复变函数级数泰勒级数和洛朗级数孤立奇点的分类本章讨论

1、第四章 复变函数级数 泰勒级数和洛朗级数 孤立奇点的分类本章讨论解析函数的级数性质，先介绍复变函数级数的根本概念 特别是幕级数的有关概念；然后讨论解析函数展开为泰勒级数和洛朗 级数的问题；最后讨论单值函数孤立奇点的分类这也是为第五章讨论 定积分的计算作准备。§ 4.1 复变函数级数和解析函数级数复变函数级数的根本概念有很多地方与实变函数级数相同，这里仅作扼要的介绍，其中有关定理将不予证明。一个复变函数级数05(z) u2(z)uk(z)八 uk(z)k吕(4.1 )如果它的局部和Q0Sn(Z)二uk(z)(4.2 )k=1的极限limSn(z)在一点z存在，那么称级数(3.1 )在Z

2、点收敛，而这个 n极限为级数在Z点的和；否那么称级数在Z点发散。由于山二Reg (z) ilmuO (k =1,2,)，所以级数(3.1 )的收敛和发散 问题就归结为两个实变函数级数二Reuk(z)和二Imuk(z)的收敛和发散k 4k 40qQ问题；在一点Z,假设Reuk(z)和lmuk(z)都收敛，那么级数(3.1 )在 k=1k=1此点收敛；假设v Reuk(z)和a lmuk(z)至少有一个发散，那么级数(4.1) k =1kd在此点发散。级数(4.1 )收敛的必要条件是lim un(z)二0(4.3)(4.1 )式收敛的充要条件是：任意给定一个小的数£刃，总存在充分大的正整

3、数N,使当n>N时,对于任何自然数p,恒有p|Sp(Z)Sn Un.k(Z)|(4.4 )这称为柯西收敛判据。如果级数J|Uk(z)|(4.5)k 4在z点收敛，那么称级数(4.1 )在此点绝对收敛。设Uk(z)(k日23 )定义在区域D(或曲线I)上，如果任意给定；0，存在与z无关的正整 数N,使当n>N时，对于任何自然数p, (4.4 )式恒成立，那么称级数(4.1 )在D (或I )上一致收敛。现将复变函数级数的一些根本性质列于下，证明从略。定理一如果级数uk(z)是绝对收敛的，那么级数收敛。k吕定理二如果级数二uk (z) = U (z)和二Vi (z) = V(z)都是绝

4、对收敛k=11=1的，那么它们的乘积O0QOQ0、Uk(z)' i(z)二' Uk(z) i(z)k=1I =1k,l =1二 Ui1Ui2U21Ui3U22 U31 "I(4.6 )Ur n U2 nd u 1 III也是绝对收敛的，级数(4.6 )的和是u ,它与(4.6 )式中各项的排 列次序无关。定理三 如果Uk(z)(k =1,2,3川I)在区域D内是连续的，且- Uk在kmD内一致收敛，那么级数的和在 D内也是连续的。qQ定理四 如果Uk(z)(k =1,2,3,111)在曲线|上是连续的，且J Uk(z)在kNl上一致收敛，那么级数的和 S (z)在I上

5、也是连续的，而且有qQqQiS(z)dUk (z)dz = v 严(z)dz(4.7 )1 k 4k 4即求和与积分可以交换次序，或者说，原级数可以逐项积分。定理五如果在区域D内满足Uk( z)|"k(k =1,2,3,川)，其中aMk =1,2,3,川)是常数，且匸ak收敛，那么二Uk(z)在D内绝对收 k 二敛且一致收敛。对于解析函数级数，还有如下的重要性质：魏尔斯特拉斯(Weierstrass )如果Uk(z)(k =1,2,3川|)在闭区域D上是单值解析的，' uk(z)在D的境界线I上是一致收敛的，那么kA(i )Uk(z)在D上一致收敛；kd：(ii)级数的和S(

6、z)在D内是解析的；(iii )在D内有d n oOQCiS(n)(z)=时 Uk(z)八 Uk(n)(z)(n =1,2,3J|)(4.8)dz k=1k =1而且级数(4.8 )在D内的任何闭区域上都一致收敛。最后给出几个常用的级数绝对收敛性的判别法：(1) 达朗贝尔(d' Alembert )判别法：如果(至少当n充分大时)卜1Lq：l (其中q是常数)，那么级数二Uk绝对收敛；Un I心如果(至少当n充分大时)Un十COA1，那么瓦Unk=1Uk发散。(2) 柯西判别法：如果(至少当n充分大时)0|Un|Eqc1 (其中q是常数)，那么级数Uk绝对收敛；如果(至少当n充k d分

