工程力学第六章答案梁的变形

1、第五章梁的变形测试练习1.判断改错题5-1-1梁上弯矩最大的截面,挠度也最大,弯矩为零的截面,转角亦为零.5-1-2两根几何尺寸、支承条件完全相同的静定梁，只要所受荷栽相同，那么两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是否相同无关。5-1-3悬臂梁受力如下图，假设 A点上作用的集中力 P在AB段上作等效平移，那么 A截面的 转角及挠 度都不变。5-1-4图示均质等直杆总重量为 W,放置在水平刚性平面上，假设 A端有一集中力P作用，使AC局部 被提起，CB局部仍与刚性平面贴合，那么在截面C上剪力和弯矩均为零。rA: .|A/if/ / 7 /C B题5-1-3图题5-1-4图5-1-5挠曲

2、线近似微分方程不能用于求截面直梁的位移。5-1-6等截面直梁在弯曲变形时，挠度曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。5-1-7两简支梁的抗刚度曰及跨长 2a均相同，受力如下图，那么两梁跨中截面的挠度不等而转角是相等的。5-1-8简支梁在图示任意荷载作用下，截面 C产生挠度和转角，假设在跨中截面 C又加上一 个集中力偶Fxq(x),a1121122qAjpm-CI-a-M作用，那么梁的截面 C的挠度要改变，而转角不变。5-1-9 一铸铁简支梁，在均布载荷作用下，当其横截面相同且分别按图示两种情况放置时， 的应力及变形均相同。梁同一截面题5-1-7图题5-1-8图6个积分常量。5-1-10图示

3、变截面梁，当用积分法求挠曲线方程时，因弯矩方程有三个，那么通常有-k题5-1-10图()M (x)的近似性表现在EI2. 填空题5-2-1挠曲线近似微分方程 y (x)题5-1-9图5-2-2图示二梁的抗弯度曰相同，假设使二者自由端的挠度相等，贝VP25-2-3应用叠加原理求梁的变形时应满足的条件是： 。5-2-4在梁的变形中挠度和转角之间的关系是 。5-2-5用积分法求图示的外伸梁(BD为拉杆)的挠曲线方程时，求解积分常量所用到的边界条件是连续条件是。5-2-6用积分法求图示外伸梁的挠曲线方程时，求解积分常量所用到边界条件是 连续条件是。题5-2-7图5-2-7图示结构为次超静定梁。5-2-

4、8纯弯曲梁段变形后的曲率与外力偶矩M的题系为T6 ,其变形曲线为 曲线。5-2-9两根日值相同、跨度之比为1: 2的简支梁，当承受相同的均布荷载q作用时，它 们的挠度之比P为。-X C5-2-10当梁上作用有均布荷载时，其挠曲线方程是x的次方程。梁上作用有集中力时，挠曲线方程是题电的书次方程。梁上作用有力偶矩时，挠曲线方程是x的一次方程。5-2-11图示外伸梁，假设 AB段作用有均布荷载，BC段上无荷载，那么AB段挠曲线方程是x的次方程;BC段挠曲线方程是x的次方程。题5-2-11图5-2-12减小梁变形的主要途径有:Px5-2-13梁的挠度曲线方程为y(x)(3l X)，那么该梁的弯矩方程为

5、。6EI5-2-14梁的变形中，挠度和截面弯矩M的关系是 ，挠度和截面剪力 Q的关系是5-2-15为使图示AB段的挠曲线为一直线，那么 x= 。5-2-16要使图示简支梁的挠曲线的拐点位于距A端1/3处，贝U M M 。5-2-17图示静定梁，其BD上无荷载作用，假设B截面的挠度yB,那么C截面的挠度yc=_ D截面的转角PIPCe =3. 选择题PlPl3B.UD.3EI题 5-2-155-3-1简支梁长为48EI图I ,跨度中点作用有集中力 P,那么梁的最大挠度f=(题5-2-17图EI =常量A. D 吐6EI6EI8EI. 8EI5-3-2悬臂梁长为I ,梁上作用有均布荷载q,那么自由

