圆锥曲线培优讲义全

1、原点三角形面积公式1. 椭圆： 一 4 ' 1 I -1的离心率为一,且过点 千).假设点MX0,yo在椭圆C上，那么点一- 一.：称为点M的一个 椭点".& b1求椭圆C的标准方程；2假设直线I: y=kx+m与椭圆C相交于A, B两点，且A, B两点的 椭点分 别为P, Q,以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求 AOB的面积.2. 己知椭圆+勿1 ,过原点的两条直线"和S分别与椭圆交于点 力，网和网.记月。匚的面积为目.1设 雉“J,用同,f的坐标表示点©到直线用的距离,并证明：'门；./肉2设2 =巴七创,勺,求网的值.3设一与4的斜率

2、之积为尬，求砒的值，使得无论与2如何变动，面积保持不变.2 23.椭圆C：笃爲 10,b 0的左、右两焦点分别为F, 1,0 ,F2 1,0 ,椭圆上有b点A与两焦点的连线构成的AF1F2中，满足AF1F212AF2 F17121求椭圆C的方程;2设点B,C,D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称，设直线BC,CD,OB,OC 的斜率分别为 k1,k2,k3,k4，且 k1 k2 k3 匕，求 OB2 OC2 的值.14.在平面直角坐标系 xoy ,动点M (x, y)与两定点(2,0),(2,0),连线的斜率之积为一4(1)求动点M的轨迹C的方程；设点A(x1,y1), B

3、(x2, y2)是轨迹C上相异的两点.(I)过点A , B分别作抛物线y24、3x的切线h、I?, h与l2两条切线相交于点N( -3,t)，证明：NANB 0 ;1(n )假设直线OA与直线OB的斜率之积为 -，证明：S aob为定值，并求出这个定值45. 间、日分别是兀轴和y轴上的两个动点，满足I朋I = 2 ,点P在线是不为1的常数，设点卩的轨迹方程为G1求点的轨迹方程'；2假设曲线为焦点在轴上的椭圆，试数的取值围；3假设1=2,点|M,网是曲线C上关于原点对称的两个动点，点Q的坐标为，求 -的面积的最大值.6. 椭圆5的焦点在 闰轴上，中心在坐标原点；抛物线15的焦点在y轴上，

4、顶点在坐标原点.在BJ，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：x 3 2 4 讴9Qr 2 ° 8 t1求E/的标准方程；Cl o-th応r2定点 5, P为抛物线？上一动点，过点P作抛物线2的切 线交椭圆5于A，B两点，求仏月眈面积的最大值.7. 抛物线的焦点为'，过点'的直线交抛物线于 引，；两点.1假设卅求直线：-的斜率；2设点M在线段AB 上运动，原点q关于点M的对称点为©，求 四边形面积的最小值.y2 8. 设椭圆的左、右焦点分别是9 ,下顶 点为月，线段。月的中点为°切为坐标原点，如图.假设抛物线 5 : b =尤-1与负轴的交点为&qu

5、ot;，且经过卩，' 点.切线交椭圆于：、C2上的两点，求动点，过点I作抛物线的A MPQ面积的最大值.二定点定值问题9.动点P在圆E : (x 1)2 y216上运动，定点F(1,0)，线段PF的垂直平分线与直线PE的交点为Q .I求Q的轨迹T的方程；5过点F的直线li，I2分别交轨迹E于A，B两点和C，D两点，且h I2 证明:过AB和CD中点的直线过定点.10.在直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点是双曲线 D :吗X2 1的中心,抛物线C的焦点与双曲线D的焦点一样.I求抛物线C的方程;假设点P(t,1)(t 0)为抛物线C上的定点，A，B为抛物线C上两个动点.且PA丄PB，问直线

6、AB是否经过定点？假设是，求出该定点，假设不是，说明理由.11.如图，在平面直角坐标系沦 中，椭圆x yCr + = i( > £? > 0)a b的离心率为，直线''与''轴交于点交于；两点.当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时，弦AB的长为J卜y% A1求椭圆的方程;2假设点的坐标为',点在第一象限且横坐标为，连接点冲与原点。的直线交椭圆C于另一点尸，求仏咖的面积；1 13是否存在点使得E八 诃 为定值？假设存在，请指出点E的坐 标，并求出该定值；假设不存在，请说明理由.12椭圆C；牙+/二1的左焦点为F,不垂直于x轴且不过F点的

