导数地综合大题及其分类

1、导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等？表达了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用.题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论(1) 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论(2) 极值讨论策略：极值的讨论是以单调

2、性的讨论为根底，根据函数的单调性确定函数的极值点(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比拟为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值1函数 f(x) = x 一，g(x) = alnx(a? R . X(1) 当a> 2时，求F(x) = f (x) g(x)的单调区间；(11(2) 设h(x)=f (x)+g(x)，且h(x)有两个极值点为X1，X2，其中X1 ?0，-,求h(x? h(X2)< -的最小值.审题程序标准解答亠1(1)由题意得F( x) = xx aln x，其定义域为(0

3、，+ x)，那么F' (x)第一步：在定义域内，依据 F (x) = 0根的情况对F (x)的符号讨论;第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步：建立X1、沁及a间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于 X1(或必)的函数1求出最小值令 n(x) = x2 ax+ 1，那么厶=a2 4.当一 2< a< 2时，0 ,从而F' (x) >0, a F(x)的单调递增区间为(0, +A);F(x)的单调递减区间为七二勺2/七一< 2 2丿1(2)对 h(x) = x xalnx, x ? (0，+a )亠口 e ,求导得，h (x) =1 +壬+ x

4、=1 a x2 + ax+1xAa+九 la 42 = 2F(x)的单调递增区间为设h' (x) = 0的两根分别为 Xi, X2,那么有Xi ? X2 = 1,Xi + X2=a,11?冶，从而有a= X1 .X1X1h .令 IHfx) = h(x) 12_cx_inx+x_rl X /Xa 弋 /a2 4当a>2时， >0,设F' (x) = 0的两根为Xi=2? F(x的单调递增区间为'Aa+J a 4iIF(x)的单调递减区间为：一，云4 !F4a+ 寸 a24H (x)2?-1Jnx=当=XX?+1 uo, 3 F寸H (x)<0 ,Xjn

5、x-卜 X +- x- X lnX综上，当一 2<a<2时，F(x)的单调递增区间为(0，+A);当a>2时，f 11? Hx在0, 2上单调递减,又 Hxi) = h(xd h? =h(=X5il)n2 h(3X. 2), ? ? h( Xi) h( X2) min =解题反思本例 中求F(x)的单调区间，需先求出F(x)的定义域，同时在解不等式F(x)>0 时需根据方程 x2 ax+ 1 = 0 的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“ 的取值作为分类讨论的依据.在 中求出h(Xi) h(X2)的最小值，需先求出其解析式.由题可知Xi,X2是h(x) = 0的两根，

6、可得到XiX2= 1, Xi + X2= a,从而将h(xi) h(X2)只用一个变量Xi导出.从而得(1、 一 "到H(Xi) = h(Xi) h，这样将所求问题转化为研究新函数H x) = h(x) h-在0,上的最值问2丿"丿 i 2丿题，表达转为与化归数学思想 .答题模板解决这类问题的答题模板如下求定义域一求出函数的定义域求导数一准确求出函数的导数.;根据参数的取值范围，结合极值点与讨论单调性定区间的位 置对导函数的 符号进 行分类讨论，确定函数的单调性讨论扱值最傻根据函数的单调性，确定极值、最值的取得情况.整合结论根据分类讨论的结果，对结论进行整合口，做到不重不漏

7、.题型专练1 .设函数 f(x) = (1 + X)2 2ln(1 + x).(1)求f(x)的单调区间；当0<a<2时，求函数g(x) = f (x) x2 ax 1在区间0,3上的最小值.解(1)f(x)的定义域为(一 1,+ 乂).2T f (x) = (1 + x) 2l n(1 + x) , x ? ( 1 ,+x),22x x + 2?¥x)= 2(1 + x) 一 1 +x=x+1由 f (x)>0，得 x>0;由 f ' (x)<0，得一 1<x<0.二函数f (x)的单调递增区间为(0,+x )，单调递减区间为(一

