考研数学基础班讲义1

1、-高等数学-第一章函数、极限、连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。第一节数列极限与函数极限【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：；洛必达（）法则。【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无

2、穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（）法则求未定式极限的方法。【考点分析】数列极限的考点主要包括：定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。一、数列的极限1.数列的极限无穷多个数按一定顺序排成一列：称为数列，记为数列，其中称为数列的一般项或通项。设有数列 和常数A。若对任意给定的，总存在自然数，当n>N时，恒有，则称常数A为数列的极限，或称数列收敛于A，记为或。没有极限的数列称为发

3、散数列。收敛数列必为有界数列，其极限存在且唯一。2.极限存在准则（1）定理（夹逼定理）设在的某空心邻域内恒有，且有， 则极限存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，有类似结论. （2）定理：单调有界数列必有极限. 3.重要结论：（1）若，则，其中为任意常数。（2）。（3）。【考点一】（1）单调有界数列必有极限. （2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为.（3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为.【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。（2）判定数列的单调性

4、主要有三种方法：计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。当时，计算. 若，则单调递增；若，则单调递减。令，将n改为x，得到函数。若可导，则当时，单调递增；当时，单调递减。【例1·证明题】设数列满足证明数列的极限存在并求极限.【答疑编号911010101】1.X0>0X0>0 ,假设 Xn>0 , n2 Xn>0 , 假设成立 Xn>0 , , n1 ，n1 时 Xn+1Xn 且令，因为，由极限的保号性知令n， a2=2【例2·证明题】设f（x）是区间上单调减少且非负的连续函数，证明数列的极限存在。【答疑编号911010102】例2 f（x）且

5、f（x）0 f（x） 又 f（x）00 0an0 ， 且an+1an 存在【考点二】（夹逼准则）设有正整数，当时，且，则.【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。【例3·计算题】计算极限：【答疑编号911010103】例3 SinX0 ,根据积分的不等式定理若在a ，b f（x）g（x），则。 令n0 0 0（取右端点） （取左端点）【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当连续时，有， 【例4

6、83;计算题】求下列极限：【答疑编号911010104】【例5·选择题】等于（）【答疑编号911010105】【考点四】设，则。也就是说，将数列中的正整数改为连续变量，令，则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。 【例6·解答题】设在x=0某邻域内可导，且.求极限.【答疑编号911010201】6. f（0）=1 ，f（0）=2 令 1 再利用重要极限 【例7·选择题】设, 则极限等于（）【答疑编号911010202】 而 【例8·证明题】设，证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。（2）设【答疑编号911010203】要证:有根令

7、 （1）令，至少存在使F（xn）=0 F（x）在严格单减则F（xn）=0 且 xn 唯一8.（2） 在内在上严格单减二、函数的极限【考点五】也就是说，函数极限存在且等于A的充分必要条件是，左极限与右极限都存在，并且都等于A。 【评注】在求极限时，如果函数中包含或项，则立即讨论左右极限和，再根据【考点五】判断双侧极限是否存在。【例9·解答题】确定常数a的值，使极限存在。【答疑编号911010204】不存在 X<0X0 , x>0令a=3-a【考点六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可能地化简。化简的主要方法：（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等

8、价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去；（2）将极限值不为零的因子先求极限；（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。（5）常见的等价无穷小代换：当X0时，我们有：未定式极限： ， 0×1 ，00 ，0【例10·解答题】求极限.【答疑编号911010205】x0,xln（2cosx）ln3 【例11·解答题】求极限【答疑编号911010206】解： x0 ln（1+x）x 【例12·解答题】设函

9、数f（x）在x=0处可微，又设，函数，求极限【答疑编号911010207】 【考点七】求型未定式极限的方法： （1）分子、分母同时除以最大的无穷大 （2）使用洛必达（ ）法则【例13·解答题】求极限 .【答疑编号911010301】13.【考点八】化和型未定式为型和型的方法是： （1）通分法（2）提因子法（3）变量代换法，0×【例14·解答题】求极限.【答疑编号911010302】14.（，-）x0 ,（1+x）2-12x【例14】求极限.【例15·解答题】求极限：【答疑编号911010303】 【例16·解答题】求极限 .【答疑编号91101

