大学高等数学下考试题库附答案

1、?高 等 数 学? 试 卷 1下a b 0 a b 0 a b 0 a b330函数z x y3xy的极小值是xsin y，贝U y1,4()一.选择题3分101.点M1 2,3,1到点M 2 2,7,4的距离M1M2().4C 向量 a i 2j k,b 2ij，那么有a. a II b b. a 丄 b . a,b ： . a,b 3.函数y2 x2 y1的定义域是Jx22y1x,y12 x2y2 .x,y12 xy22x,y12 x2y2x,y12 xy2 24.两个向量a与b垂直的充要条件是、2假设p级数2收敛，那么n 1 npxnp 1 p 1 p 1 p 1幕级数的收敛域为()n

2、1 nnx1,11,11,11,1 幕级数在收敛域内的和函数是n 0212 2 1微分方程xyylny 0的通解为.1 x 2 x 1 x 2 xxxxex _y ee y e y exe y e 一 填空题(4 分 5)1.一平面过点 A 0,0,3且垂直于直线 AB，其中点B 2, 1,1 ,那么此平面方程为2.函数Zsin xv的全微分是3.设Z3xy3xy1,那么i4.1的麦克劳林级数是2 x5.微分方程y 4y 4y0的通解为三.计算题5分6、-u zz1.设 z e sin v，而uxy,v x y，求 ，.xy2.隐函数ZZ x, y2 2 2由方程x2yz4x2z 50确定，求

3、一,一x y一 - 2211, t 2 2223.计算sinxy d，其中D :xy4.D4. 如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积R为半径.5. 求微分方程y 3y e2x在yx0 0条件下的特解.四.应用题10分231. 要用铁板做一个体积为 2m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最 省？2.曲线y fx上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点 1,-，3求此曲线方程试卷1参考答案一 选择题 CBCADACCBD二. 填空题1.2x y 2z 60.2. cos xy ydx xdy .2 23.6x y 9y 1.4.n 0

4、12n5. y C C?x e2xzxy.1.e y sin x yzxycos x y ， e xsin x yxy三.计算题cos x y223.dsind01634.R .35. y3x e2x e四.应用题1长、宽、高均为 %2m时，用料最省.1 22. y x .3?高数?试卷2 下一. 选择题3分101.点 Mj 4,3,1 ，M 2 7,1,2 的距离 MjM?0，那么两平面的夹角12 -.13 . 14 . 15设两平面方程分别为 x2y2z1 0和 x y 5为2 2函数z arcs in x y 的定义域为.6 4 3 2x,y 0 x2 y21 . x, y 0 x2 y

5、21C22c22x, y 0 x y .x,y0 x y -4.点P 1, 2,1到平面x 2y 2z 50的距离为.2 2.4C函数z2xy3x 2y的极大值为.1 22z I.1c 1 一设 z x 3xy y，那么一122.7C假设几何级数arn是收敛的，那么.1幕级数 n 1xn的收敛域为n 0sin na1,11,11,11,1 级数是n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定10微分方程xy yin y 0的通解为.cxxxX 亠y e y ce y e y cxe 二.填空题4 分 5x3 t1直线1过点A 2,2, 1且与直线yt平行，那么直线1的方程为z12t2.

6、函数z exy的全微分为2 23.曲面z 2x 4y在点2,1,4处的切平面方程为 4. 的麦克劳林级数是 1 x0在yx1 1条件下的特解为2j 3k，求 a b.5.微分方程xdy 3ydx三. 计算题5分61.设 a i 2j k,b2 22.设 z u v uv，而 u xcosy, v3.隐函数zz x, y由x33xyz 2确定，求,zxy4.如图，求球面 x2 2yz22 2 24a与圆柱面xy2ax a 0所围的几何体的体积5.求微分方程y3y2y0的通解.四.应用题10分22.如图，以初速度Vo将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律提示学dt2g .当t 0时,dx x&

7、#176;，dtVo)试卷2参考答案一. 选择题二. 填空题x 21.-1CBABACCDBA.xy2.eydxxdy .3.8x8yz 4.4.n 02n x5. y.计算题i.8i3j2k .2.3x2sin ycosy cosy sinzy ,一2x3sin y cos y sin y cos y yx3 sin 3 ycos3 yz3.-xxyyzz2 ,z yxyxz2 .z324. a35. y C1e 2xC2e四.应用题161. .32. x= gt2 V0t2Xo .?高等数学?试卷 3 下1、二阶行列式2-3的值为45A、10B、20C、24D、222、设a=i+2j-k,

