线代期中考试卷及答案详解

1、2012线性代数期中考试试卷及答案详解一、单项选择题 (每小题4分，共20分)1. 下列各式中，哪个是5阶行列式det(aij)的项××××××××××××××××××××× ( B )(A) (B) (C) (D) 解 根据n阶行列式的定义，行列式的算式中，每一项都是不同行、不同列的n个数的乘积，并且带有符号：(1) 若行标排列是标准排列，则该项的符号取决于列标排列的逆序数的奇偶性；(

2、2) 若列标排列是标准排列，则符号取决于行标排列的逆序数的奇偶性；(3) 若行标、列标排列都不是标准排列，则符号取决于行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性(或者，交换一般项中的元素，使行标成为标准排列，再根据列标排列的逆序数判断). 题中每个选项都是5阶行列式不同行、不同列的5个数的乘积，因此，需进一步判断各项是否带有正确的符号.选项(A)错误。其行标排列是标准排列，列标排列的逆序数为t(23415)=3, 故，列标排列为奇排列，(或者，由于将列标排列23415变成标准排列12345需要进行奇数次对换，也可得23415为奇排列)。所以选项(A)缺少“-”.选项(B)正确。其行标和列标排列都不

3、是标准排列，方法一：行标排列和列标排列的逆序数之和t(31452)+t(35214)=4+6=10，得符号为“+”；方法二，交换相乘的元素，使行标成为标准排列，得a15a24a33a42a51，此时列标排列54321为偶排列，故取“+”.同理，选项(C)和(D)错误，都应带“-”.2. 已知n阶行列式D=1，将D逆时针旋转90o，得行列式，则的值为×××××××××××××××××××××

4、;××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

5、;××××××××××××× ( C )(A) 1 (B) -1 (C) (-1)n(n-1)/2 (D) (-1)n/2解 将D逆时针旋转90o，相当于对D先作转置(这不会改变行列式的值)，再作上下翻转即交换n(n-1)/2次相邻行的位置，每次交换都改变行列式的符号，因此，应选(C).参见“行列式的性质”布置的思考题，或者教材习题一第7题的解答.3. n阶行列式Dn=0的必要条件是×××××××

6、××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ( D )(A) 有一行(列)元素全为零 (B) 有两行(列)元素对应成比例(C) 各列元素之和皆为零 (D) 以Dn为系数行列式的齐次线性方程组有非零解

7、解 选项(A)(B)(C)都是Dn=0的充分条件(但不是必要条件). 只有选项(D)为充分必要条件.4. 已知A, B均为n阶方阵，E是n阶单位矩阵，则下列命题中正确的是××××××××××××××××××××××××××××××××××××

8、;×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××× ( D )(A) 若

9、A¹B，则½A½¹½B½ (B) 若(A-E)(B-E)=O，则A=E或B=E(C) A2-B2=( A+B)( A-B) (D) A2-E=( A+E)( A-E)解 答案为(D).选项(A)错误，反例：, 选项(B)错误。“两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵”，例如，因此， (A-E)(B-E)=O Þ A-E=O或B-E=O，反例：, 选项(C)错误。因为(A+B)(A-B)=A2-AB+BA-B2，所以，当且仅当A, B可交换时，才会有(A+B)(A-B)=A2-B2.选项(D)正确。因为AE=EA=A，即A, E可交换

10、，所以，(A+E)(A-E)=A2-AE+EA-E2=A2-E.5. 设A, B均为n阶可逆矩阵，则下列命题中正确的是×××××××××× ( A )(A) (A2)-1=(A-1)2 (B) (kA)-1=kA-1 (k¹0) (C) (A+B)-1= A-1+B-1 (D) A-1BA=B解 选项(A)正确。根据方阵的幂的定义以及可逆矩阵的运算性质，有(A2)-1=(AA)-1 = A-1A-1 =(A-1)2选项(B)错误。应该是(kA)-1=k-1A-1 (k¹0)选

11、项(C)错误。A, B均为n阶可逆矩阵时，A+B不一定可逆；即使A+B可逆，(A+B)-1也不一定是A-1+B-1。反例：, ，或者, 选项(D)错误。矩阵乘法一般不满足交换律，故A-1BA ¹ A-1AB = B。二、填空题 (每小题4分，共20分)1. 行列式 = 2013！.解 =注：以上计算过程使用了分块法计算行列式的公式： (注意A,B必须是方阵)以及副对角行列式的计算公式2. 行列式= (-1)n-1(n-1) . 解 = (-1)n-1(n-1)注：本题行列式的特点是：各行(列)元素之和都相等.3. =解 用左乘矩阵A，相当于将A的各行向上移动一行，故=另外，用右乘矩阵

