圆锥曲线统一定义的教学设计-无锡洛社高级中学

1、圆锥曲线统一定义的教学设计洛社高中 徐建强一 教材分析1 教学内容 高级中学课本?数学?必修第八章圆锥曲线方程。本章主要研究圆锥曲线的定义 方程、几何性质，以及它们在实际生活中的简单应用。2 教材的地位与作用 前一章中学习了直线和圆的方程，对曲线和方程的概念已经有一些了解，并且已学过求简单曲线方程和利用曲线方程研究曲线几何性质的初步知识。 本章是在这个根底上学习 求圆锥曲线方程，研究它们的几何性质，进一步熟悉和掌握坐标法。由于高考试卷中区分 度较大的题目都涉及本章内容，所以难度不易把握。考虑到本校学生的实际情况，设计例 题时难度应适中。本节课是学习完圆锥曲线几何性质之后的第二节复习课 ，上节课

2、总结椭圆、双曲线、 抛物线的几何条件，标准方程及性质，然后从中归纳它们的几个共同特征，使学生比拟清 楚的掌握这三种曲线的特点，以及它们之间的区别与联系。这节课继续利用圆锥曲线的第 二定义及方程形式上的共同点，进行多题一解的训练。3 教学重点和难点 圆锥曲线统一定义及其应用。突破方法： 1 引导学生围绕思考题讨论，并对具体事例进行分析。 2 引导学生通过类比联想已学知识，找到问题解决的方法。4 教学目标知识目标 圆锥曲线统一定义及其应用。能力目标 1 分析圆锥曲线之间的共同点，培养归纳总结的能力。 2 利用圆锥曲线定义之间的联系，找到共同的解决问题的方法，培养类比联想的能 力。 3 解题过程中，

3、培养学生运算与思维能力。情感目标 1 在寻求圆锥曲线定义与解题方法之间共同点的过程中，培养学生用“普遍联系 的观念分析事物。 2 讨论的过程中，培养合作精神，树立严谨的科学态度。二 教法分析 高二学生已经具备一定的探索与研究问题的能力。所以设计问题时应考虑灵活性。采用 启发探索式教学， 师生共同探索， 共同研究， 充分发挥学生主题能动性， 教师的主导作用。在教学过程中采用讨论法，向学生提出具有启发性和思考性的讨论题，组织学生展开讨 论。通过讨论，提高学生的阅读、探索、推理、想象、分析和总结归纳等方面的能力。在教学手段上，采用多媒体等电教手段，增加教学容量和直观性，通过演示，激发学生学 习数学的

4、兴趣。三学法分析1. 指导读书指导读书是培养学生自学能力以获得知识的一种非常好的方法，我在课堂上让学生带着问题研究课本知识。这不仅可以引导他们重视根底知识的作用，也可调动学生学习的积 极性和主动性。2. 指导分析从高考开展的趋势看，高考越来越重视学生分析问题解决问题的能力。因此，要求 学生在学习中遇到问题时，不要急于求解，而要根据问题提供的信息回忆所学知识，选择 最正确方案加以解决，从而防止“瞎撞、乱撞的不良解题习惯。四教学过程教师活动学生活动设计意图阅读课本中的椭圆、双曲 线的第二定义和抛物线 的定义，从中找出共同 点，思考能否用统一的形 式把定义归纳出来。学生阅读并讨论得出结论：平面内，到

5、 定点的距离与它到定直线的距离之比 为一个常数e的点的轨迹。这里e (0, 1)时轨迹是椭圆；e=1时轨迹是抛物线； e( 1, +8)时轨迹是双曲线。通过分析比拟三种曲 线定义之间的共同点， 培养学生的归纳总结 能力，从而使所学知识 前后联系，形成系统， 加深学生对概念的理 解。例1.动点P(x, y)满足讹x-2)2+(y-2)2俩足|x+y+2|1=2，那么动点p的轨迹为。学生回忆所学知识分析：分子为到定点(2 , 2 )的距离，分母为到定直线1x+y+2=0的距离，它们的比值为定值-,12 ( 0, 1),所以点P的轨迹为椭圆。用方程的形式进一步考查学生对圆锥曲线定义的理解。思考：动点

6、 P(x, y)xl(x-2)2+(v-2) 2满足也爲+；|2)=a，且动点P的轨迹为双曲 线，求a的范围。假设轨迹 为抛物线呢？学生容易得到：轨迹为双曲线时，a>1;抛物线时a=1。通过对例1问题的变 化，不仅引导学生探究 出问题的本质，而且使 学生对圆锥曲线的概 念能够进一步加深印 象。例2.设椭圆的右焦点为F2, AB为椭圆中过F2的 弦，试分析以AB为直径 的圆和右准线1的位置关学生讨论得解：设AB的中点为M ,A，, M，, B，分别为A , M , B在直线l上的 射影。由第二疋义得|Aa =e (e为离此题一方面考查直线 与圆的位置关系，另一 方面考查学生对于椭 圆第二定