10、0304】【例17·解答题】求极限.【答疑编号911010305】17. 【考点九】（1）求幂指函数型不定式的极限，常用“换底法”或“用e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即（2）计算型极限的最简单方法是使用如下的 型极限计算公式：。推导如下（为简便，略去自变量 ）： 【例18·解答题】（北京大学，2002年）求极限.【答疑编号911010306】【例19·解答题】计算.【答疑编号911010307】19.（1）当a1时，19.当0a1时【考点十】（1）已知 ，则有：（2）已知 ，若 ，则 .【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题

11、与解决问题的方法。若且则【例20·解答题】设 ，则.【答疑编号911010401】【例21·选择题】设为两实常数，且有，则的值分别为（）【答疑编号911010402】（A），（B） ， （C），（D），【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。设是同一过程下的两个无穷小，即。若若 则称是比低阶的无穷小；若若则称与是等价无穷小。若C0,0,则称是的阶无穷小。【例22·解答题】已知当时，

12、与是等价无穷小，与是等价无穷小，求常数和。【答疑编号911010403】 （k0） 【例23·选择题】当时，和都是关于的n阶无穷小量，而是关于的m阶无穷小，则（）。【答疑编号911010404】 （A）必有m=n（B）必有 （C）必有（D）以上几种情况都有可能若则时，是的n阶无穷小量；若A+B=0则时，是比还高阶的无穷小； 【例24·证明题】设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且，。证明：存在唯一的一组实数，使得当时，是比高阶的无穷小。【答疑编号911010405】证明方程组有唯一解 第二节 函数的连续性【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类

13、型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。一、函数的连续性与间断点.函数连续性概念连续：定义1设函数在点的某邻域内有定义，若，则称函数在点处连续，并称为连续点。定义2若函数在点的某个左（右）邻域内有定义，并且，则称函数在点处左（右）连续。显然，函数在点处连续的充要条件是在点既左连续又右连续。定义3函数在开区间内连续，是指在内每点都连续；在闭区间上连续，是指在开区间内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数连续的区间，称为的连续区间。.函数的间断点及其分类定义函数不连续的点称为函数的间断点，即在点处有下列三种情况之一出现：（1）在点附近函数有定义，但在点无定义；（2）不存在；（

14、3）与都存在，但，则称在点处不连续，或称为函数的间断点。 间断点的分类：设为函数的间断点，间断点的分类是以点的左、右极限来划分的。 第一类间断点：若与都存在，则称为第一类间断点： （1）若，则称为跳跃型间断点，并称为点的跳跃度； （2）若存在（即=），则称为可去间断点。此时，当在无定义时，可以补充定义，则在连续；当存在，但时，可以改变在的定义，定义极限值为该点函数值，则在连续。 第二类间断点：若与中至少有一个不存在，则称为第二类间断点，其中若与中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称为摆动型间断点。【例25·解答题】设函数 问a为何值时，在x=0处连续；a为何值时，x=0是的

15、可去间断点？【答疑编号911010501】在处连续【例26·解答题】设，其中试求的表达式，并求函数在间断点处的左、右极限。【答疑编号911010502】 由于 【例27·解答题】试确定和的值，使有无穷间断点，且有可去间断点.【答疑编号911010503】二、闭区间上连续函数的性质定理定理1:（有界性定理） 闭区间a,b上的连续函数 必在a,b上有界。定理2:（最大值最小值定理） 闭区间a,b上的函数，必在a,b上有最大值和最小值，即在a,b上，至少存在两点 ，使得对a,b上的一切x，恒有.此处与就是 在a,b上最小值与最大值。定理3:（介值定理） 设函数在闭区间a,b连续，m与M分别为 在a,b上的最小值与最大值，则对于任一实数c（mcM），至少存在一点，使。定理4: