二次函数全章导学案(史上最全)

1、导学案二次函数(第一课时)一预习检测案一般地，形如的函数，叫做二次函数。其中x是,a是, b是, c是.二合作探究案：问题1:正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x,外表积为y,写出y与x的关 系。6、n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式7、二次函数y=x2 +px+q,当x=1时，函数值为4,当x=2时，函数值为-5,求这个二次函数 的解析式问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系？提示：多边形有n条边，那么有几个顶点？从一个顶点出发，可以连几条对角线?二次函数y ax2的图象与性质(第二课时)问题3:某工厂一种产品现在的年

2、产量是 20件,方案今后两年增加产量.如果每年都比上一年的 产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随方案所定的x的值而定,y与x之间的关系怎问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。问题5:什么是二次函数？形如。问题6:函数y=ax2 +bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数？ (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？m 2例1:关于x的函数y (m 1)x 注意：二次函数的二次项系数必须是的数。三达标测评案：m是二次函数,求m的值.1 以下函数中，哪些是二次函数？(1)y=3x-1 ; (2)y=3x2

3、+2;(3)y=3x 3+2x2;(4)y=2x 2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x);(6)y=x -2+x.222. 假设函数y = (a 1)x + 2x + a 1是二次函数，那么()A.a 1 B.a =± 1 C.a 工 1 D.a 工一13. 一定条件下，假设物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s 5t2+ 2t,那么当t 4秒时, 该物体所经过的路程为A.28 米B.48 米C.68 米D.88 米4. 一个长方形的长是宽的2倍，写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式.5.个圆柱的高等于底面半径，写出它的外表积S与半径R之间的关系式x321012

4、32y x.预习检测案：画二次函数y x2的图象.提示：画图象的一般步骤：列表；描点；连线(用平滑曲线).2由图象可得二次函数 y x的性质：1.二次函数y x2是一条曲线，把这条曲线叫做 . . 2 1 2 2 . .例2 请在同一直角坐标系中画出函数 y = x , y= -x , y = 2x的图象.1归纳：抛物线 y = x2, y = ?x2, y = 2x2的二次项系数 a0 ,顶点都是 ,对称轴是，顶点是抛物线的最 点填“高或“低.总结：抛物线y = ax2的性质1 .抛物线y = x2与y = x2关于对称，因此，抛物线 y= ax2与y = ax2关于对称，开口大小.2.当a

5、>0时，a越大，抛物线的开口越 ;当av0时，丨a |越大，抛物线的开口越 ;因此，丨a |越大，抛物线的开口越 ，反之，1 a |越小，抛物线的开口越 .归纳：抛物线 y= 2x2，y = x2, y= 2x2的二次项系数 a0 ;顶点都是 对称轴是 ;顶点是抛物线的最 点填“高或“低.图象草开口方顶对称图j向占八、轴a> 0av 0有最高或最 低点最值当x =时,y有最值,是当x =时,y 有最值,是,2. 二次函数 y= x2y = 2x . .y = x的图象刚画过，再把它画出来.中，二次函数 a =，抛物线 y= x2的图象开口 .3 .自变量x的取值范围是.4观察图象，

6、当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于 对称,从而图象关于 对称.5. 抛物线y = x2与它的对称轴的交点，叫做抛物线y = x2的.因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的 .6抛物线y = x2有点填“最高或“最低.二.合作探究案：. . 1 2 2 2 . .例1在同一直角坐标系中，画出函数y=尹,y= x , y= 2x的图象.44x32101231 o1 2y =尹x 一2 1.5 1 0.500.511.52开口方向顶点对称轴有最高或低点最值2 2 y = 3x当x =时,y有最值,是71y=- 8x21.观察图像得:就得到抛物线y = x2+ 1;把抛物线

7、y = x2向平移个单位，就得到抛物线y = x2- 1.3.抛物线y = x2,y = x2-1与y = x2+ 1的形状.三达标测评案:1填表：2 .假设二次函数y= ax2的图象过点1,- 2,那么a的值是3. 二次函数y = m- 1x2的图象开口向下，贝U m.24 .如图，y = ax y = bx y = ex y = dx2比拟a、b、c、d的大小，用“连接.3 25函数y= 7X的图象开口向 ，顶点是 ，对称轴是 当 x =时，有最 值是.26. 二次函数y = mxm 2有最低点，那么 m=.27. 二次函数y = k + 1x的图象如下列图，贝Uk的取值范围为.&