7、义的应用。系。分析：只要判断圆心到心率)丄空=e,那么 | B B |直线的距离与半径的大|AB|=|AF2|+|BF2|=e(|AA，|+|BB，小关系即可。|)=e 2|MM，|,A Y.|AB|, p才=e| MM |,又T 0<e<1,上A|AB|,才 <| MM |。M，2即圆心到准线的距离大于半径，BB准线与圆相离。思考：由例1作为根底能学生通过比拟得到变式 1:(双曲线)设由例1作为根底，学生否联想双曲线与抛物线双曲线的右焦点为 F2, AB为双曲线中可以自己出题，这对于有没有类似题型，试写出过F2的弦，试分析以AB为直径的圆和学生的能力要求更高并给出结论。右准

8、线1的位置关系。变式2:(抛物线)了。设抛物线的焦点为 F ,AB为抛物线中过F的弦，试分析以 AB为直径的圆和准线1的位置关系。2 2(1)男生讨论：设P R=m, PF2=n，且这题是考查学生圆锥例3 .椭圆T +y2 =1a b1曲线的第二定义及余(a>b>0), Fi, F2为左右/ F1PF2= 0，那么 F1PF2 的面积：S=2弦定理的应用。采用男两焦点，P为椭圆上一mnsin 0 ,只要求出 mn即可。由定义可女生分开做难度相近点，且/ FiPF2= 0，求(1)知m+n=2a；由余弦定理得 m2+ n2的题，既培养学生团结 F1PF2的面积S。2mncos 0 =

9、(2c)2=4(a2- b2)。合作精神，又能形成竞Yf( 2得：2mn(1+cos 0 )=4b2,争意识。2b2nn=,，所以1+cos 0 F O F / Y12 sin 020 丿 XS=c mnsin 0 = b . = b tan 。21+cos 022 2(2)女生讨论：双曲线X2 y2 =1(2)双曲线有类似结论ab吗？是写出并求出。(a>0, b>0), F1, F2为左右两焦点，P为椭圆上一点，且/ F1PF2= 0，此时f1pf2的面积？经过分析同上利用定义和余弦定理得出结论S =b2cot0。2 2一 .m x y男生证明：由题意得M ( a, 0)、这题考

10、查圆锥曲线几例4 .椭圆=1 a ba>b>0, P为椭圆上一 点，求证满足以下条件的 kpM 'kpN为一定值，M、 N为长轴的两个端点； M、N为在椭圆上关于原 点对称的两点。Na，0，设 Px。，y。22 =1，2 p在椭圆上，竺2 + a2变形得Xo2 a2=匕22yo ,yo2yo0)n思考：双曲线有这个结论 吗？试写出。Nn又kpm kpN= yXo+akPM . kPN= -2 。a女生证明：由题意可设 M(m,n)、N ( m, n), P(Xo, yo) M、P在椭圆上，2 2 2 2爭+, XP寺=1，变形得X。 aXo2 a2，2 222 Xo2m2y

11、o=b (1 a2 ), n =(1 a2 ), yo / 22、小2(m X。)yo_ n，kpM Kpn=皿Xo m)n2=byo+ nXo+m2a2 2 2yo nb=2 2 = 2 。Xo ma2 2讨论：双曲线X2 2 =( a>0,a b，b>0, P为椭圆上一点，求证满足以下 条件的kpM - kpN为一定值，M、N为 长轴的两个端点； M、N为在椭圆上 关于原点对称的两点。方法同上可得在双曲线的结论为布置作业作业题目略五板书设计圆锥曲线统一定义例1教学后记何性质中的对称性及 第二定义的应用。通过 圆锥曲线方程形式上 的共同点的联想比照， 培养学生的类比思维 能力。1置的作业有剃度，不能 一刀切。2布置一些思考题，使学 有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。在数学解题过程中，当思维遇到障碍时，运用类比推理，往往能实现知识的迁移，将 已学过的知识如例 1 与例 2或已掌握的解题方法如例 3、例 4、例 5迁移过来，就 有“柳暗花明又一村的感觉了。当然类比在解析几何的实际应用还有很多，例如新课学习焦半径，中点弦的应用等等 都可以通过类比来进行学习。通过