12、A，相当于将A左右翻转，故=注：参见“矩阵的运算”所布置的思考题，或者第二章习题讲义“要点和公式”中的Part II“一些特殊矩阵的乘积”.4. 已知，则A -1 = 解 利用副对角阵的求逆公式：5. 已知A是4阶可逆矩阵，且½A½=2，则½A-1½= 1/2 ，½A*½= 8 . 解 利用可逆矩阵的性质“½A-1½=½A½-1”以及伴随矩阵的性质“½A*½=½A½n-1 ”，可得 ½A-1½=2-1，½A*½=24

13、-1=8.注：也可按如下方式求½A*½：因为AA*=ïAïE，将½A½=2代入，得AA*=2E，等号两边取行列式，有ïAïïA*ï=ï2Eï，即2ïA*ï=24，于是½A*½=8.三、计算题（每小题7分，共35分）1. 设n阶爪形行列式, 求D中所有元素的代数余子式之和.解 将D的第1行元素全部替换为1，并按第1行展开，得D的第1行元素的代数余子式之和为 将D的第2行元素全部替换为1，并按第2行展开，得D的第2行元素的代数余子式之和为

14、(两行元素成比例)同理，D的第3, 4, n行元素的代数余子式之和也都是0.于是，D的所有元素的代数余子式之和为. 注1 如果改变行列式D的某一行(列)元素，行列式虽然变了，但该行(列)元素的代数余子式不会改变。注2 本题利用了行列式按行(列)展开法则： 或 (i=1,2,n)2. 问：只有零解时，k必须满足什么条件？解 此方程组为齐次线性方程组，并且方程个数=未知量个数，根据“方程组只有零解 Û 系数行列式D¹0”，有，即k¹ 1/4.3. 设方阵， (1) 求ïAï的值，并指出当a满足什么条件时，A是可逆矩阵；(2) 当A可逆时，求A-1.

15、解 对矩阵A分块，(1) 当且仅当a¹0时，½A½¹0，此时A为可逆矩阵.(2) 根据分块法求逆矩阵的公式，其中，于是，A-1注1 解答中使用了分块法计算行列式的公式(参见第一章习题讲义“要点和公式”)注2 本题要求熟记分块法求逆矩阵的公式. 虽然也可以用公式A-1=½A½-1A*，但计算过程繁琐，容易出错. 注3 另外，求出逆矩阵后，最好验算是否有AA-1=E.4. 设方阵，求Ak (k为正整数). 解 .于是，其中 注 当矩阵的任意两行(列)元素对应成比例时，该矩阵可分解为列矩阵和行矩阵的乘积.5. 已知A,B都是2阶方阵，且A*

16、 BA = 2A* B + E，其中，A* 是A的伴随矩阵，E为2阶单位矩阵，求矩阵B.解 对A* BA = 2A* B + E 两端左乘A，得AA*BA=2AA*B+A根据伴随矩阵的性质AA* =ïAïE，有 ïAïBA=2ïAïB+A 由于，于是BA=2B+A Þ B(A-2E)= A 其中，由于，故A-2E可逆，其逆矩阵(A-2E)-1=，于是注 求二阶可逆矩阵的逆矩阵时，可以用“两调一除”公式.四、证明题（每小题8分，共16分）1. 设A是n阶反对称矩阵，n为奇数，证明：齐次线性方程组Ax=O有非零解.证 A是n阶反

17、对称矩阵 Û AT=-A.对上式两边取行列式，有ïATï =ï-Aï Þ ïAï =(-1)nïAï 由于n为奇数，故ïAï = -ïAï，即ïAï=0. 因此，当A是奇数阶反对称矩阵时，齐次线性方程组Ax=O的系数行列式等于0，于是该方程组有非零解. 注 A是方阵，所以Ax=O是“方程个数=未知量个数”的齐次线性方程组，于是，要证明Ax=O有非零解，就是证ïAï=0.2. 已知A, B均为n阶方阵，且AB=A+B.

18、 (1) 证明：A-E和B-E均可逆，且互为逆矩阵；(2) 证明：如果A可逆，则A+B也可逆.证 (1) AB=A+B Þ AB-A-B+E=E Þ (A -E)(B -E)=E Þ A-E和B-E均可逆，且互为逆矩阵 (定理：“若A和B均为n阶方阵，且AB=E，则BA=E.亦即，A,B均可逆，且互为逆矩阵”)(2) AB=A+B Þ A(B-E) =B 已知A可逆，又由(1)知B-E可逆，所以B= A(B-E)可逆 (定理：n阶可逆矩阵的乘积仍是n阶可逆矩阵). A和B可逆，所以AB可逆. 由于A+B= AB，故A+B可逆.也可按如下方式证明： A可逆 Û ïAï¹0，于是AB=A+B Þ (A-E)B =A Þ ïA -E