8、写出一个过点1, 2的函数表达式 .二次函数y= ax2 + k的图象与性质第三课时一.预习检测案：在同一直角坐标系中，画出二次函数y= x2+ 1,y = x2- 1的图象.解：先列表描点并画图1.2y = ax2 -y = ax + k开口方向顶点对称轴有最高(低)点最值a> 0时，当x =时,y有最值为；av 0时，当x =时,y有最值为.增减性合作探究案:2. 抛物线y= 2x2向上平移3个单位，就得到抛物线 ;26.1.3二次函数y = a(x-h) 2的图象与性质(第四课时)教学目标：会画二次函数y= a(x-h) 2的图象，掌握二次函数y= a(x-h) 2的性质，并要会灵

9、活应用一预习检测案：1 1画出二次函数y = 2(x + 1)2,y 2(x 1)2的图象，并考虑它们的开口方向.对称轴.顶点以与最 值.增减性.抛物线y= 2x2向下平移4个单位,就得到抛物线 .因此,把抛物线y= ax2向上平移k(k > 0)个单位,就得到抛物线 ;把抛物线y = ax2向下平移m(m> 0)个单位,就得到抛物线 .3. 抛物线y= 3x2与y= 3x2 + 1是通过平移得到的，从而它们的形状 由此可得二次函数 y = ax2与y = ax2+ k的形状.三.达标测评案:1.填表2将二次函数y= 5x2 3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为 3.写出一个

10、顶点坐标为(0, 3),开口方向与抛物线y = x2方向相反，形状相同的抛物线解析式4.抛物线y=2可由抛物线y= ；x2+ 3 向平移个单位得到的函数开口方向顶点对称轴最值增减性1 2y=尹 +1)1 2y=尹1)25.抛物线y= 4x2 1与y轴的交点坐标为 ,与x轴的交点坐标为 1 2 1 2 1 2 抛物线y = (x + 1) ,y = x ,y = (x 1)的形状大小1 2把抛物线y = 2x向左平移1 单位,就得到抛物线y二2x +11 2把抛物线y = 2x向右平移单位,就得到抛物线y二2(x+1)2 .26.1.3 二次函数y = ax h2+ k的图象与性质第五课时一预习

11、检测案：1 2画出函数y = 2x + 1 1的图象,指出它的开口方向.对称轴与顶点.最值.增减性.总结知识点:1.2y = axy= ax2 + ky = a (x-h) 2开口方向顶点对称轴最值增减性对称轴左侧3.对于二次函数的图象,只要丨a丨相等,那么它们的形状,只是 同.三达标测评案：1. 抛物线y = 4 x 22与y轴的交点坐标是 ,与x轴的交点坐标为 .2. 把抛物线y= 3x2向右平移4个单位后,得到的抛物线的表达式为 .1 23. 将抛物线y= 3x 12向右平移2个单位后,得到的抛物线解析式为 . 抛物线y = 2 x + 32的开口;顶点坐标为;对称轴是当x> 3时

12、,y;当x = 3时,y 有值是.列表x一4 3 21 2y =尹 +1) 110 12 -B411J二合作探究案：例1抛物线经过点A( 1,0),B(4,5),C(0, 3),求抛物线的解析式例2抛物线顶点为(1, 4),且又过点(2, 3).求抛物线的解析式. -4 -3 -£ *1 Cr七-e合作探究案1 22. 把抛物线y=x2向平移个单位,再向 移 单位,就得到抛物线y二1 22x + 1 1.总结知识点：1填表a>02. 抛物线 y = a x h1 22. y = 6x + 3 与 y = 6 (x 1) + 10目同,而 同.+ k 与 y= ax2形状,位置三