8、1,0).由题意可知 g(x) = (2 a)x 2l n(1 + x)( x> 1),2a x a?/ 0<a<2, . 2 a>0,令 g (x) = 0,得 x= 23八,' a 'z a?函数g(x)在0,二 上为减函数，在二，+ 乂上为增函数.< 2 aJ'2 aa3当0<<3,即0<a%时，在区间0,3 上,2 a2( ay( ayg(x)在 0, 上为减函数，在一， 3 上为增函数，<2 a)/ a 丿'a、2-g( x) min= gAzra = a - 2ln 虫昭a3当>3,即2&l

9、t; a<2时，g(x)在区间0,3 上为减函数2 a222a /. g( x) min = g(3) = 6 3a 21 n4.；3综上所述，当 0<a<2 时， g(x) min= a 2ln当 |v a<2 时，g( x) min = 6 3a 2ln4.北京卷( 19)( 本小题 13 分)函数 f (x) =e xcos x- x.(I)求曲线y= f (x)在点(0, f( 0)处的切线方程；(n)求函数f (x)在区间0 , n上的最大值和最小值2(19)( 共 13 分)解：(I)因为 f (x)二 ex cosx - x，所以 f (x)二 ex(co

10、sx - sin x) -1, f (0) = 0 又因为f (0) =1，所以曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y = 1 .(n)设 h(x)二 eX(cosx-sinx)/ ,贝 U h(x)二 ex(cosxsinxsinx-cosx)n所以h(x)在区间0,上单调递减2=2exsinx.当 xE(O,;)时，h(x)所以对任意 X (0,有 h(x) :：: h(0) = 0 ，即 f (x) :： 0 . 2n所以函数f (x)在区间0, n上单调递减？nnn因此f (X)在区间0,上的最大值为f(0) =1，最小值为f()二21. ( 12 分)2 2 2

11、函数 f (x) = ax' axxlnx,且 f (x) _0 .(1 )求 a；(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点 xo，且e，: : f(xo) ： ： 2.21. 解 :(1) f x的定义域为0,+ :g x = ax - a - l nx ，贝 U f x = xg x1因为 g 1 =0, g X ,故 g' 1 =0,而 g' x =. a , g' 1 =a 一 1,得 a = 1 x假设 a=1 ，那么 g' x = 1 !？当 0vxv 1 时， g' x v0,g x 单调递减；当XX> 1 时， g'

12、X > 0,g x 单调递增 ？所以 x=1 是 g x 的极小值点，故综上， a=1(2)由(1)知 f-x - x ln x, f '( x) = 2x- 2 - ln x设 h x = 2x - 2当x三0, 1时1 2 丿1 -In x,那么 h '( x) = 2 - xh ' x v0 ；当 x ，+ :2 一 ？ 1又 h (e2 )>0, h - v0, h(1 ) = 0 ,所以 h (x )在 0,- 諮丿 l 2丿,h ' x > 0 ,所以h x在10, 1单调递减，在.2有唯一零点X。，在2丿 有唯一零点1，单调递增且

13、当x三0,x°时，h x >0 ;当x三X0,1时,h x v0 ,当x三1,+ :时，h x >0因为f ' x = h x，所以X=X。是f(x)的唯一极大值点由 f ' x° = 0 得 In x° =2AXg - 1),故 fXg =x°1-Xo)1由 XA 10,1 得 f ' x°v -f X o >f e- = e-所以 e -< f x0 v2-2题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点典例题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值

14、、最小值、 变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极( 最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现 .函数f(x) =(X + a)ex,其中e是自然对数的底数，a? R.(1)求函数f(x)的单调区间；当a<1时，试确定函数g(x) = f(x-a) x2的零点个数，并说明理由 审题程序 第一步：利用导数求函数的单调区间 ;第二步：简化g(x)二0,构造新函数； 第三步：求新函数的单调性及最值； 第四步：确定结果 .标准解答 因为f(x) = (x + a)ex, x ? R, 所以 f ' (x) = (x+ a