8、b=2j+3k，贝U a与b的向量积为A、i-j+2k B、8i-j+2k C、8i-3j+2k D、8i-3i+k3、-1、-2、1到平面 x+2y-2z-5=0 的距离为2B、3C、 4D、 54、函数z=xsiny 在点1，-处的两个偏导数分别为4()2C、25、()设 X2+y2+z2=2RX0 z , z 分别为y红、z6、设圆心在原点，半径为R，面密度为X22y的薄板的质量为2(面积A= R )R2AB、2R2AC、3R2AD、nX7、()级数 1n的收敛半径为n 1n12B、 C、1D、328、cosx的麦克劳林级数为()2nn0(1)n1)n2nX(2n)!1)n2nX(2n)

9、! n o(1)n2n 1X(2n1)!9、微分方程y'' 4+y' 5+y'+2=0的阶数是一阶B、二阶C、三阶D、四阶10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为A、-2，-1B、2，1C、-2，1D、1，-2、填空题此题共 5小题，每题4分，共20 分X 1 y 31、 直线 Li: x=y=z与直线 L2： Z的夹角为 。2 1X 1 y 2 z直线La：与平面3x 2y 6z0之间的夹角为。2 1 22、 的近似值为 ,sin10°的近似值为 。3、 二重积分d , D : x2y2 1的值为。Dn4、 幕级数n!

10、xn的收敛半径为 ,的收敛半径为 。n 0n 0 n!5、 微分方程y'=xy的一般解为 ，微分方程xy'+y=y 2的解为。三、计算题此题共6小题，每题 5分，共30分1、用行列式解方程组-3f+2y-8z=17<2x-5y+3z=3x+7y-5z=22、 求曲线x=t,y=t2,z=t3在点1，1 , 1处的切线及法平面方程.3、 计算 xyd，其中D由直线y 1,x2及yx围成.D4、 问级数 1n sin1收敛吗？假设收敛，那么是条件收敛还是绝对收敛？n 1n5、将函数fx=e3x展成麦克劳林级数6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一

11、般解四、应用题此题共2小题，每题10分，共20分1、求外表积为a2而体积最大的长方体体积。2、放射性元素铀由于不断地有原子放射岀微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，比例系数为 kt=0时，铀的含量为 M。，求在衰变过程中铀含量M t随时间t变化的规律。参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B10,A二、填空题2 . 81、ar cos, arcs in2、，心8215、y ce2 ,cx 1三、计算题1、-32-8解： =2-53= (-3 )X -53-2 X 23+ (-

12、8 ) 2-5=-13817-57-51-5172-8 x=3-53=17 X -53-2 X 33+ (-8 )X -5=-13827-57-52-527同理:-317-8 y=233=276, z=4141 2-5x所以，方程组的解为x1, y2, z2、解：因为 x=t,y=t 2,z=t 3,所以 xt=1,y t=2t,z t=3t2,所以 xt 11=1 =1,y 111=1 =2,z t| t=1 =3故切线方程为:法平面方程为：:x-1 ) +2(y-1)+3(z-1)=0即 x+2y+3z=63、解：因为 D由直线y=1,x=2,y=x 围成, 所以D:2 2故:xyd 1

13、xydxdyD：(2y £)dy114、解：这是交错级数，因为Vn1sin 0,所以，Vn n1 Vn,且 lim sin - n0,所以该级数为莱布尼兹型级数，故收敛。1sin 当x趋于o时，sin nx x，所以,limn.1sinn11,又级数；发散，从而nn 1sin1发散。1 n所以，原级数条件收敛。5、解：因为 1e 1 x x2!)用2x代x，得:6、解：特征方程为r2+4 r+4=0所以，(r+2)2=0213x3!1xn!得重根ri=r2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x所以，方程的一般解为y=(C1+c2X)e-2x四、应用题1、解：

14、设长方体的三棱长分别为那么 2 (xy+yz+zx ) =a2构造辅助函数F( x,y,z) =xyz+ (2xy 2 yz2zx a2)求其对x,y,z的偏导，并使之为0,得:yz+2(y+z)=oxz+2(x+z)=0xy+2(x+y)=0与 2(xy+yz+zx)-a 2=0 联立，由于x,y,z均不等于零可得x=y=z代入 2(xy+yz+zx)-a 2=0 得 x=y=z= _所以，外表积为 a2而体积最大的长方体的体积为xyz、6a3362、解：据题意?高数?试卷4 (下)一.选择题：3 10301 以下平面中过点(1 ,1 ,1)的平面是 .(A) x+y + z =0(B) x