7、大时)，那么山|发散。(3) 高斯判别法：如果(至少当n充分大时)= 1 +上+o(l)(其中卩是常数)(4.9 )|ui|n n那么当卩1时，级数uk绝对收敛；而当卩1时F|山|发散。k 4k 4一般来说，柯西判别法比达朗贝尔判别法强，但在计算上前者比 后者复杂。高斯判别法比达朗贝尔判别法更细致些，因而更强些，它 是一个很有用的判别法。§ 4.2幕级数的收敛性1.幕级数的收敛性在解析函数级数的范围内再特别讨论形如' ak(z-b)k(4.10 )k=0(其中ak和b都是复常数)的级数，这称为 幕级数.关于它的收敛性有 如下更强的定理：阿贝尔(Abel)定理如果级数&

8、ak(z-b)k在z二zo收敛，那么该级k=0数在圆域|z-b|：|zc-b|内绝对收敛，而且在该圆域内的任何闭圆域上 一致收敛。证我们要证明，对于任何正数，：|z°-b| ,以己表示以b点为圆心、以为半径的闭圆域，芒ak(z-b)k在C、上绝对收敛且一致收敛。k=e既然按假设 -ak(zb)k是收敛的，由级数收敛的必要条件k =0(4.3 )式可知lim比心。-b)k =0因而，存在一个正数 M使得 kla/zo b)理 M(k =0,1,2,).于是，当|z _b| t，有kk|z b|( P )ak(zb) =ak(z°b) -兰 M _-国一b|0b| 丿现在<

9、;1，而几何级数 f一 是收敛的，故由§ 4.1定理|z°b|kojqb|五可知，& ak(z b)k在6上绝对收敛且一致收敛。k=0推论一 如果"ak(z-b)k在z = zi发散，那么该级数在圆 k =0|zb冃zi b|外处处发散。这容易用反证法证明(试自证之)。推论二 对于幕函数 ajz-b)k，必存在一个数R启0，使在圆 kz0|z-b| = R内级数处处收敛，同时在|z-b|=R外级数处处发散。证 从b点出发任作一条射线(见图4.1)，在这条射线上各 点级数的收敛性有三种可能：(1) 除z=b夕卜，在射线上各点级数都发散。由推论一可知，级 数除

10、z=b外在平面上处处发散，此时R=0(2) 在射线上各点级数都收敛。由阿贝尔定理可知，级数在平 面上处处收敛，此时R=：。(3) 在射线上有两点A和B1，在A点级数收敛而在B1点级数发散，由阿贝尔定理显然可知，B1点比A点离z=b远。考虑A和B1的中 点，级数在这点可能收敛或发散，设为收敛，记这点为A。再考虑A> 和B的中点，级数在这点可能收敛或发散，设为发散，记这点为 B2。 再考虑A和B2的中点，假设级数收敛，记这点为A ;否那么记这点为B3这样，在线段AmBn 上必存在唯一的极限点P,在P点靠近Z = b的一侧 各点级数都收敛，另一侧各点级数都发散。最后，由阿贝尔定理和推 论一可知

11、，在以z=b为圆心、以P点到z=b的距离为半径的圆内级数 处处收敛，而在这圆外级数处处发散。因此，R等于此圆的半径。2.幕函数的收敛圆圆|z_b|二R称为幕级数7 ak(z-b)k的收敛圆，而半径R称为它的 k卫收敛半径。注意，对于在收敛圆周上的收敛性，上述阿贝尔定理及其 推论没有给出任何信息.定理 在收敛圆内，幕级数 焉ak(z-b)k可以逐项积分或求导任意次，而收敛半径不变.证由于幕级数的每一项都是解析函数，由§4.1定理四和魏尔斯特拉斯定理可知，此级数在收敛圆| z - b |= R内的任意一条曲线上可以逐项积分，同时在任意一点可以逐项求导，而且积分或求导后的 级数也是收敛的设