6、端截面的挠度为。5-3-3两梁尺寸及材料均相同，而受力如图示，那么两梁的A. 弯矩相同，挠曲线形状不相同B. 弯矩相同，挠曲线形状相同C. 弯矩不相同，挠曲线形状不相同D. 弯矩不相同，挠曲线形状相同5-3-4图示(a)、(b)两梁，长度、截面尺寸及约束均相同，图(a)梁的外力偶矩作用在 C截面，图(b)梁的外力偶矩作用在B 支座的右作侧，那么两梁 AB 段的内力和弯曲变形的比拟是 ()A. 内力相同，变形不相同B. 内力及变形均相同AB C")M°佝易,X 'L1L1-*1 JMo=PI尸 t题5-3-3图B Moa题5-3-4图5-3-5当用积分法求图示梁的挠度

7、曲线方程时，在确定积分常量的四个条件中，除x=0.0 a=0； x=0, yA=0夕卜，另两个条件是a. (yc)左=(yc)右,(0 c) 左=(0 C)右B. (yc)左=(yc)右, yB=OC. yc=O, yB=OD. yB=O,0 c=0M (x)dxdx CxEIy(x)5-3- 6图示简支梁在分布荷载q ( x )AC O, D OC C O, D OD,，其中，积分常量=f ( x )作用下，梁的挠度曲线方程为B. C O, D OD C O, D O5-3-7挠曲线方程中的积分常梁主要反映了A ?对近似微分方程误差的修正B ?剪力对变形的影响C.约束条件对变形的影响Aprn

8、TrTTT)理)MrD.梁的轴向位移对变形的影响5-3-8图示悬臂梁在B、C两截面上各承受一个力偶矩作用，两力偶矩大小相等，转向相反使梁产生弯曲变形。B截面的变形为()A. y O,Ob. yO,O*卄MoMqC. y O,ODb yO,OJl丿题5-3-8图5-3-9图示简支梁受集中力作用，其最大挠度f发生在A.集中力作用处B。跨中截面C.转角为零处Db转角最大处5-3-10两简支梁日及I均相同，作用荷载如下图。跨中截面C分别产生挠度yc和转角Be,那么两梁C点的挠度及两梁C点的转角有。A. e C相等，yc不相等B。e C不相等，yC相等c. e c和都不相等Dt e c和yc都相等q题5

9、-3-10图4. 计算题5-4-1试画出图示各梁挠曲线的大致形状。(c)尸P(d)X.1/2 J l/21/2 1/2(e)题5-4-1图(f)5-4-2 一简支梁承受图示分布荷载 q=Kx2 K为，试求此梁的挠曲线方程设日=常量5-4-3图示梁的带积分常量的挠曲线方程为Ely。)Ely?3ql 2ql 3X1X1162123ql 20X3X2X21612x D1(0 X1241 C 2 X221才D2X21)试求方程中的积分常量。5-4-4试用叠加法求图示梁B点的挠度和转角。日=常量5-4-2|P=qlqJ 1 1HI 1 1!rA广cB八2吐5-4-5外伸梁受图示荷载作用，试求 C截面的挠

10、度和A截面的转角。日=常量。5-4-6矩形截面梁AB的抗弯刚度为曰，受力如图示。试问B端支座向上抬高为多少时，梁的A截面的弯矩和C截面的弯矩绝对值相等。材料的抗拉与抗压性能相同C-C上。刚梁E 弹性模量,5-4-7图示弯曲的钢板梁 AB,截面为矩形，宽度为b,高度为h,钢板放在刚硬地面上时 原有曲率半径为 p ,在两端受力P作用使其平直，那么将有均布压力作用于刚硬地面 试求所需的P力及其在压平时梁内的最大正应力。2Mo=ql /21A题5-4-5图A112_1/2题5-4-6图5-4- 8长度为I、抗弯刚度为曰的悬臂梁 AB,受均布荷载q作用而弯曲时，与半径为 r的刚性圆柱面接 触，如下图。试

11、求当梁上某一段 AC与刚性圆柱面在 C点接触假设C点 与梁左端A的距离为x 时，B点的挠度。5-4-9单位长度重量为q、抗弯刚度为曰的矩形截面钢条，放置在水平刚性面上，刚条的一端伸出水平面一小段CD,如下图。假设伸出长度为 a，试求刚条翘起而不与水平面接触的CD段的长度b。5-4-10超静定梁如下图，AB段内作用有均布荷载q,当C支座向下沉陷址 96EI 时,DA试求梁的反力。5-4-11矩形截面悬臂梁如下图，t1,底部温度改变为t2,且t2>t1。温度沿截面高度呈线形改变。 不均匀受热而使梁发生弯曲变形，当梁的悬臂端施加偶矩 矩？题5-4-8图梁长为 I ,在沿其截面高度h承受非均匀加