15、+ 1)ex.令 f' (x) = 0，得 x = a 1.当x变化时，f(x)和f ' (x)的变化情况如下:x(°,a1)a1(a 1， +x)f ' (x)0+f(x)故f(x)的单调递减区间为(一g, a 1)，单调递增区间为(一 a 1,+x).结论：函数g(x)有且仅有一个零点理由如下：由 g(x) = f (x a) x2= 0,得方程 xex -a=x2,显然x二0为此方程的一个实数解，所以x = 0是函数g(x)的一个零点.当XM0时，方程可化简为ex乞x.设函数 F(x) = ex-a x，贝 U F' (x) = ex-a 1,令

16、 F' (x) = 0,得 x = a.当x变化时，F(x)和F' (x)的变化情况如下：x(g, a)a(a,+g)F' (x)0+F(x)即F(x)的单调递增区间为(a,+g)，单调递减区间为(一 g, a).所以F(x)的最小值F(x)min= F(a) = 1 a. 因为 a<1，所以 F(x) min= F(a) = 1 a>0,所以对于任意x ? R, F(x)>0 ,因此方程ea= x无实数解.所以当x工0时，函数g(x)不存在零点.综上，函数g(x)有且仅有一个零点.典例321. (12 分)函数 f(x) =ax3 -ax-xlnx,

17、且 f(x) _0 .(1 )求 a;(2)证明：f (x)存在唯的极大值点X。，且：f (xo):21.解:2.(1) f x 的定义域为 0, ：设 g x = ax - a - l nx ，贝 U f x = xg x , f x 0 等价于 g x - 01因为 g 1 =0, g x _ 0, 故 g' 1 =0, 而 g' x 二 a , g' 1 =a 1,得 a = 1 x1x> 1假设 a=1 ，那么 g' x = 1 _一 . 当 0v x v 1 时， g' x <0, g x 单调递减；当 x时， g'x &g

18、t; 0,g x单调递增.所以x=1是g x的极小值点，故x = x2x(2)由(1)知 fx In x, f '(x) = 2x 2ln x设 h x = 2x - 2 当 x 10,I 2 In x, 贝 Uh'( x) = 2丄在 10, 1单调递减，在一，7 单调递增2又 h e- > 0, h | 一 <0, h 1 i =. 0 , 所以 h x 在 0,1 有唯一零点Xo, 在 +：有唯一零点 12且当x三I 0,Xo时，h x >0 ;当x三IX0,1时,综上， a=1h x v0 ,当x三门，+ :时，h x >0因为f ' x

19、 = h x，所以X=x。是f(x)的唯一极大值点由 f ' x°i ； = : 0 得 In x。-1),故 f x。=x°1 -xo ) 1由 x° ? 0,1 得 f ' x°< -因为x=x是f(x)在(0,1 )的最大值点，由 e0,1 ,f ' e"= 0得f x°>f e “:,=e2所以 e"< f x0<2-2将x约去，从而产生丢解情况？研究ex" = x的解转化为研究函数 F(x) = exa x的最值，从而确定 F(x)零点，这种通过构造函数、研

20、究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握答题模板解决这类问题的答题模板如下：1等价转化把函数的零点、方程的根、两函数图象的交点问题相互转化构造新的函数解决函数零点、方程根、两 函 数图象交点冋题利用导数研究新函数的单调性、极值和最值等性质，有时可画出函数图象r构造函数解决问题得出结论利用极值和最值，结合图象得出结果题型专练2. (2021 ?浙江金华期中)函数f (x) = ax3 + bx2 + (c 3a 2b)x+ d的图象如下图求c, d的值； 假设函数f(x)在x = 2处的切线方程为 3x + y 11= 0,求函数f(x)的解析式；1在 的条件下，函数y =

21、 f (x)与y = 3厂(x) + 5x+ m的图象有三个不同的交点，求m的取值范 围.解函数 f (x)的导函数为 f' (x) = 3ax2 + 2bx+ c 3a 2b.(1)由图可知函数f (x)的图象过点(0,3)，且f ' (1)=0,'d= 3,fd= 3,得，解得，i3a+ 2b+ c 3a 2b = 0,、c= 0.32(2)由得，f (x) = ax + bx (3a+ 2b) x+ 3,所以 f' (x) = 3ax2 + 2bx (3 a+ 2b).2=5,2= 3,8a+4 b 6a4b+ 3 = 5,i_12a+ 4b 3a 2b