12、LZ ak-b)kZ 旦(zb)“(4.11 )b 心kzok 1的收敛半径为R ;同时QOO0一二 ak(zb)k =' kak(zb)k'(4.12 )dzk =0心的收敛半径为Rd，那么有 RR(4.13)和 R,一 R(4.14)将结论(4.14 )式用于幕级数(4.11 )(注意，它的收敛半径是R), 有(R)d 王 R(4.15)k然而(4.11 )式求导后就是幕级数&ak z-b本身，所以(Ri)d二Rk =0-k(4.16 )R_ R因而4.15 式等价于综合4.13和4.16式，即得R=R类似可证Rd = R。应当指出，虽然幕级数经逐项积分或逐项求导后

13、其收敛半径保持 不变，但幕级数在收敛圆上的收敛性可能因此而改变。一般地说，逐 项积分后收敛性将加强，而逐项求导后收敛性将减弱。例如幕级数zk，其收敛半径显然是1。在圆|z卜1上级数是处处发散的这是k -0因为lim |zn0，不满足级数收敛的必要条件3.3式，而逐项n_积分后的级数f丄zk1在Z 1处是收敛的。7 k +1由级数收敛性的达朗贝尔判别法和柯西判别法可以得出求幕级 数芒akzk收敛半径R的两个公式为书写方便，已取b=0:k卫(1)a设lim | n |存在，那么an 1R = lim |玉 |an 1(4.17)设nim n |an存在，那么1R = lim n 门 n an(4.

14、18)§ 4.3解析函数的泰勒级数展开如上节所述，就幕级数来说，它的每一项都是解析函数，而且在 收敛圆内的任何闭区域上都是一致收敛的，因此由§4.1魏尔斯特拉斯定理可知，幕级数在其收敛圆内是一个解析函数。 本节研究它的反 问题，即区域上的解析函数展开为幕级数的问题。1.解析函数的泰勒级数泰勒Taylor 定理 设fz在圆域z-b：R内是解析的，那么fz可以在此圆域内展开为绝对收敛且一致收敛的幕级数f(心守“7 k!(4.19)并且这样的展开是唯一的证 注意，这里所说的在圆域内一致收敛指的是在该圆域内的任何闭区域上一致收敛。所以我们要证明，对任何 R<R，所展开的幕级数

15、在闭圆域z-b兰R上是绝对收敛且一致收敛。在R和R之间取一个数R，即R c R； c R。对于圆Cr人任-b| = R/见图3.2，由柯西公式fZ=占山出,4.20其中z是闭圆域z-bR上的任一点。注意到詈1，那么1 _ 1 _ 1 1taFJaFJaFI z (-b)-(z-b) 匕1_乙-bb一 b k=0J (z - b)k2( -b)k1(4.21)这个级数是绝对收敛且一致收敛的见§ 3.13.20式并利用§ 3.1定理四，得到定理五。将上式代入f 八+c ( f(bk1d(z-b)k心.2兀1印(b)再利用解析函数高阶导数的柯西公式2.25f(k)(b尸卫川2iu

16、f()k 1R(b)(4.22)即得(4.19)式由于函数是解析的，它必然是连续的，因而f( )< M (M是常数)。利用柯西不等式(3.30),有所以f(k)小f (b).kZXkR1(z_b)< Mk!<R1丿<O(k)(b)k ! M(Ri)k注意到訂1 '级数黄)k是收敛的所以幂级数(4.19)在闭圆域z-b ER上是绝对收敛且一致收敛的(见§4.1定理五)。既然由f (z)展开的幕级数f (z)二、ak(z -b)k( 4.23 )k=e必定是一致收敛的，对(4.23)式求导n (n=0,1, 2,)次后令 z=b，可得务=f (b)(n=0

17、, 1, 2,)。n!这就证明了 f (z)的幕级数展开式(4.19 )是唯一的。级数(4.19 )称为解析函数f (z)的泰勒级数，而b点称为其展 开中心。既然这种展开是唯一的，我们就可以用任何方便的方法(例 如几何级数公式，如果可能的话)求出泰勒级数的各项系数而不必利 用(4.19)式。本节开头已经指出，幕级数在其收敛圆内是一个解析函数。所以 被展开的函数如果有奇点的话，这种奇点只可能在收敛圆上或收敛圆 之外；就是说，奇点至展开中心的距离不会小于收敛半径R。另一方面，在函数的奇点中，假设离展开中心最近的一个奇点不在收敛圆上 而在收敛圆之外，那么在以展开中心为圆心、以展开中心至这个奇点 的距