12、热，设梁顶部温度改变为材料的线膨胀系数为a,弹性模量为E由于M时，能使梁展直。问应施加多大的外力偶题5-4-9图题5-4-10图J b12B 111题5-4-11图5-4-12悬臂梁AB和CD的自由端处用拉杆BC相连,受力如下图，假设AB梁和CD梁的抗弯 刚度日相 等，试求在以下两种情况下 C点的挠度.1 当BC杆为刚性杆，即EA= 8时；当BC杆长为2，EI是时。题5-4-12图5-4-13 AB与BC两梁铰接于B如下图。两梁的抗弯度相等，P=40kNm，试求B点的约束力。5-4-14悬臂梁和简支梁材料和截面均相同。E及未受力前AB梁B点与CD梁中点之间 的间隙ol>w1垂直距离，如下

13、图，当受 P力 后AB梁在B点的挠度大于，试求各 梁的支座反力。5-4-15具有初始挠度的AB梁如下图， 梁的日和I均为。当梁上作用有三 角形分布 荷载时q。，梁便呈 直线形状。试求梁的初始挠曲线方程。题5-4-15图5-4-16试根据对称性求图示梁的挠曲线方程。EI=常量5-4-17两端固定的等截面梁，梁上作用一外力偶矩 M ,如下图。欲使在固定端A的反力偶矩Ma为零， 那么力偶矩M应作用在梁上何位置？即 x =?I|A?« 1C1J/2 JA彳M o卡BCx II 题 5-4-17 图5-4 -14图 测试练习解答题5-4 -91. 判断改错题5-1-1 X。挠度和转角不仅与弯矩

14、有关，而且与边界位移条件也有关，例如，当悬臂梁自由端作用有集中力P时，自由端的M=0，但挠度和转角都是最大值。5-1-2 X。凡弹性变形均与材料的弹性模量值有关。5-1-3 Vo外力在研究的梁段以外，用等效力系代替不影响研究段的内力及变形。15-1-6 X o 根据5-1-4 X o在C截面上弯矩为零而剪力不为力零。5-1-5 X o可以用于变截面梁，只是分母中的Iz不同。y"(x)叫八,可知曲率丄最大值应在M最大的截面处日=常量EI时。5-1-7 Vo假设将2q分解成正对称和反对称两组，就可明显看出，在正对称的q作用下C点有挠度，转角等于零。5-1-8 Xo在C截面加上一力偶矩后

15、C截面的挠度不变，而转角改变。5-1-9 X o应力不同，变形相同。因为变形只与Iz有关，而T形截面无论是丄还是，其 惯性矩Iz是相等的。而应力不仅与Iz有关而且还与ymx 上下边缘到中性轴的距离有关，这种方法的最大拉应力比丄这种方法的最大拉应力要大。5-1-10 X弯矩方程式有三个，但积分时要分成四段，因截面改变处要分段。5-2- 1忽略剪力Q的影响；1(y')1，所以旦P2厂 Ra3 P22a35-2-28o 因v3EIa5-2-3小变形及材料为线弹性5-2-4 y (x)(x)5-2-5 x 0,x l,yB |bd;2. 填空题yA0, yB 0 ；5-2-6(1) A( 2

16、) A， (y1) Ay2 ) A5-2-7 二次1 M5-2-8E| ；圆弧线445-2-91： 16o因5q严)仆384 EI 384 EI5-2-10 4 ； 3; 25-2-11 4 ； 15212合理安排受力，减小 M ;减小1 ;加大El5-2-145-2-15y" (X)l - aMM(x)EEIiny (x)Q(x)El5-2-161/2(1)求分布荷载的合力toq(x)dxKItoq(x)dx x求合力作用点15-2-17 yc - yB /2a23. 选择题C 5- 3-3C 5- 3-8A 5-3-4B 5-3-5 BD 5-3-9C 5-3-10 B5-3-1

17、 A 5-3-25-3-6 D 5-3-7代入中并积分，由边界条件确定所以y(x)為3x54I5)边界条件：5-4-3(1)X10,10,解出G 04计算题5-4-2梁的挠曲线方程为FKI33F KI求反力：Ra,Rb41244列 M (x)RaX3Kx xX10, y 10,，解出 D10(2)连续光滑条件11 X2-,2(y ) c(y )c,解出 C201XiX2 一 ,(yjc(y2)C ,，解出 D202l 35-4-4( 1)只有q作用时，(B)q 2, (yB)q8EI6EI只有F=ql作用时:P(2)212EI-(yB)P(yC)P3EI(3)然后两者叠加:2(B )q7ql3