7、直线I与椭圆C 相交于A，B两点.1如果直线FA FB的斜率之和为0,那么动直线I是否一定经过一定点？假 设过一定点，那么求出该定点的坐标；假设不过定点，请说明理由.2如果FA丄FB,原点到直线I的距离为d,求d的取值围.13.如图，直线I : y kx 1(k 0)关于直线y x 1对称的直线为 h，直线l,l1与椭圆2e：£42y 1分别交于点A、M和A、N，记直线l1的斜率为k,.I求k k的值;n当k变化时，试问直线 MN是否恒过定点?设不恒过定点，请说明理由E爲+莓=1岡 14.如图，椭圆卞 昨心()的离心率是亍，过点的动 直线'与椭圆相交于 / 两点当直线 平行于

8、轴时，直线 被椭 圆肛截得的线段长为£2在平面直角坐标系中，是否存在与点日不同的定点Q,使得IWI PA丽=而 恒成立？假设存在，求出点Q的坐标；假设不存在，请说15.明理由.动圆过定点且与直线相切，其中p>01求动圆圆心c的轨迹的方程;2设A、R是轨迹0上异于原点1°的两个不同点，直线1°刈和0B 的倾斜角分别为和，当， 变化且爲斗工为定值 m 时，证明直线 恒过定点，并求出该定点的坐标.16.抛物线1 :的准线与轴交于点，过点 做圆C；工-5 的两条切线，切点为M，N, |MN| = 3頁.1求抛物线：的方程；2丨设乂，B是抛物线忙上分别位于 *轴两侧的

9、两个动点，且 9'J 其中J为坐标原点. 求证：直线匡i必过定点，并求出该定点的坐标； 过点Q作月B的垂线与抛物线交于G,网两点，求四边形冈面积的最小值.需Ml+>4>0)的右'世半紬与短半轴之比群于2.O求櫃圆C的标准育程；(打设不经过点的H絞冒捅團C相交于不同的强jftM.N 假设点B准以统段 M1V为豆锤的團上证明直线1过定点丼取出该毎点的坐标.17.X2218.如图，在平面直角坐标系xoy中，设点M(x0 , y。)是椭圆C: y y 1上一点，从原点 0 向圆 M: (x x。)2( y y0)223作两条切线分别与椭圆C交于点P、Q，直线OP、0Q的斜率

10、分别记为 k1 , k2(1) 求证：k1k2为定值;(2) 求四边形OPMQ面积的最大值.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，R xox2yo是椭圆C:242y_121上的一点，从原点o2 2向圆R: x xoy yo8作两条切线，分别交椭圆于 P， Q .1假设R点在第一象限，且直线OP，0Q互相垂直，求圆 R的方程;2假设直线OP ， OQ的斜率存在，并记为k! ，k2，求匕，k2的值;23试问OP2|OQ是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，说明理由三中点弦问题2x 椭圆C : -y a2 y b2b 0的长轴长为2 2，P为椭圆C上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A2为椭圆C的

11、右顶点，点M为线段PA2的中点，且直线PA2与直线OM的斜率之积为-21求椭圆C的方程；2过椭圆C的左焦点F,且不与坐标轴垂直的直线 l交椭圆C于两点 代B，线段AB的1垂直平分线与X轴交于点N , N点的横坐标的取值围是丄,0 ，求线段AB的长的取值421.在平面直角坐标系xoy中，过椭圆C :2 X2 ab21(a b 0)右焦点的直线x y 2 0交椭圆C于M,N两点，P为M,N的中点，且直线OP的斜率I求椭圆C的方程;n设另一直线l与椭圆C交于A, B两点，原点O到直线I的距离为AOB面积的最大值.2 222. 如图，椭圆E :笃 与 1(a b 0)左右顶点为 A、B ,左右焦点为

12、a bR,F2,AB| 4, F1F2 2.3， 直线y kx m(k 0)交椭圆E于点C、D两点，与线段F1F2椭圆短轴分别交于M N两点M N不重合，且CM DN .1求椭圆E的方程；2设直线AD, BC的斜率分别为k1,k2，求&的取值围.23.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆C2 2字古1(a b 0)的离心率1e 1，左顶点为A( 4,0)，过点A作斜率为k(k 0)的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点e.xI求椭圆C的方程；：n p为AD的中点，是否存在定点Q ,的k(k 0)都有OP EQ,假设存在，求出标；假设不存在说明理由；川假设过O点作直线I的平行线交椭圆+ -7

13、 = 1 (ti > h > 0)A.p = _24. 椭圆八过点眉。一1)，且离心率 2 .1求椭圆的方程；2假设椭圆m上存在点归初关于直线y = -对称，求国的所 有取值构成的集合 ，并证明对于 处冷， 的中点恒在一条定直 线上.25. 如图，在直角坐标系*血中，点“阪)到抛物线C:y =2px(p>()的 准线的距离为点匕二是上的定点，是上的两动点，且 线段启冏被直线平分.Ji01求电，目的值；2求面积的最大值.26.抛物线 三二运，过其焦点作两条相互垂直且不平行于轴的直线，分别交抛物线©于点1，也和点卩目，4，线段1卩2,卩3巴1的中点分 别记为卜，.1求面