22、=3,解得a= 1,、b= 6,所以 f (x) = x3 6x2 + 9x + 3. 由 知 f(x)=x3 6x2+9x+3,所以f'(x)=3x2 12x+ 9.函数y= f (x)与y =f' (x) + 5x + m的图象有三个不同的交点，322等价于x 6x + 9x + 3= (x 4x + 3) + 5x+ m有三个不等实根， 等价于g(x) = x 7x + 8x m的图象与x轴有三个交点.因为 g' (x) = 3x2 14x + 8= (3x 2)( x 4),x23伶4)4(4 ,)g' (x)+00+g(x)极大值极小值2 68g 3

23、尸 27 m g(4)=- 16-m21. ( 12 分)函数 f(x)rae3y- 2) e x - x.(1)讨论f (x)的单调性；f 2)假设f(x)有两个零点，求a的取值范围.21.解:(1) f (x)的定义域为(： ), f (xA 2ae2x (A2)ex(i) 假设a乞0，贝U f (x) <0，所以f (x)在(：)单调递减.(ii) 假设 a ? 0 ,那么由 f (x) =0 得 x = - In a .当 x ? ( y； _|n a)时，f (x) : :0 ；当 x? (- In在(一n,In a)单调递减，在(Ina, ?:)单调递增.(aex -1)(2

24、ex 1),(十字相乘法)a, ?:)时，f (x) ? 0，所以 f (x)(2) (i)假设a乞0，由f 1)知，f (x)至多有一个零点(ii)假设a? 0,由f 1 )知，当x-l na时，f (x)取得最小值，最小值为 当a =1时，由于f(-ln a) =0，故f(x)只有一个零点；1 当a (1,?:)时，由于1 In a 0，即f(-1 n a) ? 0，故f (x)没有零点;a1 当 a (0,1)时，1 In a : : 0,即卩 f( I n a) :0 .a又 f(-2)=ae* (a-2)e ° -2eA 2 0 ,故 f (x)在(：，-Ina)有一个零点

25、.1f(-| na)=1 In a .(观察特殊值 1)a设正整数 n°满足n0? In( 1)，贝U f (n°) a=en(aen° ? a - 2) - n 0?e"3-n。？ 2n0 - n。0 .由于In( 1) ? Tn a，因此f (x)在仃n a,=：)有一个零点68综上，a的取值范围为(0,1).当且仅当r |2) 68g3 '= 27 -m>0,时，g(x)图象与x轴有三个交点，解得16vn m 习.所以m的取值范围为68、 佗，-(.=16 n<0题型三利用导数证明不等式题型概览：证明f(x)vg(x), x?

26、(a, b)，可以直接构造函数 F(x) = f(x)g(x)，如果F' (x)<0 ,那么F(x)在(a, b)上是减函 数，同时假设F(a) < 0,由减函数的定义可知，x ? (a, b)时，有F(x)<0，即证明了 f(x)vg(x) ?有时需对不等式等价变形后间接构造？假设上述方法通过导数不便于讨论F' (x)的符号，可考虑分别研究f(x)、g(x)的单调性与最值情况，有时需对不等式进行等价转化.x e (2021 ?陕西西安三模)函数f(x)=-. x(e鋼(1)求曲线y=f (x)在点P.2，处的切线方程；证明：f (x)>2( x In

27、x).审题程序第一步：求f' (x)，写出在点P处的切线方程；第二步：直接构造g(x) = f(x) 2( x Inx),利用导数证明g(x) min>0.xe标准解答(1)因为f(x)=，所以f ' (x)=2 2e e4y = 0.以切线方程为y 2=?x 2)，即 e2x(2)证明：设函数g(x)=:f(x)2(xIn x)=xex那么 g' (x) =ex12|-2+2=ex2x2xxxx1, x?(0, +八).xxx,2/ 2e ? x e e x1ee2 . o-,f ' (2)=-,又切点为2 -，所" 22xx4i 22x +