18、离为半径的圆域内函数是解析的，于是按泰勒定理，此幕级数的收敛半径将大于R。这与收敛半径的定义相矛盾。由此可见，函数展 开为幕级数，其收敛半径必等于展开中心至被展开函数的最近奇点的 距离。这是确定泰勒级数收敛半径的最直观、最简便的方法。注意，在实变函数论中的泰勒级数本没有这样的好处， 但现在就可借助于复 变函数论的这一方法来确定收敛半径了。例如，根据泰勒级数公式4.19 和刚刚所说确实定收敛半径 R 的方法，不难得出常见的几个单值初等函数的泰勒级数及其收敛范围以z=0为展开中心：丄八 zk 4.241 - Z k z0在整个平面上 丄 的唯一奇点是Z=1，而Z=0至Z=1的距离为1,所1 -Z以

19、R=1因而上述级数的收敛区域是 z <1。等等0a az 人.I k ezk k!0sin z = ' (-1)'n=S2mHn Zi (2n 1)!aOcosz 二、(-1)'n =02nZ【例1】证明Z心z ：(z ：-)eZ1 肾二 eZ1 Z2(4.25)(4.26)(4.27)(4.28)00 1七才十；旳1z2Iez2I I!根据§ 4.1定理二,这两个级数可以相乘，而且CO OO AeZlJez' '一z；z；k =0 i =0 k ! l !引入指标n二k+l以代替指标1此时n 一 k,然后交换两求和号次序此时k的取值为0

20、 “兰n ,那么上式成为k n_k乙Z2E丄上一卫一zkz尸 n卫 n !：抽! n-k!一由二项式定理可知，最后一式右端方括号内的正是z Z2n，所以00 deziQez2 八丄(乙z2)n = ez1 z2z n!【例2】证明ize = cosz i sin z(4.29)O0 AO0 AO0A证eiz 八(iz)n- (iz)2k- (iz)2k 1nM!心(2k)!k(2k+1)!八(-1)kk =0z2k(2 k)!00r (-i)kk =02k 1(2 k 1)!iz,.利用4.26和4.27式，由上式即得e = cosz，i si nz特别，取z=x 实数，那么有ixe = co

21、sx + i sin x4.30由此可见，3.2 式的引入是合理的。2.多值函数的泰勒级数对于多值函数来说，其函数值尚未规定之前，在复平面上展开为 泰勒级数也就无从谈起。只有在黎曼面上或确定单值分支之后，才可 像单值函数一样作泰勒级数展开当然，展开区域应避开支点和割 线。下面以两个例子加以说明。【例3】将In (1+z)在z=0的邻域内展开为泰勒级数。解In (1+z)的支点z = _i是和：。为确定它的单值分支，沿 负实轴从z=-1至z=：作割线，如图4.3所示(如同§ 1.4所指出的, 割线的作法不是唯一的。但是，在这里为使泰勒级数的收敛区域尽可能的大，割线不应与此区域相交，更不

22、能通过点z=0)。如果我们取的单值分支是使割线上岸关于支点 z=-1的幅角为二，那么割线下岸的幅角为-二；就是说，对于这个单值分支，z的值是(4.31)(4.32)z -： ：； _ 二：:：二特别，原点是z = 0- -1Te"°由于In 1 z z =ln 1ei0 =0dnndzln(1 z) zn _1=(-1)(n-1)!( n =1,2,3 )(4.33)利用(3.19)式即得*、：、nIn(1+z)=E (-1严色(|z c1)心n其收敛区域为z ：1是因为In(V z)在整个复平面上(除无穷远点外)只有一个奇点z=-1，而收敛半径R等于z=0至z=-1的距离

23、，即R=1。假设取另一个单值分支z = _1 泻 了 3二(4.34)此时 z = 0 = T +1ei2因此In(1 + z) z=0 Tn(1ei2；r) = 2兀 i这与(3.32)式不同，而(3.33)式仍有效，所以:nIn(1 z) =2二i '、(T)n'Z z 1n Mn对于其余的单值分支(有无穷多个)，In(1 - z)可作类似的展开(请读者自行作出)【例3】将(1 z)m (m为非整数)在z=0的邻域内展开为泰勒级数。解(V z)m= emln(1 z)的支点是z=-1和。同样作割线如图4.3。如取单值分支为(3.31)式，那么(1 z)mml n(1 卡)_

