离散数学集合论部分测试题

1、离散数学集合论部分综合练习本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。、单项选择题1 .若集合A=a,b,B=a,b,a,b，则（）.A.A=B,且AWBB.A三B,但A辽BC.A=B,但ABD.ASB,且A乏B2 .若集合A=2,a,a,4,则下列表述正确的是（）.B. a=AD. 0 WA2,则下列表述正确的是 （）.B. 2-A）. 但B二A 且BAA.a,aWAC.2A3.若集合A=a,a

2、,1,A.a,aWAC.a三AD.0WA4.若集合A=a,b,1,2,B=1,2,则（A.B二A,且BAB.BWA,C.B二A,但B正AD.B®A,B. 0,1, aD. 1, 或1, a ）.5.设集合A=1,a,贝UP（A）=（）.A.1,aC-0,1,或1,a6 .若集合A的元素个数为10,则其哥集的元素个数为（A. 1024B. 10C. 100D. 17 .集合A=1,2,3,4,5,6,7,8上的关系R=<x,y>|x+y=10且x,y三A,则R的性质为（）.A.自反的B.对称的C.传递且对称的D.反自反且传递的8 .设集合A=1,2,3,4,5,6上的二元关

3、系R=<a,bAla,b乏A,且a+b=8,则R具有的性质为（）.A.自反的B.对称的C.对称和传递的D.反自反和传递的9 .如果R和R2是A上的自反关系，则R1UR2,RAR2,R1-R2中自反关系有（）个.A.0B.2C.1D.310.设集合A=1,2,3,4上的二元关系7R=<1,1>,<2,2>,<2,3，<4,4下,则S是R的(A.自反11.设集合S= <1 ,1，)闭包.B.传递<2,2>, <2,3>, <3,2>, <4,4>,C.对称A = 1 , 2,3,4,5上的偏序关系的哈斯

4、图如图一所示, 则元素3为B的(A.下界C.最小上界A 的子集 B = 3,4,5, ).B.最大下界D.以上答案都不对D.以上都不对图一,则集合B的最大元、12.设八二1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, R是A上的整除关系,B=2, 4, 6最小元、上界、下界依次为(）A.8、2、8、2B.无、2、无、2C.6、2、6、2D. 8、1、6、113.设八二a切，B=1,2R2=< a1>, < a, 2>, < b, 1>Ri, R2, R3是八到B的二元关系,下=< a, 1>, < b, 2>,则（Ri=< a,

5、2>, < b, 2>,)不是从A到B的函数.A.R1 和 R2B.R2C. R3D. R和 R3二、填空题1 .设集合A有n个元素，那么A的哥集合P(A)的元素个数为.2 .设集合A=a,b,那么集合A的募集是应该填写：-,a,b,a,b3 .设集合A=0,1,2,3,B=2,3,4,5,R是A到B的二元关系,R=<x,y>|xwA且ywB且x,ywAcb则R的有序对集合为.4 .设集合A=0,1,2,B=0,2,4,R是A到B的二元关系,R=<x,y>xeA且ywB且x,ywAcB则R的关系矩阵Mr=5 .设集合A=a,b,c,A上的二元关系R=&

6、lt;a,b>,<c.a>,S=<as>,<ab>,<c,c>则（R6t=.6 .设集合A=a,b,c,A上的二元关系R=<a,b>,<b,a>,<b,c>,<c,d>,则二元关系R具有的性质是.7 .若A=1,2,R=<x,y>|xeA,yeA,x+y=10,则R的自反闭包为.8 .设集合A=1,2,B=a,b,那么集合A到B的双射函数是9 .设A=a,b,c,B=1,2,作f：AfB,则不同的函数个数为三、判断说明题(判断下列各题，并说明理由.)1 .设A、B、C为任意的三个集

7、合，如果AUB=AUC,判断结论B=C是否成立？并说明理由.2 .如果Ri和R2是A上的自反关系，判断结论：“R-1i、R1UR2、RcR2是自反的”是否成立？并说明理由.3 .若偏序集A,R的哈斯图如图一所示，则集合A的最大元为a,最小元不存在.4 .若偏序集A,R的哈斯图如图二所示，则集合A的最大元为a,最小元不存在.5 .设N、R分别为自然数集与实数集，f:N一R,f(x)=x+6,则f是单射.四、计算题1 .设集合A=a,b,c,B=b,d,e,求(1) BA;(2)A2B;(3)AB;(4)B©A.2 .设A=a,b,1,2,B=a,b,1,1,试计算(1) (A-B)(2

8、)(AUB)(3)(AUB)(APB)3 .设集合A=1,2,1,2,B=1,2,1,2，试计算(1) (A-B);(2)(APB);(3)AXB.4 .设A=0,1,2,3,4,R=<x,y>|xeA,y三A且x+y<0,S=<x,y>|x三A,V运A且x+y冬,试求R,S,R,S,R-1,S1,r(R).(1)写出关系R的表示式;(2)画出关系R的哈斯图;5 .设A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,R是A上的整除关系,B=2,4,6.图三(3)求出集合B的最大元、最小元.6 .设集合A=a,b,c,d上的二元关系R的关系图如图三所示.(1