15、+y + z = 1(C) x = 1(D) x=32 在空间直角坐标系中，方程 x2 y22表示.(A)圆 (B)圆域 (C)球面 (D)圆柱面3 .二兀函数z (1 x)2(1 y)2的驻点是(A)(0 ,0)(B)(0, 1)(C)(1,0)(D)(1,1)4 .二重积分的积分区域x2y24，那么 dxdyD(A)(B) 4(C) 3(D)155 .交换积分次序后xdx0f(x, y)dy1 1dy f (x, y)dx(A) 0 y(B)1odyof以 y)dx (C)1 y0dy 0 f(x,y)dx(D)x 10dy0f(x,y)dx6. n阶行列式中所有元素都是1,(A)n (B

16、)0(C)其值是(D)17 .对于n元线性方程组，当r(A) r(A) r时，它有无穷多组解，那么_.(A)r = n(B)r <n(C)r >n(D)无法确定8 .以下级数收敛的是(A) ( 1)n 1n 1n 13n(B)2nn 1 2(C)(1)n 1 口(D)n9 .正项级数Un和Vn满足关系式UnVn，那么n 1n1(A)假设Un收敛，那么Vn收敛(B)假设Vn收敛，那么Un收敛n 1n 1n1n 1(C)假设Vn发散，那么Un发散(D)假设Un收敛，那么Vn发散n 1n 1n1n 110.：1 1x x2，那么一19的幕级数展开式为1 x1x(A)1 x2x4(B)1x

17、2x4(C)1x2x4(D)1 x2x4填空题：45201 数 z ,x2 y2 1 In(2 x2 y2)的定义域为 .2 假设 f(x,y) xy，那么 f(Y,1).x3 (xo, yo)是 f (x,y)的驻点，假设 fxx(xo,yo) 3, fyy(xo, yo) 12, fxy (xo,yo) a那么当时，(xo, yo) 定是极小点.4矩阵A为三阶方阵，那么行列式3AA5 级数Un收敛的必要条件是 n 1三.计算题一 : 6 5 3O1.:z xy，求：，zxy2.计算二一重积分J4 x2 dD，其中D(x, y) | 0y 4x2,0 x 2.1 21，B =1 233.：X

18、B = A，其中 A =0 12 ，求未知矩阵X2 01O O 1xn4 求幕级数1n 1 x的收敛区间.n 1n5 求fx e x的麦克劳林展开式需指岀收敛区间四.计算题二:102201.求平面x 2 y +z=2和2 x +y z =4的交线的标准方程.x yz12.设方程组 x yz1，试问：分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解x yz1参考答案5.A;6.B;7.B;8.C;9.B;1 O.D.二(x, y) |12 2x y2 2.yx四. 1解：yxy 1 xy ln yxy1.C;2.D;3.D;4.D;3.6 a 64.272odx5. lim un On2解：.4

19、 x2do 4 x2 4x2dy2 2o(4 x2)dx4xx3 21631273.解：B 11 1 0 2012 ,AB 124150 0 15 解：.因为exxn0 n!)，所以 ex 3 LXnx (,). non! non!4 解:R 1,当|x| 1时，级数收敛，当x=1时，得1 收敛,n 1n当x1时，得 12n 11发散，所以收敛区间为 1,1.n 1 nn 1 n1四.1解：.求直线的方向向量：S 12当 1,2 时,r(A) (A)3,有唯一解：x yj k21 i 3j 5k，求点:令 z=0,得y=0,x=2,即交点为(2,所以1 1交线的标准方程为:.乞二 y 1135

20、2解：11 11 1 11 1 1111A11 11 1 10 1 1 001 101 111 1 10 1 1 2 100 (1 )(2)1(1)当 2 时，r(A)2, (A)3,无解;x 1C11 C21时，rAA1,有无穷多组解：y qC1,C2为任意常数Z C2?高数?试卷5 下一、选择题3分/题I-I- * f1、 a i j，b k，那么 a b ¥ * + ¥* -A0B i j c i j d i j2 22、空间直角坐标系中 x y 1表示A圆B圆面C圆柱面D球面sin xy3、 二元函数Z在0，0点处的极限是xA1B0C D不存在4、 交换积分次序后d

21、Xxf(x,y)dy=()01 11 1a dy 0 f(x,y)dxB dy 0 f (x,y)dx0x1 11yC dy f(x,y)dxD dy 0 f (x,y)dx0 05、二重积分的积分区域 D是x y 1,那么 dxdy ()DA2B1C0D46、 n阶行列式中所有元素都是1,其值为()A0B1C nDn!7、 假设有矩阵 a32，b2 3，C3 3 ，以下可运算的式子是()A AC B CBc ABCd AB AC8、n元线性方程组，当r( A) r(A) r时有无穷多组解，那么()Ar=nBr<nCr>nD 无法确定9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式()A必等于零B必不等于零C可以等于零，也可以不等于零D不会都不等于零10、正项级数un和vn满足关系式un vn，那么()n 1n 1A假设Un收敛，那么Vn收敛B假设Vn收敛