24、0 = e2(1 £dzm (1 z)mz1eo 二 m川(1 z)mdz2z=Q= m(m")(1 z)m(1 z)2z=J 1ei0=m(m -1)般地，对自然数dndzn(1 z)mW) "Ed(1 z)n=m(m -1) (m -n -1)利用(4.19)式即得(1 z)m =1 mz m(m1)zm(m)(m-n 叱2!n!=1 J m(m" gfnn!(z <1)(4.35)如取另一单值分支(4.34)，注意到:mmln(1 -z)(1 z) ze£(1 z)m=0m(m -1) (m-n-1* . z)m(1 z)n=m(m

25、 -1) (m - n 1)e2m ! (n 二 1,2,3 )那么有(1 z)m £mi近 m(m T) '(m- n +1) In!(z ：1) (4.36)§ 4.4解析函数的洛朗级数展开现在更一般地讨论解析函数展开为形如(z -b)n的级数的问题，这里幕次n可以取负整数。洛朗(Laurent)定理 设f(z)在环形区域&：# bcR内是单值解析的，那么f(z)可以在此环域内展开为绝对收敛且一致收敛的级数O0f(z) = z ak(zb)kkoo(4.37)其中1 ak=.7f&Ld 芒(4.38)J .“k-1d2江1LG-b)(l是环域内围

26、绕z=b 一周的任何闭曲线)。这个级数称为洛朗级数，这样的展开是唯一的。证 如同上节泰勒定理的证明中所说的那样，这里所谓在环域R c zb vRi内一致收敛，意即在任何一个外半径R；小于Ri、内半径 大于R2的闭环域R?'勻z-b兰氏上一致收敛。设z是环域&十-bcR,内的任一点，它满足&上山-bER；,再取 两个数R"和R2"使分别满足R； c R" c R和R2 R； c R2，如图4.4所示， 在由"十-b = Ri"为个境界线、Cr；下-b = R2"为内境界线的闭复通区域上，应用柯西公式，就有f( z

27、)哙叮需Cr；-d(4.39)当匚在上时，注意到耳£1，那么_k11兰(z-b)k 1- z - b r z - bk =0； ：；、 -b(4.40)当匚在CR"上时，注意到I土1，那么1(匚 _b )_(z_b )二i =o z - bk 7 - b(4.41)其中最后一个等式作了求和指标的代换k = -(I T)，将(4.40)和(4.41)式代入(4.39)式，有2if 二丄 Hd z - J £ ：h"d b)k利用柯西定理，上式中的积分曲线CR.和CR"都可用I代替而积分不变,所以1 oOf(z)= 2?ik叨CR"(匚

28、_b)d z-b k这就证明了 (4.37)和(4.38)式，至于级数(4.37)收敛性的证明完全同 泰勒定理，这里从略。现在证明(4.37)式是唯一的；也就是说，其中系数 ak k=0,_1,_2,被(4.38)式唯一确实定，为此，设有O0_kf ZCk z -bkcd以2二i(z-b)n1除上式两端，并关于z在丨上积分，有f z1dzl(z-b)J ln41(z-b)k_n J1dz =2 兀 icn = Cn其中利用了公式(见§ 4.3例)k n 1 iJ (z - b)k1dz =u 10当(k=n) 当(k = n)所以,5 =制册心0,*2)需要指出，对于(4.38)式，

29、即使是k=0,1,2,3,时，ak也不一定是f 也不要产生误解，以为级数中存在负幕，表示b点是函数k!f z的一个奇点，这是因为定理中没有说f z在由l所围的区域内(明 确的说，在闭区域z-b兰R2 上)是解析的，在此区域上不能用柯西公 式和高阶导数的柯西公式，其实f(z )在z-b兰R2上倒必定有奇点，否那么洛朗展开式就自动地复原为泰勒展开式。在洛朗级数成立的环 形区域内，正幕项和负幕项都是一个统一的解析函数的不可分割的组 成局部。洛朗定理中的环域有两种极限情况，其一是环域的内半径为零， 另一是环域的外半径为无穷大，§4.6中将讨论这些情况。§ 4.5 泰勒级数和洛朗级数