9、)写出R的表达式；(2)写出R的关系矩阵；(3)求出R2.7 .设集合A=1,2,3,4,R=x,y|x,yA;|x-y|=1或x3=0,试(1)写出R的有序对表示；(2)画出R的关系图；(3)说明R满足自反性，不满足传递性.五、证明题1 .试证明集合等式：A=(BnC)=(A-B)c(A=C).2 .试证明集合等式Ac（B，-C）=（AcB）2（AC）.3 .设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a三A,存在bWA,使得ab虻R,则R是等价关系.4 .若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RcS也是A上的偏序关系.参考解答一、单项选择题1.A2,B3.C4.B5.C

10、6.A7.B8.B9.B10.C11.C12.B13.B二、填空题1. 2n2. 一ab,a,b3. <2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>1 104. 000110一5. <a.c>,<b,c>6. 反自反的7. <1,1>,<2,2>8. <1,a>,<2,b>,<1,b>,<2,a>9. 8三、判断说明题（判断下列各题，并说明理由.）1 .解：错.设八二1,2,B=1,C=2,则AUB=AUC,（1B七.2 .解：成立.因为Ri和R2是A

11、上的自反关系，即Ia2R,Ia三Q。由逆关系定义和Ia三R,得Ia三Ri-1；由Ia三R,"三以，得"三RUR2,Ia三RCR。所以，R-1、R1UR2、RR2是自反的。3 .解：正确.对于集合A的任意元素x,均有x,a三R（或xRsj）,所以a是集合A中的最大元.按照最小元的定义，在集合A中不存在最小元.4 .解：错误.集合A的最大元不存在，a是极大元.5 .解：正确.设xi,X2为自然数且xi#x2,则有f(xi)=xi+6rx2+6=f(X2),故f为单射.四、计算题(1) ：(1)BA=a,b,ccb,d,e=b(2) A.B=a,b,c.b,d,e=a,b,c,d

12、,e(3) A-B=a,b,c-b,d,e=a,c(4) BzA=A_.B-BA=a,b,c,d,e-b=a,c,d,e2 .解：(1)(A-B)=a,b,2(2) (AUB)=a,b,1,2,a,b,1(3) (AUB)(APB)=a,b,2,a,b,13 .解:(1)A-B=1,2(2) APB=1,2(3) A>B=<1,1>,<1,2>,<1,1,2>,<2,1>,<2,2>,<2,1,2>,<1,1>,<1,2>,<1,1,2>,<2,1>,<2,2&g

13、t;,<2,1,2>4 .解：R=0,S=<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,0>,<1,1>,<1,2>,<2,0>,<2,1>,<3,0>Re一，r-1=.,图四：关系R的哈斯图S-1=S,(R)=Ia.5 .解：(1)R=2<1,2>,<1,3>,，<1,12>,<2,4>,<2,6>,<2,8>,<2,10>,<2,12>,<3,6>

14、;,<3,9>,<3,12>,<4,8>,<4,12>,<5,10>,<6,12>(2)关系R的哈斯图如图四(3)集合B没有最大元，最小元是：26.解：R=<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>10100001R2=<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>*<a,a>,<a,c>,<b,c>,<d,d>=<a,a>,<a,c>,<d,d&

15、gt;7.解：(1)R=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<1,2>,<2,1>,<2,3>,<3,2>,<3,4>,<4,3>(2)关系图如图五因为<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>均属于R,即A的每个元素构成的有序对均在R中，故R在A上是自反的。因有<2,3>与<3,4>属于R,但<2,4>不属于R,所以R在A上不是传递的。五、证明题1.证明：设，若xCA=(BC

16、),则xCA或xCB-C,即xCA或xCB且xCA或xCC.即xCAuB且xCA=C,即xCT=(AuB)c(A=C),所以A=(B-C)=(AuB)c(AuC).反之，若xC(A=B)c(AjC),则xCAB且xCAg即xCA或xCB且xCA或xCC,即xCA或xCBC,即xCAu(BC),所以(AjB)c(A2C)三Au(BC).因此.A.(B-C)=(A.B)'(A.C).2,证明：设障人0但。,T=(AAB)U(AAC),若xCS,则xCA且xCBUC,即xA且xCB或xA且xCC,也即xCAnB或xCAAC,即xCT,所以生T.反之，若xCT,则xCAAB或xCAAC,即xC

17、A且xCB或xCA且xCC也即xCA且xeBUC,即xes,所以T三S.因止匕T=S.3.设R是集合A上的对称关系和传递关系，试证明：若对任意a-A,存在bA,使得<ab>wR,则R是等价关系.证明：已知R是对称关系和传递关系，只需证明R是自反关系.VaeA,王弘，使得<a,b>WR,因为R是对称的，故<b,a>WR；又R是传递的，即当<ab>WR,<b,a>WR=<aa>eR;由元素a的任意性，知R是自反的.所以，R是等价关系.4.若非空集合A上的二元关系R和S是偏序关系，试证明：RCS也是A上的偏序关系.证明：.VxWA<x,x>WR,<x,x>WS=<x,xWRCS,所以Rs有自反