18、24EI(B )q11q|448EI5-4-5(只有Mo1-ql2作用时，2(A) MMol3EI),yC M 0(B) M0()只有q作用时，a) q/1 2 创6EIl小)(yc)q3EI1/I、4q(-)(3)叠加:2(a) M°(A)q7ql348EI ,45qlyc(yC)M0(yc)q384 EI5-4-6将B约束解除，用反力吊代替。(1一 1lP)(2)由AC两截面的弯拒绝对值相等可列方程RbI P RBl，解出RB()3P在P和RB 3作用下，求B点的挠度。J2EI 2 3EIRbI3(负号表示向上)5-4-7这是一个求变形和应力的综合题。(1)求压力P:依题意，当两

19、端加上力 P后使其平直且在 C-C面上产生均布压力q,因此 可以将其简化为两端铰支的简支梁，其反力均为P, C-C面上的均布压力 q2P简支梁在均布压力q作用下中点的挠度等于 S ,5ql4384EI,解出P16Eb1 2M max ql ,8M maxmaxWz242515-4-8当q=0时，AB梁上没有外力，梁轴线平直，A端曲率为零。当荷载q由0增加，到1 2 1 1qo时，梁A端的弯矩为-qo|2, A端曲率丄1 ,即有M(x) rl EI如2EI2EIqoqo时，梁上某一段AC与刚性面接触，C点端曲率为丄(X)抑x)2EI解得 X lB点的挠度包括三局部，即(yB) i为C点的挠度(y

20、B)i2X2r2EI)2qryB (y b) i (yB) 2(yB)3(yB) 2为C点的转角引起B点的挠度(yB)22 曰)2EI r qr qr盘(I X)4寺3丄(旦12)(yB)3为CD段当作悬臂梁在q作用下B点的挠度2r qr5-4-9由于AB段平直，所以B点的弯矩、转角及挠度均等于零。以上三种挠度叠加，即为点 B的挠度yBB点和C点与刚性平面接简化q自重但要满足为铰支座，那么 BCD 端简化为外伸臂梁。在该梁上作用有均布荷载0的条件，如图a所示。求B b时，可取BC为简支梁，而CD上的均布力向C点平 1qa2,如图b所示。根据B =0的条件求解b,即移得一集中力qa和一力偶矩Mo

21、 2qb32EB ( B)q (B)Mo(Sa2) b鼻06EI解出b <2aBrTTTTrrr nC DRc代替，成为根本结构。变形协调条件是yc96EI 向上。氏共同作用下求出l 43RJ3yc专E24EI并将其代入变形协调方程，解出115 , ql, Rbql ?,。248所以轴1线以上是一个在外力作用及有支座位移下的一次超静定问题。将C约束解除，用约束力1Rcql,然后根据平衡方程求出 Ra、125-4-11梁在不均匀温度的变化下，发生弯曲和伸长变形，由于t2.少，而轴线以下伸长大，使梁发生凸向下的弯曲变形，B点有向上的挠度，设为 B t O在 梁的自由端上作用力偶矩 M后，能使

22、变形展直，B点又回到原水平位置，设M作用下B点的挠度为bm0o由 B t= BM0 ,变形条件可以解出 M值。其中(B)t 212 2a(t2 t1)l,(B)M02hM 0l亠,代入变形条件中解得M 2EIa(t2 t) EI2h5-4-121当杆BC的EA=时，杆不变形，将 BC杆切短，用Rc代替其约束，取根本结构。变形协调条件为yB=yc j,解出Rbc等那么ycEA当EA时，杆BC有伸长变形，同样将 BC杆切段，I2这时的变形协调条件为RbcI3 5PI 3yB3EI 96 ElRbc代替，取根本结构。9 rbc 15P25PIyc yB 1 bc ,1bc,解出 Rbc y c EA 2EI56'336 EI5-4-13这是一个二次超静定问题。假设不计杆的轴向变形，那么结构无水平约束力，将该问题简化为B铰只有一个垂直约束力为未知数的结构。在 B铰处切断，用约束力Fb代替，取出 根本结构，并根据B点 的变形协调条件建立补充方程(yB) A=(yB)BcP 22(yB ) AB4q 44 Rb 44Rb