30、展开的几种常用方法用(4.38)式来求洛朗级数(4.37)的系数ak需要计算曲线积分，所 以并不实用，按照洛朗定理，由于在特定的环域内函数的洛朗级数是 唯一的，我们通常是借助于一些别的方法将它展开。 这些展开方法对 于泰勒级数的展开同样是适用的。1、利用几何级数公式(4.24)(这是最常用的展开方法)【例1】将匕在环域内展开为洛朗级数。解 注意到z>1,即卩4<1,利用(4.24 )式，有z11 -z2z212zook =0 Z12k 2(4.42)【例2】将占分别在区域D1 ： WTM和区域D2 :Vz-i 5展开为洛朗级数。解利用局部分式法，有1 = 1 _ 1z(z 1) z

31、 z 1(4.43)1 1(z -i) i (z -i) (1 i)先考虑区域D1内的展开，注意到此时|z-i|>1，即 <1 ； 1 +,z- i1(Z -i) i八(_i)n(z i)n0co(4.44 )百 k半/.、k二"I (z-i)k -其中已作了求和指标的代换：k=-n-1 冷市十士盲需z-ik1 i将这两式代入4.43 式，即得1z(z 1)-oOcdk ： Hk y -二 i (z_l)-n=0k=0(-1)k(1 i)k 1(z_i)再考虑区域D2召V1和冃'所以占的级数与4.44 式相同，而(4.45)11£ (-1-i)n(zi)

32、 (1 i厂7 . 1 i (zi)1z-i将4.44 和4.45 式代入4.43 式，即得1,1n_1_inzz 1心z-in12、利用其它初等函数的泰勒级数展开公式4.25 )(4.27 )等等，例如，利用3.25 式，有例如，利用3.25 式，有ez 八十z 04.46k=o k!z【例3】将z(z 1)(z-1)3在环域1 < zZ内展开为洛朗级数。解由于z(z 1)z2z(z-1)3 (z-1)3 (z-1)3(4.47 )我们只需将1 d3展开。为此，利用/Z -11z -1O01kl-并对此式求导两次，得到1(z-1)3(k 1)(k 2)2 k =0zk3(z 1)代入4

33、.47 式，有(k 1)(k 2)z(z 1)(z-1)3在此式右端的两个和式中分别作指标代换n=k+1和n=k+2，即得zz 11 二 nn 1二 nn -1 I ： n23n 亠二 n 二 nz -12 |!_kzk=2 zn 吕 z4、两个级数相乘或相除【例4】 将cotz在环域0 ： z ：二内展开为洛朗级数。解利用, cos z cot z =sin z其中sinz和cosz的泰勒级数已见于4.26 和4.27 式。另一方面，由于cotz是奇函数，而且由4.26 和4.27 式可见它的级 数的最低幕次是-1，我们可以设(4.48)cotz 八 biz2'4l =0为定出b I

34、 "，1,2川I，将4.26 和4.27 式以及4.48 式代入恒等式cotz-咤中，移去分母后有sin z:2m:、(-1尸m=0(2 m)!n=0oO(-1)nl -0bl2(Hn)(2n 1)!z在右端作求和指标代换，即以m=l n代替n，并注意到m-l二n_0， 即P<m，那么上式成为所以J(1)mm02m(2m)!m八(-1)1l卫oC-：z2my (2m-2l 1)!b(2m-2l 1)!(m = 0,1,2| 由此可以定出b :令m=Q得bo =1 ;令m=1并利用b° = 1，可得b =-;3令m=2并利用bo =1和b1 =-，可得b2 =-丄；另m

35、=3并利用bo = 1,345bT，T，可得945 ；依此类推，将这些b值代入(曲)式即得(3.49)5其它展开方法(例如利用三角恒等式)例如,5 sin z 二2i132i(e5lz3iziziz3iz . 5iz-5e 10e -10e 5e -e )1165iz .5ize -e2i3izJ3iz-5皂二2iiz10z -e2i(sin 5z -5sin 3z 10sin z)16此式右端各项的展开都是知道的，所以sin5 z的级数就是它们的和。§ 4.6 孤立奇点的分类和特性我们的讨论限于单值函数(或多值函数的单值分支)。假定函数f(z)的奇点Z二b是孤立的；也就是说，在Z二