28、2Inx, x?(0,+*),x设 h(x) = ex-2x, x? (0,+八)，那么 h' (x) = ex- 2,令 h (x) = 0, 那么 x= In2.当 x?(0 , In2)时，h' (x)<0;当 x? (In2, + 乂)时，h' (x)>0.所以 h(x) min= h(ln2) = 2- 2ln2>0 ,故 h(x) = ex 2x>0.e 2xx 1令 g (x) =Xa= 0,贝卩 x = 1.zv当 x? (0,1)时，g' (x)<0 ;当 x ? (1 , + 乂)时，g' (x)>

29、0.所以 g(x) min = g(1) = e 2>0,故 g(x) = f(x) 2(x In x)>0 ,从而有 f (x)>2( x In x).解题反思本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数g(x).求g(x)的最值来完成.在求g(x)的最值过程中，需要探讨g (x)的正负，而此时g'(x)的式子中有一项ex2x的符( 2)中定义域也是易无视的一个方向 .号不易确定，这时可以单独拿出ex 2x这一项，再重新构造新函数 h(x) = ex 2x(x>0)，考虑h(x)的正负问题，此 题看似简单，且不含任何参数，但需要两次

30、构造函数求最值，同时在答题模板解决这类问题的答题模板如下：合理转化把不等式问题直接转化为函数的最值问题 把不等式进行等价转化,构造新的函数？有时要变形，切记变形的依据是能够通过 导数研究函数的单调性和最值.、r判断单调性-利用导数研究新函数的单调性.得出结论利用新函数的极值或最值，得出结论.确定最值由函数的单调性、确定新函数的最值.J题型专练一 1 3. (2021 ?福建漳州质检)函数f(x) = aex-bln x,曲线y= f(x)在点(1，)处的切线方程为y=1&丿X+ 1.(1) 求 a, b;(2) 证明：f (x)>0.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+ 乂).

31、b宀)=e -1f (x) =aAx ，由题意得 f(1) =e,1 ae=_, e所以1ae b= 1,eJ a=r e 解得b= 1.1(2)由(1)知 f(x) = e ? ex-Inx.e1因为 f (x) = ex-2-在(0,+ 乂)上单调递增，又 f (1)<0 , f ' (2)>0 ,x所以f (x) = 0在(0,+ 乂)上有唯一实根xo,且x°? (1,2).当 x? (0 , xo)时，f ' (x)<0，当 x? (xo, +A )时，f (x)>0 ,从而当x= x。时，f ( X)取极小值，也是最小值.1由 f &

32、#39;(Xo) = 0,得 eo 2 =，贝 y Xo 2= In Xo.xo故 f (x) >f (xo) = e xo2 In xo=1 + xo 2>2 1 ? xo 2=0,所以 f (x)>0.4、 【2021 高考三卷】 21.( 12 分)函数 f (x) =x - 1 - alnx.(1) 假设f(x)-0，求a的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数 n, (1+-)(1 +2川|( 1 +丄)v m求m的最小值.2 2 221.解：(1) f x 的定义域为 0,+：. 假设 a 乞 0，因为 f I1 =-1+aIn 2v0 , 所以不满足题意；12

33、 丿 2 ， 假设a>0 ,由f' x =1= -a知，当0,a时，f' x v0 ;当x三a,+ :时，f x >0，所以f x在0,a单调递x x减，在a,+ :单调递增，故x=a是f x在0,+ :的唯一最小值点.由于f 1 =o,所以当且仅当a=1时，f x 0.故 a=1(2)由(1)知当 x1,+ :时，x1-ln x>0令x=1+寺得In 1 + 2n v 2，从而+ In 1+W v 丄 +gI 2n 丿 2 2班=1-訂In 1 + 1 +In 1 + 4 -.2 . 22而1+1洛洛>2，所以m的最小值为3.21.( 12 分)_ 2