13、.达标测评案：1填表1 2y=尹 + 2)2性质小2y = 3x2 y= x + 12y = 4 (x 5) 3草图开口方向顶点对称轴最值增减性对称轴左侧3. 顶点坐标为一2,3,开口方向和大小与抛物线y = ；x2相同的解析式为1 2 1 2 1 2 1 2A.y 二 2x 2 + 3 B.y 二 2x + 2 3 C.y二 2x + 2 + 3 D.y 二一2x + 2 + 34. 二次函数y= x 12+ 2的最小值为.5. 将抛物线y = 5x 12+ 3先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线解析式为。6. 假设抛物线y= ax2 + k的顶点在直线y= 2上,且x =

14、1时,y = 3,求a.k的值.7. 假设抛物线y= a x 12 + k上有一点A3,5,那么点A关于对称轴对称点A'的坐标为。8. 将抛物线y二2 x + 12 3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得抛物线表达式二次函数y= ax2 + bx+ c的图象与性质第六课时一预习检测案：1 2 1 21. 画二次函数y = -x 6x + 21的图象.解:y = x 6x + 21配成顶点式为.x34567892. 用配方法求抛物线y = ax2+ bx+ c(a丰0)的顶点与对称轴课堂探究案：(a>0)2y= axy = ax2 + ky = a(x h)2y= a(x h)

15、2+ ky = ax2 + bx+ c开口方向顶点对称轴最值增减性(对称轴左侧).知识点应用例1求y = x2 2x 3与x轴交点坐标.例2求抛物线y = x2 2x 3与y轴交点坐标.3. a.b.c 以与= b2 4ac对图象的影响.a决定：开口方向.形状 (2)c 决定与y轴的交点为(0,c)0与 x轴有两个交点 ba与石共同决定b的正负性 (4) = b2 4ac0与x轴有一个交点0与x轴没有交点例3 如图,由图可得:a0,b0,c0, 0例4 二次函数y = x2 + kx + 9. 当k为何值时，对称轴为y轴； 当k为何值时，抛物线与x轴有两个交点； 当k为何值时，抛物线与x轴只有

16、一个交点.四.达标测评案：1 21. 用顶点坐标公式和配方法求二次函数y = 2x2 2 1的顶点坐标.2. 二次函数y=2x2+ bx + c的顶点坐标是(1, 2),贝U b=,c =.3. 二次函数y二一2x2 8x 6,当寸,y随x的增大而增大；当x二时,y有值是.4. 二次函数y= x2 + mx中，当x = 3时，函数值最大，求其最大值.5. 求抛物线y=2x2 7x 15与x轴交点坐标,与y轴的交点坐标为 .6. 抛物线y = 4x2 2x+ m的顶点在x轴上，那么m=.用待定系数法求二次函数的解析式(第七课时)教学目标：1.会用待定系数法求二次函数的解析式；2.实际问题中求二次

17、函数解析式.一. 预习检测案：1. 二次函数y = x2+ x + m的图象过点(1,2),那么m的值为.2. 点 A(2,5),B(4,5) 是抛物线 y = 4x2 + bx + c上的两点，那么这条抛物线的对称轴为3. 将抛物线y= (x 1)2+ 3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的解析式为.1 24. 抛物线的形状.开口方向都与抛物线y= 2x2相同，顶点在(1, 2),那么抛物线的解析式为例3抛物线与x轴的两交点为(一1,0)和(3,0),且过点(2, 3).求抛物线的解析式4. 如图，在厶ABC中, / B= 90° ,AB= 12mm,B&

18、;24mm动点P从点A开始沿边 AB向B以2mm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s的速度移动，如果P.Q分别从A.B同时出发， 那么 PBQ的面积S随出发时间t如何变化？写出函数关系式与t的取值范围.归纳：用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法：1. 抛物线过三点,设一般式为y = ax2 + bx+ c.2. 抛物线顶点坐标与一点，设顶点式y = a(x h)2 + k.3. 抛物线与x轴有两个交点(或抛物线与x轴交点的横坐标),设两根式:y = a(x xi)(x X2).(其中xi.x 2是抛物线与x轴交点的横坐标)实际问题中求二次函数解析式：例4要修建一个圆形喷