36、b的任意小的邻域内除此 点外f(z)再没有其它奇点；或者说，除此点外f(z)是解析的。这时如 果将f(z)以b点为中心在它的邻域内展开为洛朗级数，由洛朗定理可 知，环域的内半径R2=0。因此，我们有(4.50 )f (z) = ' ak(z b)k (0： z -b : R)其中ak =£( "bl1" (k= 0,一川2,(4.51 )(4.50 )式的正幕局部ak(z b)k称为它的解析局部，而负幕局部k z0<：3k(z-b)k称为主要局部。注意，两者仍都是解析的！不过下面将看k卫到，f(z)在z = b的奇性确是由主要局部所决定的。现在按级数

37、(4.50 )的主要局部的不同形式定义各类奇点，下面还将看到，这种定义是与当z； b时f (z)的不同极限特性相等价的(1) 可去奇点假设级数(3.50 )的主要局部不存在，即(4.52 )kf (z) =E ak(z b)(0 c|z b c R)k士那么称z = b为f (z)的可去奇点。此时显然lzm f (za0是一有限复数。反之,Hzmb有限复数，那么由极限的性质可知，总存在b点的一个小邻域，使f(z)满足f(z) <M (常数)。据此，我们可 以证明ak =0 (k = -12311)。事实上，既然z=b是f(z)的孤立奇点， 可将(4.51 )式中的积分线路丨变形为以b点为

38、圆心、以充分小的数£ 为半径的圆C；(只要£充分小，C ；总可以含于上面所取的小邻域内)而保持积分值不变。于是，由(4.51 )式有ak2 兀 Lie(-1,-2, -31)可见呵耳=0 (k八1,-2,-3,IH),然而从(4.51 )式看到,实质上与£无关，所以ak二0 (k 一 1,一2,一3,川),因而，z=b是可去 奇点。例如，z=0时sin%的可去奇点，这是因为级数(0 :： Z :：)义函数F(z)f(z) lim f (z).z :b(k =0,1,2,川)，为了弥补此缺陷，我们定是解析的，这时,7 d 4(-b)k!(k =0,1,2,| 所以没

39、有负幕项，或者极限zm乎“是一有限数。严格地说，当z=b是f(z)的可去奇点时，虽然ak = 0，但是，系数ak (k =0,1,2,|由(4.51 )式所确定的级数(4.50 )还不是泰勒 级数，这是因为f(z)在z=b并不可导，因而(当 z = b)(当 z=b)代替f (z)，贝y易见F(z)在z=b是可导的，因而在圆域z-b：R,内QO(zb <R)F(z)八 ak(z -b)kk=Q是泰勒级数，基于上述理由，可去奇点今后就不再作为奇点看待了。(2) 极点假设级数(3.50 )只有有限个负幕项，即QOf(z) = W ak(z-b)k (0乙一匕：尺)(4.53 )k =-m其中

40、m_1且a -0，那么称z=b为f(z)的极点，而正整数m称为极点的 由于li叫f(Z)R，由极限的性质可知，只要b点的邻域充分小，在这阶数，特别m=1时的极点也称为单极点此时，显然lim f(z) = °°7反之,假设 lim f(z)二：，让我们考虑函数：(z)-1f(z)(4.54 )Z_777个邻域内就有f(z)=O，另一方面，lim(z)=O , z=b是的可去奇点，基于这两方面的原因，(z)在z=b是解析的，因而可以展开为泰Q0勒级数。(z)八一 Ck(z-b)k(Cm=O)(4.55)km因为Go：(b)=O，所以m_1。因此，上式又可改写为：(z) =(z-

41、b)m (z)(4.56)其中-(z)在z=b是解析的且f = 0。这样亡在z = b也是解析的，因而有泰勒级数1' (z)oO二' ak(z_b)kk =0(4.57)综合(4.54)，( 4.56 )和(4.57 )式，得到COQOf (z)八 ak(z-b)kjm 八 am i(z-b)1 (m-1)k=0I -s其中最后一步作了求和指标的代换l=km,由此可见z=b是f (z)的极 点。在确定z=b是f (z)的一个极点之后，不难确定这极点的阶数 m。事实上，以(z-b)n (n为自然数)乘(4.53)式的两端并取极限z > b， 有Izm(z-b)nf (z) =zma(z-b)n+ a(z-b)nE +lil°°(当n<