34、函数 f(X)=1 n x+ax +(2 a+1)x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 当 a< 0 时，证明 f (x) _-24a1)单调递增，在(，；)单调递减；(2)详见解析2a2a1【答案】(1)当a_0时，f(x)在(0, 二)单调递增；当a : 0时，那么f (x)在(0,【解析心=加心+叶1二(仏+gl) s ?,Xx当。工0时,八淀0,那么“幻在(QY)单调递増,当*0时，那么/(刃在(0厂話)单调递増在(-2才巧单调递减由知，当 0寸，/仗忘2a/(- £) 一子 + 2 = In(-D+*+l，令 y =lii r+l-r (r = -A>0)

35、? 2a 4a2a 2 a那么=解得21,t在(ai)里调递增，在a+町里调递减，二?炖,即/(A),<a+2), A/(x)< -2.题型四 利用导数研究恒成立问题题型概览： 不等式恒成立求参数取值范围， 构造函数， 直接把问题转化为函数的最值问题； 假设参数不便于别离， 或别离以后不便于 求解，典例函数 f(x)1a=2“x mx g( x)=x - x(a>°)那么考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围(1)求函数f(x)的单调区间；1 2 假设m=石，对？ Xi, X2? : 2,2e 都有g

36、(Xi) >f(x"成立，求实数a的取值范围审题程序第一步：利用导数判断f (x)的单调性，对m分类讨论；第二步：对不等式进行等价转化，将g(Xl) > f(X2)转化为g( X) min > f ( X) max ；第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值( 最值)；第四步：确定结果 .11得 o<x<2m 由 F x <0，得 x#.2m x>02m标准解答 (1) f (x) = 2ln x- mx x>0, 所以 f' (x)=2x - m当 m>0 时 ,1 由 x>0x由 f (o)= 0 得 x=2

37、m综上所述，当neo时，f (x)的单调递增区间为(0 ,当 me 0 时，f' (x)>0, f (x)在(0 ,当m>0时，f(x)的单调递增区间为0, 2m，单调递减区间为"订+ =i 2m<2m假设 m=肓那么 f(x) = 2nx-2Ax.对？ Xi, X2? : 2,2e 2都有 g(xj >f(X2)成立,等价于对? X?: 2,2e 都有 g(X)min?f(X)max,1由知在2,2e 2上f(x)的最大值为f(e2) = 2,aaa 1gf (x) = 1 + =>0(a>0), x ? : 2,2e2，函数 g(x)在

38、2,2e 2上是增函数，g(x"n = g(2) = 2-，由 2空 >2,得 a<3,又a>0,所以a?(0,3 ，所以实数a的取值范围为(0,3:.解题反思本例的解答中要注意f(x)的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数f(x)、g( x)的最值问题.此题中，？Xi,X2 有g(Xi)>f(X2) ?g( x) min >f(x)max假设改为：？ Xi, ?X2 都有 g(Xi)>f(X2),那么有g( X) max> f(X) max假设改为：? Xi , ? X2都有g( Xi) > g( X2)，那么有g( X)

39、 min> f ( X) min要仔细体会，转化准确.答题模板解决这类问题的答题模板如下构造函数别离参数法构造函数与直接法构造函数 灵活选用讨论单调性一利用导数研究新函数的单调性确定最值一依据新函数的单调性确定最值情况得出结论一整合结论，得出结果，注意区间开闭题型专练4. f (x) = xln x, g(x) = x + ax 3.(1)对一切x? (0,+ 乂), 2f(x) > g(x)恒成立，求实数a的取值范围；1 2 一证明：对一切x ? (0,+x ), in x>_x 二恒成立.e ex解(1)由题意知2x1 nx > x2 + ax3对一切x? (0,+