14、积的最小值；2求线段"12的中点P满足的方程.2 227.平面直角坐标系xOy中，椭圆C :冷 爲a b0丨的离心率是-1，抛物22线E : x 2y的焦点F是C的一个顶点.1求椭圆C的方程；2设P是E上动点，且位于第一象限，E在点P处的切线丨与C交于不同的两点 A，B， 线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M .i丨求证：点M在定直线上；ii直线l与y轴交于点G，记大值与取得最大值时点 P的坐标.四定比分点PFG的面积为0， PDM的面积为S，求-Sl的最S228点E( 2,0)，点P是椭圆F : (x 2)2y236上任意一点，线段EP的垂直平分线FP交于点

15、M，点M的轨迹记为曲线 C.I求曲线C的方程;n过F的直线交曲线C于不同的A，B两点，交y轴于点N，NAmAF，NB nBF，求m n的值.如图*崔平面直角坐标系中，过山)的K线KV!与j轴交于点 M.直线MN勺直FM垂直+且与_r轴交于点X*TS点"戋 干宜线FM的对称点.(I)点T的轨迹为曲线C.求曲线C的方程t(口)輔國忙的中心在芈林原点川为茸右焦点，且离心率为过点F的直线/与曲线交于两点，与橢圆兗于卩心两点请问：是育存柱直 线f使线段PB的四等分点？假设存在*求出直线f的方雀*假设不存在， 请说明理由.29.在直角坐标系 xOy上取两个定点 A( 6,0),宀(.6,0),再

16、取两个动点 Ni(0 , m),N2(0 , n)，且 mn 2 .I求直线 ANi与A2N2交点M的轨迹C的方程；过R(3,0)的直线与轨迹 C交于P,Q,过P作PN x轴且与轨迹 C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，假设 RPRQ(1)，求证：NFFQ .一x2 y230.如图，在平面直角坐标系 xOy中，椭圆C: 22 1 a>b>0的左、右焦点分别a b为F1 , F2 , P为椭圆上一点在 x轴上方，连结PF1并延长交椭圆于另一点 Q，设PF1FQ .31假设点P的坐标为(1,-)，且厶卩©/?的周长为8，求椭圆C的方程；22假设PF2垂直于x轴，且椭圆C的离心

17、率e 1 , 2，数 的取值围.2 2*一i五结论31. 椭圆20.椭圆C：% 占1 a b 0经过点2 , . 2且离心率等于 -，点A , Ba b2分别为椭圆C的左右顶点，点 P在椭圆C上.1求椭圆C的方程；2M , N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM / AP , ON II BP ,求证：三角形MON的面积是定值.32.过椭圆右顶点的两条斜率乘积为1的直线分别交椭圆于,两点.1求椭圆的标准方程；2直线関N是否过定点D?假设过定点D,求出点的坐标，假设 不过点目，请说明理由.33.椭圆的两个焦点为Fi -. 5,0 ，F2 .5,0 ，M是椭圆上一点，假设 MF； MF2 0，8 .

18、1求椭圆的方程；2点P是椭圆上任意一点，A、A分别是椭3J5圆的左、右顶点，直线PA，PA,与直线X 专分别交于E,F两点，试证：以EF为 直径的圆交X轴于定点，并求该定点的坐标 .234.抛物线x 2py p 0的焦点为F，直线X 4与X轴的交点为P，与抛物线的交5 点为 Q,且 qf|-|pq .1求抛物线的方程；2 22丨如下列图，过F的直线丨与抛物线相交于 A,D两点，与圆X y 11相交于B,C两点A，B两点相邻，过 A,D两点分别作我校的切线，两条切线相交于点M,求 ABM与35.CDM的面积之积的最小值.垂直于长轴的直线交椭圆于点线段的中点 尸2V.01求椭圆的离心率;2设椭圆的左、右顶点分别是> :，且1 ；' 1，求椭圆的方程；3在2的条件下，设 !是椭圆右准线上异于回的任意一点，直线匕，二 与椭圆的另一个交点分别为 =、目，求证：直线 匡 与h轴交于定点.36点A( 1,0)，B(1,0)，直线AM与直线BM相交于点 M，直线AM与直线BM的斜率分别记为kAM与kBM，且kAMkBMI求点M的轨迹C的方程;n过定点F(0,1)作