC 中点 F，连 EF、BF，求得 BE 1AD ，BF 1AC32；5252五25 ，分别取 AC 、B1 1 的中点、 ，

25、则PMQN是矩形，设CC1MQ ，则MP1a；CP Qa25六1，取 AC 中点 F，连 EF、BF，则 EF4，BEBF36异面直线所成的角- 作业班级：姓名：学号：一、判断是非 (下列命题中，正确的打 “”，错误的打 “×”)(1)梯形的四个顶点在同一平面内；(2)对边相等的四边形是平行四边形；(3)平行于同一直线的两直线平行；(4)垂直于同一直线的两直线平行；(5)两条直线确定一个平面；(6)经过三点可以确定一个平面；(7)无公共点的两直线异面；(8)两异面直线无公共点；(9)两异面直线可以同时平行于一直线；(10)两异面直线可以同时垂直于一直线；(11)不同在一个已知平面内的

26、两直线异面；(12)互相垂直的两条直线必可确定一平面二、选择题1. 没有公共点的两条直线的位置关系是 ( )(A) 平行(B) 异面(C)平行或异面(D) 不能确定2. 分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是 ( )(A) 异面(B) 平行(C)平行或异面(D) 平行或异面或相交3. 两条异面直线指的是 ( )(A) 在空间不相交的两条直线(B)某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线(C)分别位于两个不同平面的两条直线(D)不同在任一平面内的两条直线4. a、b 是异面直线， b、 c 也是异面直线，那么 a、 c 的位置是 ( )(A) 异面(B) 异面或平行(C)异面或相交(D) 相交、平行或异面5. 说出正方体中各对线段的位置关系：(1) AB 和 CC1；(2)A1C 和 BD1；(4)A1C1 和 CB1； (5)A1B1 和 DC；(3)A1A 和 CB1；(6)BD 1 和 DC.6. 在棱长为 1 的正方体 ABCD A 1B1C1D1 中，M 和 N 分别为 A 1B1 和 BB1 的中点，那么直线AM 与 CN 所成角的余弦值是 ()( A)31032( B)(C)5(D)21057. 如图， A 1B1C1 ABC 是直三棱柱 (三侧面为矩形 )， BCA=90°，点 D1、F1