40、A )恒成立,贝 U a<21 nx+x + X,x + 3 x-1那么h 当x?(0,1)时，h' (x)<0 , h(x)单调递减，当 x ? (1 ,+x)时，h' (x)>0 , h(x)单调递增，所以 h(x) min = h(1) = 4,对一切 x ?(0,+x) , 2f(x) > g( x)恒成立，所以 a W h( x) min = 4.即实数a的取值范围是(一 x, 4 ?x 2 证明：问题等价于证明xlnx>ex -(x ? (0，+).e e又 f (x) = xln x, f ' (x) = In x + 1,当

41、 x? 0, e 时，f ' (x)<0 , f(x)单调递减；i eJA11当 x? e， +x 时，f ' (x)>0 , f(x)单调递增，所以 f ( x) min = f -=.。丿W e、口x 2设 mx) = -X e(x? (0 ,+x),那么m(x)1易知n(X)e1 2 一从而对一切x? ( 0,+ 工),|nx>ex ex恒成立.设 h( x) = 2ln x + x+ X(x>0),当x? 1，+x时，h' (x)>0 , h(x)单调递增，所以 h ( x) min = h(1)=4,对一切 x ? (0,+x )

42、 , 2f (x) > g( x)恒成立，所以 a< h x min = 4.即实数a的取值范围是一 x, 4.题型五：二阶导主要用于求函数的取值范围23. (12 分)函数 f(x) =(x+1) Inx - a (x- 1).(I) 当a=4时，求曲线y=f (乂)在(1, f(“)处的切线方程；(II) 假设当x?(1, +乂)时，f(x)>0,求a的取值范围.【解答】 解：(|)当 a=4 时'f (x) = (x+1) Inx - 4 (x- 1 f (1) =0,即点为(1, 0),函数的导数 F( x) =lnx+ (x+1)? _L 那么f*( 1)

43、=ln1+2 - 4=2 - 4=- 2,即函数的切线斜率 k二f( 1) 1) =-2x+2;(II ) V f (x) = (x+1) Inx - a (x - 1),f'( x) =1+ +lnx - a, . f ( x)二丄V x> J 二 f"( x)> 0,f'( 乂)在(h +x)±单调递增，f*( x)> f*( 1) =2- a. a< 2, f*(x)> f*(1)> 0,?Xx)在(1, +=)±单调递增，二 f(x)>f(1) =0,满足题意; a> 2,存在 x?(1, +

44、 乂)，f( X。)=0,函数f(x)在(1, X。)上单调递减，在(X。，+呵上单调递增，由f(1) =0,可得存在x?(1, +X), f(x)v0,不合题意.综上所述，a< 2.23. (12 分)函数 f(x) = (x+1) I nx - a (x- 1).-4,X二-2,那么曲线y=f (x)在(1, 0)处的切线方程为y二-2(x-(I)当a=4时，求曲线y=f (x)在(1, f(1)处的切线方程；(II )假设当x ?( 1, +x)时，f(x)> 0,求a的取值范围.【解答】 解：(I )当 a=4 时，f (x) = (x+1 ) lnx 4 ( x - 1)

45、.f (1) =0,即点为( 1, 0), 函数的导数 f'( x) =lnx+ (x+1 )?亠-4,那么 f'( 1) =ln1+2 - 4=2 - 4= - 2,即函数的切线斜率k=f '( 1) = - 2,那么曲线 y=f ( 乂)在(1 , 0)处的切线方程为 y= - 2 (x - 1) =-2x+2 ;(II )? f (x) = ( x+1) lnx a (x 1),i? f'( x) =1+ +lnx a, . f"( x),x 2x/x> 1 , ? f"( x)> 0,? f '( x )在(1,

46、+s)上单调递增，? f '( x) > f'( 1) =2 a. a< 2, f'( x )> f '( 1)> 0,? f (x)在(1, + %)上单调递增，？ f (x)> f (1) =0,满足题意； a>2，存在 xo?( 1, +x), f '( xo) =0,函数f (x)在(1 , x °上单调递减，在(x, + %上单调递增， 由f(1) =0,可得存在x°?( 1, +%) , f (Xo)v 0,不合题意.综上所述，a< 2 .题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、 也可别离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.此法适用于方便别离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，假设题中涉及多个未知参量需别离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参 在求出参数取值范围