定积分内容精要基本概念定积分的概念是由求曲边

1、第五章定积分一、内容精要一 根本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段的质量所产生。定义3.3 设函数fx在闭区间上有定义，在闭区间a,b内任意插入n-1个分点将就= 1,2严屛，财和"称i-l为积分元，把这些乘积相加得到和式称为积分和式设= maxA召：1勺n，作乘积n个小区间"j ，记，极限存在唯一且该极限值与区是a,b的分法及分点纟的取法无关，那么称这个唯一的极限值为函数fx在，即上的定积分，记作否那么称fx在 'I 上不可积.注1由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。注2假设

2、存在，区间b进行特殊分割，分点V进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常岀现，请读者要真正理解。注3定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关,即_!： r y ； f门定积分的几何意义：假设fx在上可积,与直线y =所围成的曲边梯形的面积且I：那么I '表示曲线 厂血同样，变力所作的功其中fx是变力变速直线运动的路程S二讽出诫是瞬时速度，密度不均质直线段b上的质量财二J； “xdx其中 灾是线密度规定广义积分定义3.4 设函数 /W 在区间b，Ho上连续，称记号JT儿呃Bsd亦(1)为函数/W在无穷

3、区间_上的广义积分或第一类广义积分假设1 式右端极限存在，称广义积分伽收敛，该极限值称为广义积分的值，否那么称广义积分连续必有原函数，设的原函数为呛。/(X协二 lim &脚二 limJ 盘Ft +w Jifl.t +®=lim 肥)-F紂二 lim 科x)-F(d)i己成F&)|巴f+®从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即发散。于是卄lim陀存在=a，4发散。7叽敛，且"加U同理可得J:几论二陀-帆卄曲陀假设2-8存在，那么广义积分应收敛，否那么发散。/妙心恥尸二曲喇-恥在，那么假设fci F(x)不存+ ©lim附Y-4+

4、w-lim 恥) I-4-o假设帆网lim F(x)f ) QO都存在，那么收敛，否那么发散。T丽定义3.5 设7 - f在区间上连续,不存在称a点为瑕点，VoOs<b-a，称记号和哑帆J丿碎与上面研究方式相同，可得畑二恥曙陀-叽呛存在，那么广义积分同理假设一匕；在：e 上连续，二汀，不存在称b点为瑕点，有假设1：-收敛，否那么发散。打妙“F魂二蚪阳_盹假设了匕在b，dusb上连续，打仗禺二打如)(忸不存在称c点为瑕点，定义当且仅当都收敛时,丿帕收敛，且，的值之和。事实上，定义lim /(x) = Z常数，那么可看成正常积分,上连续，即Fdxd.存在，而1址二热加热£?仙 如L

5、畑在伸胡，由于陀在打一上连续，知变下限函数上连续，有略雏卜GO=l枷，即M论“恥故 协可看成正常积分。假设广义积分收敛，也有线性运算法那么，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句话说可以像正常的定积分一样运算。第一 p广义积分山7a0，常数时发散第二p广义积分11a-r atF_令由第一 p广义积分知，当2-p，即阳1时收敛，当2-p，即戸21时发散。(二)重要定理与公式定理3.2假设函数f(x)在闭区间/上 可积，那么f(x)在''I 上有界，反之不成立。%)二点：鬻囂訥上有叭棘:,无理数=0,知1-1不存在。定理3.3假设f(x)在闭区间定理3.4假设f(x)

6、在闭区间定理3.5假设f(x)在闭区间定积分的性质性质1性质2(线性运算法那么)设立.“上连续，那么f(x)在上可积，反之不成立.上只有有限个间断点且有界，那么f(x)在p,划上可积,Hl.上单调，那么f(x)在be上可积，反之不成立./W.gW 在M上可积，对任何常数反之不成事实上，因为不管把0,1分割得多么细，在每个小区间IS 中，总能找到有理数ft，知巴送D®；)&严= I巴&D(如脱二爲0j-li-li-1f(x)+熄皿二妙/必+ 0J：咖X .该性质用于定积分的计算与定积分的证明,b,c顺序性质3(区间的可加性)，假设f(x)在以a,b,c为端点构成的最大区

7、间上可积，那么不管如何，有J； f(x)dx =了何必该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明性质4假设f(x)在k聖上可积且%)辿那么防必沙性质5假设 f(x),g(x) 在一，'上可积且性质6假设 f(x)在"'上连续，一L且 f(x) 0 那么!： ' '：-；，'性质7假设 f(x),g(x) 在|上连续且二二J :-但：； ：1性质8 假设f(x)在“上可积, 那么性质9 假设f(x)在上可积，在区间一 上, mef(x) < M m, M是常数，那么m(b - a)莹 J：/(Rdx W M(b- a).性质4、5、6、7

8、、8、9主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围性质io(积分中值定理)假设f(x)在闭区间你，"上连续，那么至少存在一点，使2 /必=了©© - a).称为f(x)在区间上,引上的平均值，即闭区间a,b上连续函数f(x)的平均是不同的。值是-二注：这里的性质131变上限积分求导定理 设f(x)连续,可导，那么£關几)血二(认讪' (或-/(V(枷'("1定积分计算的方法(1)牛顿一莱布尼兹公式上连续,那么阳)卜盹)-盹)(2)凑微分仏(帕二阳(铢)0(讪二(能)勿心)pm 1=-(3)变量替换Ex壶火

9、)嶼)=比畑?咖严期曲冷；二F-尺(的4分部积分设一C在丄二上导数连续，那么Ju丽厉御口仙讷 具体的用法是防必"纭必二加讷X二讥x(x) *-V(X)dfa(X)= £f(X)vW :-JhUJuU)必就可以计算岀如果能够计算岀定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用 三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。(5)设 f(x)在一上连续，那么事实上,Q假设/Q为奇函数2弟如.董/为偶函数上Jx必二化他血+许加血ft/W7出=/7必=- J防X必，董/力为奇数， Jo /xrfx董/0为偶函数故得证推论金+心2为偶函数，2为

10、奇函数，于是且证由于八一 /W+A-x)( /W-/(-x)?=2I 2:dx0.上/如二打型严+牛D t£ii 必二此/x+/-x必6设fx为周期函数且连续，周期为T，那么严伽品枷.事实上胪佩必=阳讷+K /讷+等几讷丁 H二s丄-于是严血必=防"血由于(7)设f(x)在0,1上连续，那么Jj x/(sin x)dx = fj /(sin x)dx2事实上fj 伙 sin x)dtr Il_ t)=x)必二开J： /(gin x)dx-fg 伙sin x)dx.移项两边同除以2得Jj 伙$血 X)必二 ylj /(sin x)必Q所分布的区间爲切且区间一 ：上的总量Q具有等于各小区间上局部量之和的特点(1)取近似求微元.选取区间。写出局部量的近似值即要求是AQ的线性主部即计算的过程中，可以