19、水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷 出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处到达最高，高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长？三.达标检测案：1. 二次函数的图象过(0,1).(2,4).(3,10) 三点，求这个二次函数的关系式.2. 二次函数的图象的顶点坐标为(一2, 3),且图像过点(一3, 2),求这个二次函数的解 析式.23. 二次函数y = ax + bx+ c的图像与x轴交于A(1,0),B(3,0) 两点，与y轴交于点C(0,3), 求二次函数的顶点坐标.26.2用函数的观点看一元二次方程(第八课时)教学目标：1.知道二次函数与一元二次方

20、程的关系.2.会用一元二次方程ax2+ bx+ c二0根的判 别式= b2 4ac判断二次函数y= ax2+ bx+ c与x轴的公共点的个数.一.预习检测案：1. 问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条 抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t(单位:s)之间具有关系h2=20t 5t .考虑以下问题:(1)球的飞行高度能否到达15m?如能,需要多少飞行时间？(2)球的飞行高度能否到达20m?如能,需要多少飞行时间？球的飞行高度能否到达20.5m？为什么？(4)球从飞出到落地要用多少时间？26.3.实际问题与

21、二次函数-1 第九课时2. 观察图象： 二次函数y = x2+ x 2的图象与x轴有个交点,那么一元二次方程x2 + x 2 = 0的根的判别式=0； 二次函数y = x2 6x+ 9的图像与x轴有个交点,那么一元二次方程x2 6x+ 9= 0的根的判别式=0； 二次函数y = x2 x + 1的图象与x轴 共点,那么一元二次方程x2x + 1 = 0的根的判别式0.二合作探究案：1. 二次函数 y = x2 + 4x的函数值为 3,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 .反之，解一元二次方程x2 + 4x = 3又可以看作二次函数 勺函数值为3的自变量x的值.一般地：二次函数y = ax2

22、 + bx + c的函数值为m,求自变量x的值,可以看作解一元二次方程 ax + bx + c = m.反之，解一元二次方程 ax + bx+ c = m又可以看作二次函数 y = ax + bx+ c 的值为m的自变量x的值.2. 二次函数y= ax2+ bx + c与x轴的位置关系：一元二次方程ax2 + bx + c = 0的根的判别式= b2 4ac.教学目标： 几何问题中应用二次函数的最值.一预习检测案：1. 抛物线y = x + 12+ 2中，当x=寸，y有是.12. 抛物线y =x2 x + 1中，当x=寸，y有值是.3. 抛物线 y = ax2 + bx+ c a0中，当 x

23、=寸，y 有值是.二. 合作探究案：P22的探究用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S随矩形一边长I的变化而变化，当I是多 少时，场地的面积S最大？三. 达标测评案：1. 直角三角形两条直角边的和等于 8,两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面 积最大，最大值是多少？2. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h 单位：m与小球运动时间t 单位：s 之间的关系式是h = 30t 5t2 .小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度 是多少？(1) 当= b2 4ac>0 时2(2) 当厶=b 4ac= 0 时当厶=b2 4acv0时抛物线y = ax2 + bx+

24、c与x轴有两个交点； 抛物线y = ax2 + bx+ c与x轴只有一个交点 抛物线y = ax2 + bx+ c与x轴没有公共点.八.课后训练1. 抛物线y= x2 2kx + 9的顶点在x轴上，那么k=.2 、 ,2. 抛物线y= kx + 2x 1与x轴有两个交点，那么k的取值范围3. 如图，四边形的两条对角线 AC BD互相垂直，AC+ BD= 10,当AC BD的长是多少时, 四边形ABCD勺面积最大？4一块三角形废料如下列图，/ A= 30°,/ C= 90°, A吐12用这块废料剪出一个长方形 CDEF 其中，点D E、F分别在AC AB BC上.要使剪出的长方形CDE面积最大，点E应造在何处？元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件.商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？分析：调整价格包括涨价和降价两种情况，用怎样的等量关系呢？解：1设每件涨价x元，那么每星期少卖牛，实际卖出牛，设商品的利润为y元.四、达标测评案：1.某种商品每件的进价为30元，在某段时间内假设以每件x元出售，可卖出100-x件, 应如何定价才能使利润最大？26.3 实际问题与二次函数-2 第十课时一.预习检测案：1. 二次函数y=ax-h 2+k的图象是一条,它的对称轴是,顶点坐标是.2. 二次函数y=ax2+bx+c的